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        關(guān)于Berger定理的推廣

        2022-08-15 07:10:20?;勖?/span>黃宇敏
        關(guān)鍵詞:本原素?cái)?shù)子群

        常慧敏,黃宇敏

        (山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

        0 引言

        本文涉及的群均是有限群,有關(guān)群論和復(fù)特征標(biāo)理論的記號(hào)和概念分別來自[1]和[2]。設(shè)χ∈Irr(G)為群G的一個(gè)不可約復(fù)特征標(biāo),如果存在真子群H

        進(jìn)而,如果對(duì)任意正規(guī)子群N?G,均有χN=eθ,其 中e為 正 整 數(shù) 且θ∈Irr(N),稱χ∈Irr(G)是擬本原的,稱e為χ關(guān)于正規(guī)子群N的分歧指數(shù),記為eN(χ)。特征標(biāo)的本原性和擬本原性是從兩個(gè)不同的方向(誘導(dǎo)和限制)定義的,直觀上看似毫無關(guān)聯(lián),但實(shí)際上二者卻有緊密的聯(lián)系。通過Clifford對(duì)應(yīng)觀察得,本原特征標(biāo)定是擬本原的。但反之不成立,顯然非交換單群的不可約特征標(biāo)均擬本原,但一般不都是本原的,例如交錯(cuò)群A7。事實(shí)上,不可約特征標(biāo)均為本原的群,其結(jié)構(gòu)已經(jīng)被Hekster[9]給出了描述。著名的Berger定理斷言可解群的擬本原特征標(biāo)均為本原特征標(biāo),這是可解群表示理論中很重要的結(jié)果,具有廣泛的應(yīng)用。但證明非常艱難,需要借助深刻的射影表示等技術(shù)。近年來擬本原特征標(biāo)的研究取得了很多進(jìn)展,例如,關(guān)于Hall子群上擬本原特征標(biāo)的擴(kuò)張問題[10],關(guān)于擬本原特征標(biāo)的零點(diǎn)問題[11],關(guān)于擬本原特征標(biāo)的置換公式問題[12],以及關(guān)于擬本原特征標(biāo)的分解問題[13]。

        然而,目前特征標(biāo)理論中的許多重大猜想,如McKay猜想和Alperin權(quán)猜想,在約化為驗(yàn)證單群的證明中,需要不斷地“消除”正規(guī)子群,通常采用的技術(shù)是把所研究的問題“放置”在一個(gè)正規(guī)子群的上方,通過對(duì)該正規(guī)子群的指數(shù)做歸納,最終歸結(jié)為擬單群的環(huán)境。因此,研究Berger定理的相對(duì)版本,即考查某個(gè)正規(guī)子群上方的不可約特征標(biāo)的相對(duì)本原性和相對(duì)擬本原性,是有意義的問題,可為攻克重要的特征標(biāo)問題提供有力的證明技術(shù)。特別地,本文提出的關(guān)于一個(gè)給定正規(guī)子群的相對(duì)本原特征標(biāo)和相對(duì)擬本原特征標(biāo),均在特征標(biāo)三元組的同構(gòu)對(duì)應(yīng)下保持不變,這在應(yīng)用時(shí)非常方便。

        下面我們給出特征標(biāo)的相對(duì)本原性和相對(duì)擬本原性的概念。

        定義1設(shè)G為任意群,χ∈Irr(G)且L?G。

        (1)稱χ是關(guān)于L的相對(duì)擬本原特征標(biāo),簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)-擬本原的,如果對(duì)任意的中間正規(guī)子群L≤N?G,均有χN是齊次的。

        (2)稱χ是關(guān)于L的相對(duì)本原特征標(biāo),簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)-本原的,如果不存在中間的真子群L≤H

        取L=1即得到通常的擬本原特征標(biāo)和本原特征標(biāo)的概念。同樣應(yīng)用Clifford對(duì)應(yīng)可知,L-本原的特征標(biāo)定是L-擬本原的(證明見本文引理7)。但反之并不成立,那么在何時(shí)成立呢?下述結(jié)果給出了回答。特別地,取L=1時(shí)得到的結(jié)論,還是Berger定理的一個(gè)加強(qiáng),并且減弱了原先的可解群條件。

        定理1設(shè)G是任意群,L?G,且χ∈Irr(G)為L(zhǎng)-擬本原的。如果G/L為p-可解群,對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)p|eL(χ),則χ也是L-本原的。

        本文也研究了Berger定理的π-版本,可類似地引入π-部分特征標(biāo)的相對(duì)本原和相對(duì)擬本原的概念,具體內(nèi)容可見第2節(jié)。

        定理2設(shè)G為π-可分群,L?G,且φ∈Iπ(G)為L(zhǎng)-擬本原。如果G/L為p-可解群,對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)p|eL(φ),則φ也是L-本原的。

        取π為某個(gè)素?cái)?shù)的余集,可得到下述Brauer特征標(biāo)的相應(yīng)結(jié)論,關(guān)于該類特征標(biāo)所涉及的概念和性質(zhì)具體可參見[14]。

        推論1設(shè)G為p-可解群,其中p為任意素?cái)?shù),L?G,且φ∈IBr(G)為L(zhǎng)-擬本原。如果G/L為q-可解群,對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)q|eL(φ),則φ也是L-本原的。

        1 預(yù)備知識(shí)

        在證明本文主要結(jié)果時(shí),需要用到下述基本結(jié)論,即文獻(xiàn)[15]中推論4.2。

        本文主要借助Isaacs的π-理論中所給出的π-部分特征標(biāo)[16],通過對(duì)集合π的適當(dāng)選取,π-部分特征標(biāo)可對(duì)應(yīng)到復(fù)特征標(biāo)和Brauer特征標(biāo),從而達(dá)到如此兩種經(jīng)典特征標(biāo)的統(tǒng)一。

        Iπ-特征標(biāo)的Clifford定理和Clifford對(duì)應(yīng)如下,即文獻(xiàn)[16]中推論5.7和定理5.11。

        引理3設(shè)G是π-可分群,φ∈Iπ(G)。如果N?G,則φ在N上的不可約分解為

        其中e為正整數(shù),θi∈Iπ(N)兩兩不同,構(gòu)成一個(gè)G-共軛軌道,并且et整除 |G:N|。進(jìn)而,如果|G:N|為π'-數(shù),則e=1。

        引理4設(shè)G是π-可分群,N?G且θ∈Iπ(N)。令T=Gθ為θ在G中的慣性群,則通過特征標(biāo)的誘導(dǎo)在如下兩個(gè)集合之間可定義一個(gè)雙射

        特 別 地 ,如 果φ∈Iπ(G|θ),則 存 在 唯 一 的μ∈Iπ(T|θ),使得μ既在θ上方又在φ的下方。

        假設(shè)φ=χ0∈Iπ(G),其中χ∈Irr(G),不可約復(fù)特征標(biāo)χ就稱為Iπ-特征標(biāo)φ的一個(gè)提升。顯然,對(duì)應(yīng)同一個(gè)φ∈Iπ(G),它的提升可以有很多。如何挑選“好”的提升,即具有某種穩(wěn)定性的提升,這是一個(gè)特別值得深入探討的課題。目前Isaacs 給出了Iπ(G)的一種典范的Bπ-提升,即群G中一類特殊的不可約復(fù)特征標(biāo)集合Bπ(G)通過π-限制χ?χ0給出了集合Bπ(G)和Iπ(G)之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。在2∈π時(shí),使用關(guān)于群G和素?cái)?shù)集合π的一個(gè)特定的域自同構(gòu)得到如下識(shí)別Bπ-特征標(biāo)的辦法,即[16]中定理5.2。

        引理5設(shè)G為π-可分群,2∈π,并且τ為關(guān)于G和π的域自同構(gòu)。如果χ∈Irr(G),則χ∈Bπ(G)當(dāng)且僅當(dāng)χτ=χ且χ0∈Iπ(G)。

        但當(dāng)2?π時(shí),上述關(guān)于域自同構(gòu)的技術(shù)失效,不能識(shí)別出Bπ-特征標(biāo)。為了克服這個(gè)技術(shù)難題,Dade提出了Iπ-特征標(biāo)一種新的自然的提升。在[17]和[18]中,Isaacs正式命名該種典范提升為Dπ-提升,也就是說通過映射χ?χ0在集合Dπ(G)和Iπ(G)之間構(gòu)造了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。對(duì)任意子群H≤G和θ∈Irr(H),定義θ到G的π-誘 導(dǎo)θπG=(δ(G,H)θ)G,其 中δ(G,H)為π-標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)特征標(biāo)。注意到G0中元素均為奇數(shù)階,容易驗(yàn)證 (δ(G,H))0=1。

        下面是Dade給出的關(guān)于Dπ-特征標(biāo)的深刻結(jié)果,見[18]中定理E。

        引理6設(shè)G為π-可分群且2?π,如果H≤G,θ∈Irr(H)和χ∈Irr(G),使 得θπG=χ,那 么θ∈Dπ(H)當(dāng)且僅當(dāng)χ∈Dπ(G)。

        2 主要結(jié)果及其證明

        先證明相對(duì)本原性蘊(yùn)含著相對(duì)擬本原性,然后再討論逆命題何時(shí)也成立。為了統(tǒng)一表述復(fù)特征標(biāo)和Brauer特征標(biāo)中的相對(duì)本原性和相對(duì)擬本原性,我們考慮該問題的π-部分特征標(biāo)版本,下述為相關(guān)定義(取L=1得到π-部分特征標(biāo)的本原和擬本原的概念)。

        定 義 2設(shè)G為π-可 分 群 ,φ∈Iπ(G)且L?G。

        (1)稱φ是關(guān)于L的相對(duì)擬本原特征標(biāo),簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)-擬本原的,如果對(duì)任意的中間正規(guī)子群L≤N?G,均有φN是齊次的。

        (2)稱φ是關(guān)于L的相對(duì)本原特征標(biāo),簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)-本原的,如果不存在中間的真子群L≤H

        使用Iπ-特征標(biāo)的Clifford對(duì)應(yīng)(即引理4)不難證明。

        引理 7設(shè)G為π-可 分 群 ,φ∈Iπ(G)且L?G。如果φ是L-本原的,則φ也是L-擬本原的。

        證明任取L≤N?G,根據(jù)引理3,可令φ在N上的不可約分解為

        其中e為正整數(shù),t=|G:Gθ1|。通過Iπ-特征標(biāo)的Clifford對(duì)應(yīng)知,存在μ∈Iπ(Gθ1)使得φ=μG。因?yàn)棣帐荓-本原的,所以Gθ1=G,從而t=1。因此φN=eθ1,表明φ是L-擬本原的。

        因?yàn)镮π-特征標(biāo)的本原性和擬本原性,通常需要通過提升為復(fù)特征標(biāo)來研究,所以下面我們先考慮一個(gè)相對(duì)擬本原的復(fù)特征標(biāo)何時(shí)也是相對(duì)本原的。因?yàn)镚的每個(gè)非本原特征標(biāo)χ∈Irr(G)均可從極大子群誘導(dǎo),所以在考察其擬本原性時(shí),下述結(jié)論是很基本的,其意義在于明確指出了兩個(gè)正規(guī)子群L和M,使得χ在其上的限制χL和χM,至少有一個(gè)是非齊次的。也就是說,在特征標(biāo)限制不可約的條件下,非本原特征標(biāo)一定是非擬本原的,所得結(jié)論是[2]中定理11.34的一個(gè)加強(qiáng)。

        引理8設(shè)G為p-可解群,p為任意一個(gè)素?cái)?shù),H為G的極大子群且|G:H|為p的冪。假設(shè)χ∈Irr(G)和ξ∈Irr(H),滿 足χ=ξG。 如 果ξL∈Irr(L),其中L=CoreG(H),則下述結(jié)論至少有一個(gè)成立:

        (1)χL是非齊次的。

        (2)χM是非齊次的,其中K/L,M/K均為G的主因子。

        證明如果H?G,則L=H。根據(jù)ξG=χ∈Irr(G)知,ξ在G中的慣性群Gξ=L,從而χL非齊次,此時(shí)結(jié)論(1)成立。

        不妨設(shè)H?G,顯然L

        此時(shí),不難看出CG(K/L)≥K,事實(shí)上CG(K/L)=K。這是因?yàn)椋河^察可知

        [CG(K/L)∩H,K]≤L≤CG(K/L)∩H,表明K正規(guī)化CG(K/L)∩H,同時(shí)CG(K/L)∩H?H,所 以CG(K/L)∩H?HK=G。如果CG(K/L)>K,那么CG(K/L)∩H>L產(chǎn)生矛盾,故CG(K/L)=K。

        由L

        記φ=ξL∈Irr(L),假設(shè)(1)和(2)均不成立,那么φ是χL的唯一不可約分量??闪瞀恰蔍rr(M)是χM的唯一不可約分量。再令J=M∩H,并且δ=ξJ,選取θ∈Irr(K)為η在K上的一個(gè)不可約分量,如圖1所示。

        圖1 特征標(biāo)位置關(guān)系Fig.1 Position relations of characters

        因?yàn)棣?1)=φ(1)整除θ(1),而η(1)整除χ(1),故從

        推出η(1)/θ(1)整除 |G:H|,從而也是p的冪,但η(1)/θ(1) 顯然整除p'- 數(shù)|M:K|,只有η(1)/θ(1)=1,即ηK=θ。

        上述表明θ是χ在K上的唯一不可約分量,則Gθ=G。根據(jù)下降定理可知θ與φ關(guān)于K/L出現(xiàn)下述三種情形之一:θL=φ,φK=θ或者完全分歧。如果θL=φ,根據(jù)引理1可知,χH=ξ,與ξG=χ矛盾。如果φK=θ,則Kφ=L與Gφ=G矛盾。因此θ與φ關(guān)于K/L是完全分歧的。

        注意到δM=(ξJ)M=(ξG)M=χM=eη為齊次誘導(dǎo),其中e為正整數(shù),計(jì)算次數(shù)可知

        觀察可得

        故上述不等式全取等號(hào)。根據(jù)[2,引理2.29]得,第一個(gè)不等式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)η(M?J)=0。同理,對(duì)每個(gè)g∈G均有η(M?Jg)=0。根據(jù)M/K是G-主因子,不難驗(yàn)證,從而η(M?L)=0,更有η(M?K)=0。此時(shí)我們有 1=[θ,θ]=[ηK,ηK]=|M:K|,矛盾。

        有了上述準(zhǔn)備,我們可證明本文定理1。

        借助定理1,可證明本文定理2。

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