姚文龍，楊 珂，邵 巍，劉 毅

(1. 青島科技大學(xué)自動(dòng)化與電子工程學(xué)院，青島 266061；2. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引 言

對(duì)小天體進(jìn)行繞飛探測(cè)是完整、準(zhǔn)確了解小天體地貌等信息最為有效的方法。而小天體探測(cè)器繞飛段導(dǎo)航制導(dǎo)任務(wù)通常會(huì)受到來(lái)自太陽(yáng)光壓和非球形引力等各種復(fù)雜擾動(dòng)的影響，這就要求小天體探測(cè)器在復(fù)雜未知外部擾動(dòng)下具備更強(qiáng)的抗擾能力以進(jìn)一步提高繞飛軌道跟蹤控制精度和魯棒性。

考慮到迭代學(xué)習(xí)控制算法可以有效抑制重復(fù)性干擾的特點(diǎn)和小天體探測(cè)器繞飛段受到非球形引力攝動(dòng)等擾動(dòng)的重復(fù)周期性，可以利用迭代學(xué)習(xí)控制方法對(duì)周期擾動(dòng)進(jìn)行抑制。近年來(lái)，文獻(xiàn)[7]針對(duì)衛(wèi)星存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障和外部干擾力矩的問(wèn)題，提出一種基于迭代學(xué)習(xí)觀測(cè)器的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的魯棒容錯(cuò)控制方法；文獻(xiàn)[8]針對(duì)小行星繞飛探測(cè)任務(wù)姿態(tài)容錯(cuò)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)容錯(cuò)控制器；文獻(xiàn)[9]提出了一種行星環(huán)繞與懸停跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方法，但其控制器需要基于誤差而消除誤差，即必須等到擾動(dòng)作用于對(duì)象而產(chǎn)生誤差后才能反應(yīng)，這會(huì)造成控制信號(hào)響應(yīng)的延遲，進(jìn)而影響控制精度。若能主動(dòng)從被控對(duì)象中提取擾動(dòng)信息，然后設(shè)計(jì)控制器將擾動(dòng)消除，可以大大降低擾動(dòng)對(duì)被控量的影響，從而提高控制精度。

主動(dòng)抗擾是一種不必基于誤差給出控制輸出，并且具有強(qiáng)魯棒性和實(shí)際工程意義的控制方法，因此，實(shí)現(xiàn)與主動(dòng)抗擾相結(jié)合的迭代學(xué)習(xí)控制方法將對(duì)提高小天體探測(cè)器的軌道跟蹤控制精度具有實(shí)際意義。目前，主動(dòng)抗擾多應(yīng)用于四旋翼飛行器和航天器的姿態(tài)控制。文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)出了一種雙閉環(huán)自抗擾姿態(tài)控制系統(tǒng)，文獻(xiàn)[15]針對(duì)串級(jí)PID的四旋翼飛行器飛行姿態(tài)控制提出了一種基于自抗擾控制器的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，文獻(xiàn)[16]基于自抗擾控制技術(shù)設(shè)計(jì)了航天器姿態(tài)控制器。自抗擾控制器在處理系統(tǒng)內(nèi)擾和外部擾動(dòng)問(wèn)題上具有較強(qiáng)的魯棒性，其利用觀測(cè)器和動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)慕M合來(lái)實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)抑制并減小穩(wěn)態(tài)誤差，在一定程度上加快了系統(tǒng)反應(yīng)速度，并避免了積分飽和等問(wèn)題。

因此，為了提高小天體探測(cè)器繞飛軌道跟蹤控制精度和魯棒性，本文設(shè)計(jì)一種小天體探測(cè)器繞飛軌道主動(dòng)抗擾軌道跟蹤控制方法。首先設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制器抑制小天體探測(cè)器在繞飛過(guò)程中受到的周期擾動(dòng)造成的誤差，然后設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)探測(cè)器受到的系統(tǒng)總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，避免依靠附加的傳感器來(lái)估計(jì)小天體探測(cè)器受到的未知不確定擾動(dòng)，同時(shí)利用自適應(yīng)律實(shí)時(shí)估計(jì)擾動(dòng)上界，進(jìn)而設(shè)計(jì)控制律對(duì)系統(tǒng)受到的總擾動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)補(bǔ)償，提高誤差抑制的主動(dòng)性，充分考慮擾動(dòng)對(duì)小天體探測(cè)器帶來(lái)的影響，提高探測(cè)器繞飛段軌道跟蹤控制的準(zhǔn)確性和魯棒性。

1 動(dòng)力學(xué)模型

在小天體中心固連坐標(biāo)系下，小天體探測(cè)器動(dòng)力學(xué)模型描述為

(1)

由于采用球諧函數(shù)表達(dá)的引力勢(shì)能和引力場(chǎng)有明確的解析表達(dá)式和較高的精度，因此采用小行星的球諧函數(shù)引力勢(shì)能模型：

(2)

基于球諧函數(shù)引力勢(shì)能模型，以243Ida小天體為例，由于引力系數(shù)高階項(xiàng)的影響非常小，通常只需選取作用較大的引力系數(shù)項(xiàng)，則對(duì)球諧引力勢(shì)能模型的前三項(xiàng)進(jìn)行展開(kāi)，小天體的引力勢(shì)能函數(shù)可以寫(xiě)成如下形式：

(3)

式中：=(++),,和(<<)分別為小天體繞軸、軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因此，可以得到

(4)

式中：=[p,p,p]=-[,,]為非球形引力攝動(dòng)引起的擾動(dòng)加速度，式中,,分別為

(5)

2 控制器設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的小天體探測(cè)器繞飛段軌道跟蹤控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 軌道跟蹤控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Track tracking control structure block diagram

2.1 迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)

將位置和速度誤差作為反饋控制器的輸入，得到三軸上的反饋控制加速度。

對(duì)小天體探測(cè)器在受到外部未知擾動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(1)，設(shè)計(jì)反饋控制器式(6)

(6)

以誤差向量作為狀態(tài)向量，由式(1)可以得到如下動(dòng)力學(xué)方程

(7)

通過(guò)前一周期的迭代學(xué)習(xí)控制加速度和前一周期的誤差得到當(dāng)前周期的迭代學(xué)習(xí)控制加速度，即以前一周期的迭代學(xué)習(xí)控制器加速度和前一周期誤差作為當(dāng)前周期迭代學(xué)習(xí)控制器的輸入，得到當(dāng)前周期迭代學(xué)習(xí)控制器的輸出。因此有如下迭代學(xué)習(xí)控制器

(8)

式中：=[,] · diag{,}為迭代學(xué)習(xí)控制增益，,∈為常數(shù)矩陣，,與誤差相關(guān)

(9)

式中：系數(shù),,,>0。

2.2 自抗擾控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)未知擾動(dòng)的實(shí)際值與擾動(dòng)觀測(cè)器的估計(jì)輸出值之間的誤差，修正擾動(dòng)觀測(cè)器的估計(jì)輸出值，對(duì)系統(tǒng)受到的總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。結(jié)合式(1)有如下設(shè)計(jì)方程

(10)

(11)

結(jié)合式(10)，對(duì)式(11)兩邊同時(shí)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)

(12)

最終得到如下擾動(dòng)觀測(cè)器

(13)

為便于分析，給出如下假設(shè)。

(14)

結(jié)合誤差，式(14)可以轉(zhuǎn)化為

(15)

針對(duì)小天體探測(cè)器在受到外部未知擾動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(1)，基于假設(shè)1，利用非線性擾動(dòng)觀測(cè)器(13)，可以以任意精度估計(jì)外部未知擾動(dòng)，并且擾動(dòng)觀測(cè)誤差任意小。

對(duì)所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器的穩(wěn)定性證明如下。

定義擾動(dòng)觀測(cè)誤差：

(16)

對(duì)式(13)中擾動(dòng)觀測(cè)器輸出的擾動(dòng)估計(jì)兩邊關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，有

(17)

結(jié)合式(13)中間輔助狀態(tài)向量和系統(tǒng)式(1)，得到

+]+[-2-()-

(18)

對(duì)式(16)兩邊同時(shí)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，并代入式(17)，有

(19)

選擇如下李雅普諾夫函數(shù)

(20)

對(duì)式(20)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，代入式(19)，有

(21)

結(jié)合假設(shè)1，由楊氏不等式可知

(22)

式中：為大于0的常數(shù)。進(jìn)而由式(21)得到

(23)

進(jìn)而由式(23)得到

(24)

當(dāng)外部未知擾動(dòng)為常數(shù)向量時(shí)，擾動(dòng)變化率的上界=0，根據(jù)式(23)，擾動(dòng)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差指數(shù)收斂于0。

由于受到外部未知擾動(dòng)和不規(guī)則引力場(chǎng)的影響，導(dǎo)致常推力控制發(fā)動(dòng)機(jī)存在開(kāi)關(guān)頻繁問(wèn)題，并且以非球形引力和太陽(yáng)光壓為主要來(lái)源的周期擾動(dòng)量級(jí)多為10，為了便于繞飛任務(wù)之后繼續(xù)進(jìn)行后續(xù)的探測(cè)，應(yīng)盡可能地減少繞飛段的燃料消耗，因此將控制死區(qū)引入到迭代學(xué)習(xí)控制律中以減少損耗。

對(duì)本文提出的反饋迭代學(xué)習(xí)控制器引入控制死區(qū)，控制方程如下

(25)

式中：>0為死區(qū)閾值。

通過(guò)所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)小天體探測(cè)器受到的擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，將其估計(jì)輸出值的絕對(duì)值與死區(qū)閾值進(jìn)行比較，當(dāng)大于死區(qū)閾值時(shí)，推力控制發(fā)動(dòng)機(jī)才會(huì)動(dòng)作，進(jìn)而減少開(kāi)關(guān)的頻繁動(dòng)作，降低燃料的消耗。

由式(1)可以得到：

(26)

式中：()=()+(),()為時(shí)刻的反饋控制加速度。

所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器可對(duì)干擾進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，故修正控制律為

(27)

但擾動(dòng)觀測(cè)誤差的存在會(huì)影響控制效果，因此通過(guò)自適應(yīng)律對(duì)擾動(dòng)觀測(cè)誤差的界進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)結(jié)合雙曲正切函數(shù)進(jìn)一步提高控制精度，所以得到優(yōu)化后的控制律為

(28)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)律對(duì)擾動(dòng)觀測(cè)誤差的上界進(jìn)行估計(jì)，其表達(dá)式為：

(29)

對(duì)于帶死區(qū)的控制器，同文獻(xiàn)[21]推導(dǎo)，由誤差判斷探測(cè)器受到的外部擾動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)推力器的動(dòng)作。當(dāng)誤差滿足閾值條件而使迭代學(xué)習(xí)控制器處于死區(qū)時(shí)，推力器不動(dòng)作，在推力器動(dòng)作的區(qū)域內(nèi)滿足系統(tǒng)收斂，因此系統(tǒng)是收斂的，在有限時(shí)間內(nèi)，終究會(huì)進(jìn)入死區(qū)，軌道跟蹤控制精度達(dá)到預(yù)期。

3 仿真分析

為了對(duì)本文所提出控制器的有效性進(jìn)行校驗(yàn)，以小天體243Ida作為目標(biāo)天體進(jìn)行仿真。在小天體中心慣性坐標(biāo)系下，有如下期望軌道

(30)

式中：為軌道半徑;Ξ()為探測(cè)器在期望軌道平面上的期望方向角；旋轉(zhuǎn)矩陣(),和如下

(31)

(32)

(33)

式中：期望軌道的軌道傾角=1 rad，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=05 rad。

表1 小天體243Ida參數(shù)表Table 1 Table of parameters of the small body 243Ida

采用一階馬爾科夫過(guò)程將小天體探測(cè)器受到的未知外部非周期擾動(dòng)表示如下：

(34)

擾動(dòng)觀測(cè)器的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為=diag{2,2,2},反饋控制器增益分別設(shè)置為=-3×10,=-3×10,=diag{001,001,001}。

圖2為小天體中心慣性坐標(biāo)系下，加入反饋和迭代學(xué)習(xí)控制后探測(cè)器的繞飛軌跡，探測(cè)器從初始位置逐漸跟蹤到期望軌道，并且在之后的繞飛過(guò)程中，能夠按照期望軌道運(yùn)行。

圖2 探測(cè)器軌跡Fig.2 The trajectory of spacecraft

圖3～6給出了最新的文獻(xiàn)[9]中所采用的迭代學(xué)習(xí)控制方法和本文控制方法下的軌道跟蹤情況。圖3、圖4和圖5給出了小天體探測(cè)器分別在現(xiàn)有方法和本文控制方法下，三軸上20個(gè)周期的位置跟蹤情況。

圖3 探測(cè)器x軸位置Fig.3 x axis position of spacecraft

圖4 探測(cè)器y軸位置Fig.4 y axis position of spacecraft

圖5 探測(cè)器z軸位置Fig.5 z axis position of spacecraft

由圖3～5可以看出，相同的初始條件和參數(shù)設(shè)置下，受到相同的外部擾動(dòng)時(shí)，探測(cè)器的實(shí)際軌道半徑在跟蹤至期望軌道半徑附近的過(guò)程中，相較于本文所設(shè)計(jì)的控制器，在現(xiàn)有反饋迭代學(xué)習(xí)控制器的作用下振蕩比較劇烈。因此，可知在相同的初始條件和參數(shù)設(shè)置下，受到相同的外部擾動(dòng)情況時(shí)，現(xiàn)有反饋迭代學(xué)習(xí)控制器與本文所設(shè)計(jì)的控制器分別作用下的閉環(huán)軌道跟蹤控制系統(tǒng)能穩(wěn)定跟蹤到期望軌道，使得閉環(huán)軌道跟蹤控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程平穩(wěn)，但后者收斂性能作用更好一些，能在更短的時(shí)間內(nèi)減小位置誤差，動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度也更快，可以更加平緩、快速地使探測(cè)器跟蹤到期望軌道，因而更適合探測(cè)器繞飛段的軌道跟蹤控制。

圖6給出了小天體探測(cè)器分別在現(xiàn)有反饋迭代學(xué)習(xí)控制方法和本文所設(shè)計(jì)的控制方法下，20個(gè)周期內(nèi)的期望軌道半徑和實(shí)際軌道半徑。

圖6 探測(cè)器軌道半徑Fig.6 The orbit radius of spacecraft

由圖6可知，相同的初始條件和參數(shù)設(shè)置下，受到相同的外部擾動(dòng)時(shí)，探測(cè)器的實(shí)際軌道半徑在跟蹤至期望軌道半徑附近的過(guò)程中，相較于在本文所設(shè)計(jì)的控制器的作用下，在現(xiàn)有反饋迭代學(xué)習(xí)控制器的作用下，振蕩較為劇烈，并且在20個(gè)周期之后，本文控制方法下的探測(cè)器振動(dòng)幅度更小，更平穩(wěn)。

由圖1～6可知，小天體探測(cè)器在相同的初始條件和參數(shù)設(shè)置下，受到相同的外部擾動(dòng)影響時(shí)，由本文所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行控制時(shí)，相較于現(xiàn)有反饋迭代學(xué)習(xí)控制器能夠在更短的時(shí)間內(nèi)減小位置誤差，動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度更快，振動(dòng)幅度更小，需要消耗的燃料也更少，因而更適用于探測(cè)器繞飛段的軌道跟蹤控制。

4 結(jié) 論

針對(duì)復(fù)雜未知擾動(dòng)下，小天體探測(cè)器繞飛段軌道跟蹤存在的軌道機(jī)動(dòng)頻繁、跟蹤控制精度差等問(wèn)題，提出了基于觀測(cè)器及迭代學(xué)習(xí)控制的主動(dòng)抗擾控制方法。該方法首先設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)受到的總擾動(dòng)，然后設(shè)計(jì)反饋控制器通過(guò)位置、速度誤差信號(hào)得到反饋控制加速度抑制非周期擾動(dòng)誤差，進(jìn)一步利用繞飛段探測(cè)任務(wù)的周期性設(shè)計(jì)帶死區(qū)的迭代學(xué)習(xí)控制器抑制周期擾動(dòng)誤差，避免推力控制發(fā)動(dòng)機(jī)頻繁動(dòng)作，節(jié)省成本，更進(jìn)一步地，利用觀測(cè)器的擾動(dòng)估計(jì)值對(duì)控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)總擾動(dòng)的主動(dòng)補(bǔ)償。相比于現(xiàn)有迭代學(xué)習(xí)控制方法，本文控制方法下的迭代學(xué)習(xí)控制加速度幅值的減小主要原因在于主動(dòng)抗擾對(duì)總擾動(dòng)的補(bǔ)償，其次是由于提高控制精度后，位置的變化造成擾動(dòng)加速度的不同，這使得所產(chǎn)生的迭代學(xué)習(xí)控制加速度也不相同。最后仿真結(jié)果表明在相同的擾動(dòng)和系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)下，本文控制方法可以有效提高小天體探測(cè)器的跟蹤控制精度，減少燃料消耗。