張良總，楊 濤，吳 云，唐 濤*

1 中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；2 中國(guó)科學(xué)院光束控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610209；3 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

1 引言

空間望遠(yuǎn)鏡廣泛應(yīng)用于天體目標(biāo)觀測(cè)和空間通信等場(chǎng)合[1]，然而由于空間中存在各種干擾，極大損失了光學(xué)載荷工作性能，同時(shí)降低了系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的跟蹤精度。已有的研究利用Stewart 平臺(tái)的機(jī)械優(yōu)勢(shì)以解決此問(wèn)題，如振動(dòng)隔離和抑制系統(tǒng)(VISS)，衛(wèi)星超靜隔離技術(shù)裝置(SUITE)和微振動(dòng)隔離系統(tǒng)(MVIS)[2]。這些已有的系統(tǒng)只將Stewart 平臺(tái)用于隔振，未有指向控制，而隔振指向一體化是未來(lái)發(fā)展的趨勢(shì)[3]。目前也有許多振動(dòng)控制系統(tǒng)被提出，既可保護(hù)敏感載荷免受振動(dòng)干擾，又能提供指向功能。Zhang 提出壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的Stewart 平臺(tái)用于衛(wèi)星上[4]，指向精度高，但僅能隔離低頻振動(dòng)，隔振效果不佳；Washington 大學(xué)設(shè)計(jì)一種新的六自由度平臺(tái)，使用音圈電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)器[5]，即可用作隔振也可用于太空系統(tǒng)的指向控制，但是跟蹤精度不高；Wang 提出基于電磁電機(jī)的Stewart平臺(tái)用于主動(dòng)隔振系統(tǒng)中[6]。這些研究實(shí)現(xiàn)了隔振指向一體化，但都需要在二者之間找一定的平衡點(diǎn)。其本質(zhì)原因在于隔振功能要求系統(tǒng)帶寬低，而帶寬低造成系統(tǒng)跟蹤精度難以提高?？偟膩?lái)說(shuō)，在有隔振功能的Stewart 平臺(tái)上很難實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤。為了進(jìn)一步解決Stewart 平臺(tái)的隔振和跟蹤之間不可調(diào)和的矛盾，已有很多學(xué)者提出雙階系統(tǒng)。相比于單階系統(tǒng)，雙階系統(tǒng)有更好的隔振和跟蹤性能。Kong 提出雙級(jí)電機(jī)結(jié)構(gòu)的Stewart 平臺(tái)，即Stewart 平臺(tái)的每個(gè)支柱用由音圈電機(jī)和壓電陶瓷電機(jī)串聯(lián)而成，但此結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)復(fù)雜，目前僅處于仿真階段；ACCESS 衛(wèi)星上采用Tip-Tit Mirror(TTM)和Stewart 組成的雙階結(jié)構(gòu)[7-8]，粗級(jí)子系統(tǒng)用于卸載精級(jí)子系統(tǒng)的位置值，并利用精級(jí)子系統(tǒng)的高精密控制進(jìn)一步抑制跟蹤誤差，從而提高跟蹤精度，但此系統(tǒng)中的粗級(jí)和精級(jí)各有一個(gè)光學(xué)探測(cè)器；Hai 等學(xué)者設(shè)計(jì)的粗級(jí)和精級(jí)輸出直接相加的雙階結(jié)構(gòu)[9]，但控制方式復(fù)雜。本文在基于位置輸出的卸載方式的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，可避免設(shè)計(jì)解耦環(huán)節(jié)，降低工程上的應(yīng)用難度。雙階系統(tǒng)主要依靠精級(jí)子系統(tǒng)的誤差抑制能力以提高系統(tǒng)的跟蹤精度，因此基于CCD 跟蹤的TTM 閉環(huán)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)至關(guān)重要。目前已有通過(guò)多環(huán)控制、復(fù)合控制等方法以提高TTM 誤差抑制能力[10-12]。但這些方法從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上變得更加復(fù)雜，并且需要額外的硬件傳感器，會(huì)帶來(lái)更多的測(cè)量噪聲。針對(duì)此問(wèn)題，改進(jìn)傳統(tǒng)的PID 控制器，設(shè)計(jì)PI-PI 控制算法[13]，可有效提高系統(tǒng)在低頻處的誤差抑制能力。

通過(guò)引入雙階結(jié)構(gòu)，以提高單階Stewart 平臺(tái)的跟蹤精度，解決了隔振指向一體化系統(tǒng)中隔振性能和跟蹤精度之間的矛盾。在僅有一個(gè)CCD 為系統(tǒng)提供圖像信息時(shí)，傳統(tǒng)的雙階結(jié)構(gòu)很難設(shè)計(jì)解耦環(huán)節(jié)以保證穩(wěn)定性，因此本文提出新結(jié)構(gòu)的雙階控制，使得解耦環(huán)節(jié)變得容易實(shí)現(xiàn)。在不引入額外的硬件條件情況下，設(shè)計(jì)了PI-PI 控制器，以進(jìn)一步提高系統(tǒng)跟蹤精度。本文安排如下：第二節(jié)介紹雙階系統(tǒng)的性能分析；第三節(jié)介紹控制器設(shè)計(jì)；第四節(jié)介紹實(shí)驗(yàn)搭建及實(shí)驗(yàn)結(jié)果；第五節(jié)總結(jié)了理論分析以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果并展望下一步工作。

2 雙階系統(tǒng)模型

本文提到的系統(tǒng)簡(jiǎn)圖如圖1 所示。光源用作模擬跟蹤物，光路經(jīng)過(guò)Stewart 平臺(tái)以及平臺(tái)上方的TTM共同矯正后到達(dá)CCD。CCD 作為系統(tǒng)種唯一的光學(xué)探測(cè)器，為系統(tǒng)控制器提供目標(biāo)反饋信息。

圖1 系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.1 System schematic

為了能實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤，目前有效的控制方式就是設(shè)計(jì)多階控制系統(tǒng)。多階系統(tǒng)的整體思路是利用精度高但行程小的控制環(huán)去消減精度低但行程大的控制環(huán)的跟蹤殘差，以提高整體系統(tǒng)的跟蹤精度。將Stewart 平臺(tái)和TTM 結(jié)合以組成雙階系統(tǒng)，其中Stewart平臺(tái)作為第一級(jí)(粗級(jí))，TTM 作為第二級(jí)(精級(jí))。傳統(tǒng)的思路是將測(cè)量到的精級(jí)輸出直接卸載至Stewart平臺(tái)，其控制結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

其中，e?τs表示電視的延時(shí)環(huán)節(jié)，Hs(s)表示卸載解耦環(huán)節(jié)。設(shè)MF(s)=CTTM(s)GTTM(s)，MC(s)=CSte(s)GSte(s)，考察圖2 中系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，如式(1)所示。

圖2 傳統(tǒng)的雙階控制系統(tǒng)Fig.2 Traditional two-stage control system

從式(1)可得，在滿足Hs(s)=e?τs時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)變?yōu)槭?2)：

其中：[1+MF(s)]和[1+MC(s)]分別為精級(jí)和粗級(jí)閉環(huán)子系統(tǒng)特征方程，因此系統(tǒng)穩(wěn)定必要條件是精級(jí)和粗級(jí)子系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)不穩(wěn)定極點(diǎn)。此時(shí)，系統(tǒng)的誤差抑制函數(shù)為

分別表示精級(jí)和粗級(jí)的誤差抑制函數(shù)。從式(3)可知雙階系統(tǒng)的型別是粗級(jí)和精級(jí)系統(tǒng)的型別之和，因此雙階系統(tǒng)具有很高的控制精度。但此前提是要滿足式(2)，那么就要求將Hs(s)設(shè)計(jì)成CCD 一樣的傳感器特性，這在實(shí)際中很難做到，會(huì)造成系統(tǒng)穩(wěn)定性存在較大的不確定性。針對(duì)此問(wèn)題，可對(duì)圖1 的雙階結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，如圖3 所示。

為了簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，設(shè)

則圖3 中系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式：

圖3 改進(jìn)后的雙階控制系統(tǒng)Fig.3 Improved two-stage control system

為精級(jí)子系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。由于精級(jí)子系統(tǒng)帶寬高于粗級(jí)子系統(tǒng)的帶寬，因此可有GF(s)≈1。因此，只要有Hs(s)=1，即可使粗精子系統(tǒng)解耦。此時(shí)系統(tǒng)的誤差抑制傳遞函數(shù)如式(5)：

由式(5)可知，在解耦情況下，新結(jié)構(gòu)的誤差抑制能力在帶寬內(nèi)和原結(jié)構(gòu)等效。因此，則可根據(jù)精級(jí)和粗級(jí)的特點(diǎn)，獨(dú)立設(shè)計(jì)控制器。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 粗級(jí)系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

Stewart 平臺(tái)由基座、載荷平臺(tái)和六個(gè)支桿組成，具有六自由度運(yùn)動(dòng)特性。粗級(jí)子系統(tǒng)中的控制對(duì)象便是Cubic 構(gòu)型的Stewart 平臺(tái)，Cubic 構(gòu)型的Stewart平臺(tái)的六個(gè)支桿之間的耦合程度最低，則可單獨(dú)設(shè)計(jì)方位軸和俯仰軸的控制器，其閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)如圖4 所示。

圖4 粗級(jí)閉環(huán)系統(tǒng)Fig.4 Closed loop system of the coarse stage

由于本系統(tǒng)中Stewart 平臺(tái)具有隔振功能其頻率響應(yīng)曲線如圖5 所示，可將Stewart 平臺(tái)看作一個(gè)低通濾波器。帶寬為0.803 Hz，對(duì)象特性可寫(xiě)成

圖5 Stewart 平臺(tái)的頻率響應(yīng)曲線Fig.5 Frequency response curve of the Stewart platform

則精級(jí)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

由此可設(shè)計(jì)PI 控制器。

3.2 精級(jí)系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

精級(jí)閉環(huán)系統(tǒng)如圖6 所示。

圖6 精級(jí)閉環(huán)系統(tǒng)Fig.6 Closed loop system of the fine stage

則精級(jí)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

一般而言，TTM 的開(kāi)環(huán)特性有很高的帶寬，因此GTTM(s)=1。在TTM 的控制器設(shè)計(jì)中，為了不放大高頻擾動(dòng)而不設(shè)計(jì)微分環(huán)節(jié)，而只設(shè)計(jì)PI 控制器，即kp(kis+1)/s，這也降低了系統(tǒng)在低頻處的控制精度。而在理想情況下，當(dāng)設(shè)計(jì)的控制器是純積分控制器時(shí)控制精度是最高的。此時(shí)控制器形式為C0(s)=k/s，其中k0是控制器待定增益值。根據(jù)相位穩(wěn)定裕度PM≥π/4，則有：

其中：ωc0是此時(shí)的系統(tǒng)穿越頻率。從式(9)可知，純積分控制的參數(shù)整定僅和系統(tǒng)時(shí)延有關(guān)。

設(shè)計(jì)的控制器應(yīng)該著重提高系統(tǒng)的低頻誤差抑制能力，將兩個(gè)PI 控制器串聯(lián)，組成PI-PI 控制器，即：

其中：kp=kp1kp2。從式(10)可看出，PI-PI 控制器也可是一個(gè)PID 控制器和純積分環(huán)節(jié)串聯(lián)。相對(duì)于通常的PI 控制器，彌補(bǔ)了沒(méi)有微分器的缺點(diǎn)；而相對(duì)于普通的PID 控制器，PI-PI 控制器增加一個(gè)積分環(huán)節(jié)來(lái)抑制微分環(huán)節(jié)可能帶來(lái)的高頻擾動(dòng)，因此PI-PI 控制器可提高低頻處系統(tǒng)誤差抑制能力。

根據(jù)相位裕度的定義，有：

為了提高低頻處系統(tǒng)控制精度，可令ωc=ωc0，再將式(9)代入式(12)第一個(gè)方程可得：

將式(14)代入(12)中，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題：

分別使用積分控制器和PI-PI 控制器代替圖4 中CTTM(s)，取延時(shí)環(huán)節(jié)τ=0.06 s 并仿真，得到系統(tǒng)誤差抑制曲線如圖7 所示。從圖7 中可看出，在低頻處PI-PI 控制器具有更高的誤差抑制能力，符合系統(tǒng)需求。

圖7 積分控制器和PI-PI 控制誤差抑制曲線仿真圖Fig.7 Integral controller and pi-pi control error suppression curve simulation diagram

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

搭建實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述理論的正確性，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖8 所示。其中CCD 和TTM 都置于Stewart 平臺(tái)上，光路經(jīng)過(guò)TTM 到達(dá)CCD。CCD 的數(shù)據(jù)信息經(jīng)過(guò)圖像處理單元處理后傳至控制單元，控制單元主要由數(shù)字信號(hào)處理模塊(DSP)、場(chǎng)可編程序門(mén)陣列(FPGA)、模數(shù)轉(zhuǎn)化模塊(A/D)、數(shù)模轉(zhuǎn)化模塊(D/A)和串口(UART)組成。誤差信息經(jīng)過(guò)DSP 處理后得到控制量，經(jīng)過(guò)驅(qū)動(dòng)放大后分別用于控制TTM 進(jìn)而得到卸載量用以控制Stewart 平臺(tái)。

圖8 雙階系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)圖Fig.8 Experimental diagram of the two-stage system

CCD 的采樣頻率為50 Hz,分辨率為 1 k×1 k，像元尺寸為45 μm，焦距為500 mm；TTM 的驅(qū)動(dòng)電機(jī)是壓電陶瓷，精度為0.2′′，鏡頭的轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍為?160″；Stewart 平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)為音圈電機(jī)，行程大，Stewart 平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍為?0.886?。

4.1 TTM 子系統(tǒng)控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果

CCD 采樣頻率為50 Hz，且CCD 獲得的圖像需延時(shí)3 幀才可用于控制，則取τ=0.06 s。在低頻處可將TTM 的對(duì)象特性看作是1。則根據(jù)理論分析分別設(shè)計(jì)PI 控制器和PI-PI 控制器。分別測(cè)量二者閉環(huán)控制時(shí)的誤差抑制頻響，如圖9 所示。可見(jiàn)，在跟蹤目標(biāo)頻率低于1 Hz，PI-PI 控制器的誤差抑制能力要比PI 控制器強(qiáng)。

圖9 PI 與PI-PI 控制器的誤差抑制曲線對(duì)比Fig.9 The error suppression curve of the PI and PI-PI controller is compared

在模擬跟蹤目標(biāo)按以0.05 Hz 正弦運(yùn)動(dòng)，所得到的跟蹤誤差的時(shí)域及頻域如圖10(a)所示。從時(shí)域圖中可見(jiàn)，PI-PI 控制器相對(duì)于PI 控制器跟蹤精度有極大的提高。其中PI 控制的誤差RMS 為21.89″，PI-PI控制誤差的RMS為3.25″，降低了85.17%。從頻域上可看出，PI-PI 控制器的引進(jìn)在基頻處的抑制能力提升顯著，而不會(huì)再引入諧波干擾。而當(dāng)目標(biāo)以0.8 Hz正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)(如圖10(b))，PI-PI 控制效果并無(wú)明顯提高，說(shuō)明PI-PI 控制器在小于0.8 Hz 的低頻處可有效提升控制精度，而在其他頻段和PI 控制器效果類(lèi)似。

圖10 雙階系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)圖。(a) f=0.05 Hz;(b) f=0.80 HzFig.10 The two-stage system experiment.(a) f=0.05 Hz;(b) f=0.80 Hz

4.2 雙階控制系統(tǒng)與單階系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

雙階控制中卸載量是精級(jí)子系統(tǒng)的位置輸出，通過(guò)應(yīng)變片測(cè)量而得。由于應(yīng)變片采樣頻率為2 kHz，基本可滿足Hs(s)=1，系統(tǒng)解耦。卸載量變化過(guò)程如圖10 所示。其中第一階段系統(tǒng)定點(diǎn)指向，第二階段系統(tǒng)跟蹤正弦運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。應(yīng)變片量程為?16384，而卸載量在穩(wěn)定狀態(tài)不超過(guò)滿量程的13%，說(shuō)明精級(jí)系統(tǒng)中TTM 一直保持小角度的運(yùn)動(dòng)范圍。

圖11 雙階控制中卸載量變化過(guò)程Fig.11 The process of unloading quantization in two-stage control

模擬目標(biāo)以0.01 Hz、0.02 Hz 和0.05 Hz 的正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別測(cè)得單階結(jié)構(gòu)和雙階結(jié)構(gòu)的跟蹤誤差，如圖12 所示，相應(yīng)的誤差RMS 對(duì)比如表1 所示。

從圖12 和表1 可看出，相比于單階結(jié)構(gòu)，雙階結(jié)構(gòu)有更好的誤差抑制能力，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。實(shí)際上，正是由于卸載量很小，TTM 處于小角度運(yùn)動(dòng)，才使得系統(tǒng)精度有了質(zhì)的提高。

表1 3 種頻率下單階結(jié)構(gòu)和雙階結(jié)構(gòu)的跟蹤誤差RMS 對(duì)比Table 1 RMS comparison of tracking errors between single-order structure and double-order structure at three frequencies

圖12 單階結(jié)構(gòu)和雙階結(jié)構(gòu)的跟蹤誤差對(duì)比。(a) 0.01 Hz；(b) 0.02 Hz；(c) 0.05 HzFig.12 The tracking error of single-order structure and two-step structure is compared.(a) 0.01 Hz；(b) 0.02 Hz；(c) 0.05 Hz

5 結(jié)論

本文針對(duì)Stewart 平臺(tái)雙階控制系統(tǒng)，提出了基于精級(jí)位置輸出的卸載控制。在理論上，新雙階結(jié)構(gòu)相對(duì)于傳統(tǒng)的雙階控制有等效的誤差抑制能力；在工程上，新結(jié)構(gòu)的解耦環(huán)節(jié)更容易實(shí)現(xiàn)，降低控制難度，并由此可單獨(dú)設(shè)計(jì)粗精級(jí)子系統(tǒng)的控制器。對(duì)于粗級(jí)子系統(tǒng)，可將Stewart 平臺(tái)看作是低通濾波器，設(shè)計(jì)普通PID 進(jìn)行控制；而精級(jí)子系統(tǒng)是整體系統(tǒng)的跟蹤精度提高的本質(zhì)原因，因此設(shè)計(jì)PI-PI 控制器提高系統(tǒng)低頻誤差抑制能力。經(jīng)過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)可得出PI-PI控制器相比于普通的PI 控制器在低頻處有更強(qiáng)的誤差抑制能力，同時(shí)不會(huì)引入高次諧波。設(shè)計(jì)單CCD的雙階控制實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出，雙階結(jié)構(gòu)相比與僅用Stewart 平臺(tái)可提升2～4 倍的誤差抑制能力，較好地解決了用于隔振的Stewart 平臺(tái)跟蹤精度難以提高的問(wèn)題。本研究中需要傳感器測(cè)量精級(jí)子系統(tǒng)的位置輸出用于卸載，而由于傳感器采樣頻率高而近似滿足系統(tǒng)解耦條件，同時(shí)傳感器必然存在測(cè)量噪聲，如何克服這些問(wèn)題是下一步需要研究的工作。