湖北省武漢市七一中學(xué) 馬仕雄

1 引言

幾何類比探究題一般作為整個(gè)試卷的幾何壓軸題，試題設(shè)置層層遞進(jìn)，逐步深入，往往以常見(jiàn)的幾何模型為背景探索一個(gè)基本結(jié)論，然后類比探究到較為復(fù)雜或缺失某些條件的圖形，利用解題積累的經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用或構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題.這類題考查從特殊到一般、類比思想，考查邏輯推理、幾何直觀、想象能力、創(chuàng)新精神等.在一次中考模擬測(cè)試中，學(xué)生對(duì)一道類比探究型的解法引起了筆者的思考.

2 試題呈現(xiàn)

(1)【特殊發(fā)現(xiàn)】如圖1，AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，連接BD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BF=1，BC=3，則AB·CD=；

圖1

(2)【類比探究】如圖2，在線段BC上存在點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，DE交于點(diǎn)H，若∠ABC=∠AHD=∠ECD，求證：AB·CD=BF·CE；

圖2

(3)【解決問(wèn)題】如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC=4，E為AB中點(diǎn)，D為AE中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線DM∥BC，在直線DM上取一點(diǎn)F，連接BF交CE于點(diǎn)H，使∠FHC=∠ABC，問(wèn)：DF·BC是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

3 試題解答

解：(1)3；

(3)因?yàn)锳B=AC，DF∥BC，所以∠ACB=∠ABC=∠ADM=∠AMD，于是AM=AD.又因?yàn)锳B=AC=4，E為AB中點(diǎn)，D為AE中點(diǎn)，所以AE=2，AM=AD=1，AC=4.因?yàn)椤螰HC=∠ABC，所以∠ACB=∠FHC，即∠EBH+∠HBC=∠HBC+∠BCE，得∠EBH=∠BCE.同理可得∠ACE=∠HBC.

解法1：如圖4，在DA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)S，使∠S=∠ADF.由AB=AC，DM∥BC，可得：∠ADM=∠AMD=∠ABC=∠ACB=∠FMC=∠S.

圖4

所以SB·BE=SD·AB.

依題意得AD=DE=1，BE=2，所以2SB=4SD，即SB=2SD.

所以SD=BD=3，從而SB=6.

則SF·BC=6×2=12，即DF·BC=12.

解法2：如圖5，延長(zhǎng)CE于點(diǎn)S，使ES=CE，連接BS，AS，則四邊形ASBC為平行四邊形.過(guò)點(diǎn)F作FT∥AB交BC于點(diǎn)T，則四邊形FDBT為平行四邊形，∠FHC=∠ABC，∠SBC+∠ACB=∠ABC+∠FTC=∠FHC+∠SHF=180°，所以∠SBC=∠FTB=∠SHF，所以△BSC∽△TBF，所以BS·FT=BT·BC，又BS=AB=4，BD=FT=3，所以BS·FT=DF·BC=12.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

4 教學(xué)思考

4.1 強(qiáng)化類比思路

顯然，解法1和解法2是命題者希望看到的方法，但在實(shí)際測(cè)試中班上48人中有35人做出了第(3)問(wèn)，而用解法1和解法2的學(xué)生只有9人.這一現(xiàn)象引起了筆者的思考，為什么學(xué)生沒(méi)有按命題者設(shè)計(jì)的思路思考問(wèn)題呢？題目要類比什么？怎樣用類比來(lái)探究問(wèn)題？可以發(fā)現(xiàn)，類比的不僅是幾何模型，還有證題方法和解題思路.解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于模型的識(shí)別，要找出待解決的問(wèn)題和幾何模型的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，待解決的問(wèn)題中有沒(méi)有此幾何模型中的基本特征，如果有，結(jié)論是什么？如果沒(méi)有，缺什么？需構(gòu)造什么？如何構(gòu)造？這就需要學(xué)生發(fā)揮想象力，展開(kāi)聯(lián)想.為此在原題的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一道補(bǔ)償練習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生類比探究的思路.

圖11

(2)如圖12，在等邊△ABC中，點(diǎn)E，D分別在邊AB，BC上，連接AD，CE交于點(diǎn)V，且AE=BD，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BD=1，CD=3，求DF的長(zhǎng).

圖12

圖13

圖14

4.2 培養(yǎng)解題習(xí)慣

在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的閱讀能力和解題意識(shí)的培養(yǎng).注重審題、閱讀習(xí)慣的培養(yǎng)，解題時(shí)不要孤立地去思考問(wèn)題，應(yīng)將思維過(guò)程基于基本模型識(shí)別和應(yīng)用之上,注重問(wèn)題的前后關(guān)聯(lián)，運(yùn)用類比思想簡(jiǎn)化解題思路.這個(gè)過(guò)程需要教師的引導(dǎo)，更需要學(xué)生的領(lǐng)悟.

對(duì)于類比探究型的幾何綜合題的教學(xué)，教師要選取切合學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，而且導(dǎo)向性明確的試題，讓學(xué)生能合理、自然地類比探究，在潛移默化中提升思維能力.Z