湖北省武漢市將軍路中學(xué) 王 瓊

湖北省武漢市吳家山第三中學(xué) 萬建光

1 引言

最短路徑問題是八年級(jí)“軸對(duì)稱”一章章末的課題學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生探究線段的不等關(guān)系，這一內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)中濃墨重彩的一筆.關(guān)于最短路徑模型的應(yīng)用、拓展及變式的研究成果非常豐富，對(duì)求最值問題中點(diǎn)和線的各種情況的解題策略都有詳盡歸納，學(xué)生運(yùn)用這些方法解題也能得心應(yīng)手.縱觀一些“最短路徑問題”的公開課，執(zhí)教者從經(jīng)典的將軍飲馬故事入手，讓學(xué)生經(jīng)歷建模、化歸、證明、應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生能夠熟練運(yùn)用軸對(duì)稱解決最短路徑問題并進(jìn)行遷移.課后仔細(xì)想一想，在這個(gè)過程中，執(zhí)教者往往凸顯解決問題過程中的化歸思想，而忽略了學(xué)生思維中的推理成分.在對(duì)問題進(jìn)行推理的過程中只重視發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，而忽略合情推理能力的培養(yǎng).學(xué)生的作圖方法是通過模仿、操作和記憶來完成的，掩蓋了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，限制了學(xué)生的推理能力發(fā)展.

當(dāng)然，人們發(fā)現(xiàn)知識(shí)的曲折過程不可能讓學(xué)生在有限的一節(jié)課時(shí)間親身體驗(yàn)，但教師應(yīng)該在遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的關(guān)鍵性過程.

2 教學(xué)流程

活動(dòng)1：初識(shí)路徑，建立模型.

問題1：如圖1，將軍從指揮部A地出發(fā)，到一條小河l邊飲馬，然后到河對(duì)岸的軍營B地，那么到河邊什么地方飲馬可使他走的路線全程最短？

圖1

(1)建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題“在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最短”；

(2)如何作圖：如圖2，連接AB交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求；

圖2

(3)證明AC+BC最短：如圖2，運(yùn)用“三角形的兩邊之和大于第三邊”或者“兩點(diǎn)之間線段最短”，這兩個(gè)結(jié)論實(shí)質(zhì)是一個(gè)道理；

(4)歸納圖中點(diǎn)和線的位置關(guān)系，并總結(jié)方法“化折為直”.

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)計(jì)這個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決這個(gè)問題，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理證明，將學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明.同時(shí)，后面的兩個(gè)問題都可以化歸為這個(gè)模型，為學(xué)生后續(xù)推理提供依據(jù).

活動(dòng)2：再識(shí)路徑，猜想證明.

問題2：如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

(1)觀察：幾何畫板演示，如圖3.

圖3

①在圖中拖動(dòng)直線l的位置；

②拖動(dòng)直線l上的點(diǎn)C，計(jì)算AC+BC的值.

如圖4，觀察在點(diǎn)C處取最小值時(shí)，直線AC和直線BC的位置關(guān)系是什么？

圖4

(2)猜想：如圖5，兩點(diǎn)“移”到直線l的異側(cè)得到最短路徑.

圖5

(3)嘗試作圖.

(4)如圖6，學(xué)生證明AC+BC最短.

圖6

(5)引導(dǎo)學(xué)生歸納：通過軸對(duì)稱作圖，將直線同側(cè)兩條線段化為直線異側(cè)兩條線段求得最短路徑.

設(shè)計(jì)意圖：通過幾何畫板演示，拖動(dòng)直線l的位置，將問題1中的情境改變?yōu)橹本€同側(cè)兩點(diǎn)，與學(xué)生原有的認(rèn)知產(chǎn)生沖突.繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)C在直線l上的位置，演示最短路徑時(shí)的位置，通過觀察直線AC和直線BC的位置關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，軸對(duì)稱在化歸過程中起到橋梁作用.學(xué)生通過觀察、猜想后獲得解決問題的方法，最后通過邏輯證明，讓學(xué)生深切體會(huì)到軸對(duì)稱變換的作用，即將直線同側(cè)兩點(diǎn)中的一點(diǎn)映射到另一側(cè)，而不改變路徑的總長度.

活動(dòng)3：深悟方法，類比遷移.

問題3：(造橋選址問題)如圖7，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)

圖7

圖8

(1)幾何畫板演示，觀察最短路徑AM+MN+NB時(shí)線段的位置關(guān)系和大小關(guān)系？

(2)如何轉(zhuǎn)化線段的位置構(gòu)成兩點(diǎn)之間線段最短基本模型？

設(shè)計(jì)意圖：類比問題2的探究過程，在拖動(dòng)線段MN的過程中，找到最短路徑時(shí)的位置，觀察線段AM，MN和NB的位置關(guān)系和大小關(guān)系，學(xué)生很容易觀察到MN為定值，AM與BN平行，通過平移變換，將線段AM平移到線段A′N,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段MN平移到線段AA′；同理，將線段NB，平移到MB′,MN則平移到BB′.這樣，將問題3化歸為問題1的模型.雖然觀察到AM與BN平行，但在作圖過程中，應(yīng)該先將定值MN平移，構(gòu)造平行四邊形，完成線段轉(zhuǎn)化.這個(gè)過程中注意引導(dǎo)學(xué)生分清變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)線段，完成最后的證明.

活動(dòng)4：全面梳理，反思推理.

(1)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的依據(jù)是什么？

(2)我們?nèi)绾握业捷S對(duì)稱或平移的方法來轉(zhuǎn)化線段的？

(3)什么情形下用軸對(duì)稱的方法？什么情形下用平移的方法？

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)注學(xué)生的推理活動(dòng)過程，引導(dǎo)學(xué)生梳理解決最短路徑問題的知識(shí)準(zhǔn)備、方法探索、方法應(yīng)用及辨析過程，明確合情推理和演繹推理在推理過程中的作用.

3 教學(xué)分析

推理一般包括合情推理和演繹推理.在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論[1].國際學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目(PISA2009)將推理能力分為三個(gè)水平：再現(xiàn)、聯(lián)系和反思[2].

3.1 建立模型，實(shí)現(xiàn)再現(xiàn)

建模的過程實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)推理的過程，模型的建立為學(xué)生的推理提供“再現(xiàn)”的內(nèi)容.本節(jié)課中學(xué)生很容易運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決這個(gè)問題，通過這個(gè)模型解決后續(xù)問題.但是我們更應(yīng)該關(guān)注這個(gè)模型背后的數(shù)學(xué)思考.人教版初中數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)上冊(cè)將這個(gè)結(jié)論定義為“一個(gè)基本事實(shí)”，本質(zhì)上是對(duì)這個(gè)結(jié)論的合情推理，而七年級(jí)的學(xué)生缺乏相應(yīng)的知識(shí)來證明這個(gè)結(jié)論.八年級(jí)的學(xué)生通過對(duì)三角形的知識(shí)學(xué)習(xí)過程，已具備一定的演繹推理能力，可以完成對(duì)這個(gè)結(jié)論的證明.這個(gè)模型的建立為學(xué)生后續(xù)的推理提供了依據(jù)，使學(xué)生推理過程中有能力對(duì)已有知識(shí)“再現(xiàn)”.

3.2 操作證明，辨析聯(lián)系

著名數(shù)學(xué)教育家斯滕伯格基于自身的教學(xué)實(shí)踐認(rèn)為：培養(yǎng)推理能力的有效方式是將操作、實(shí)踐性思維與分析、概括性思維有機(jī)地結(jié)合起來[3].

合情推理強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探索等體驗(yàn)性活動(dòng)內(nèi)容.學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、證明等活動(dòng)過程.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，觀察、歸納、猜想這樣的學(xué)習(xí)方式常常被用于代數(shù)的計(jì)算法則和數(shù)式規(guī)律的探索中，幾何推理常常側(cè)重于邏輯證明.本課中，通過觀察幾何畫板演示并計(jì)算最短路徑的過程最終確定最短路徑時(shí)的位置，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)感知，發(fā)展直覺；通過觀察最短路徑時(shí)線段的位置關(guān)系獲得猜想，找到轉(zhuǎn)化線段位置的方法，讓學(xué)生感悟到知識(shí)的形成過程.

在實(shí)踐操作中探索得出的結(jié)論，需要用演繹推理的方式加以證明.教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行證明，并用語言清晰、有條理地表達(dá)自己的想法，做到言之有理，落筆有據(jù).

問題3的解決既是推理過程的重現(xiàn)，又是推理能力的提升.學(xué)生在已有解決問題2的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，嘗試獨(dú)立進(jìn)行推理，讓他們自己把握推理過程中的種種關(guān)系，從一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決過程中，掌握研究一類問題的方法，正是我們需要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).同樣通過演示操作確定思路，數(shù)學(xué)表達(dá)完成證明.此時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，避免學(xué)生再度使用軸對(duì)稱方法而誤入歧途.因此，在教學(xué)中，要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比情境之間的異同及相關(guān)模型、知識(shí)、方法之間的關(guān)聯(lián)，建立更準(zhǔn)確的“聯(lián)系”.

3.3 反思推理，形成方法

在教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)推理過程和推理結(jié)果兩個(gè)方面進(jìn)行反思.通過思考“我們?nèi)绾握业捷S對(duì)稱或平移的方法來轉(zhuǎn)化線段”，即通過觀察、猜想探索方法，然后通過證明驗(yàn)證方法的正確性，由此完成對(duì)推理過程的反思.通過思考“什么情形下用軸對(duì)稱的方法？什么情形下用平移的方法？”這個(gè)問題，總結(jié)點(diǎn)與線的位置關(guān)系與選取方法的聯(lián)系，對(duì)推理的結(jié)果進(jìn)行反思.這個(gè)“反思”的過程，需要學(xué)生對(duì)整個(gè)推理活動(dòng)進(jìn)行總結(jié)和提煉，這個(gè)過程本身也是一個(gè)推理活動(dòng).

同時(shí)通過反思獲得推理的一般性方法，暴露推理過程的思維活動(dòng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)過程中的推理活動(dòng)提供依據(jù).

推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中.在教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮合情推理和演繹推理在思維過程中的作用，引導(dǎo)學(xué)生在推理活動(dòng)過程中“大膽猜想，小心求證”，既重視學(xué)生思維結(jié)果的嚴(yán)密性，又要注重思維過程的探索性，更需要學(xué)生孜孜不倦地在嘗試中自主建構(gòu)，提升推理能力.