唐雅瓊，李團(tuán)結(jié)，陳聰聰

(西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

空間大型可展開結(jié)構(gòu)是未來建造天基(Very Long Baseline Interferometry，VLBI)、全球降雨雷達(dá)系統(tǒng)、空間太陽(yáng)能電站、大型空間軍事基礎(chǔ)設(shè)施的關(guān)鍵部分。為了滿足火箭運(yùn)載體積和重量的限制，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)已經(jīng)成為實(shí)現(xiàn)空間可展開天線大型化、輕重量與高收納比的最佳結(jié)構(gòu)方案之一[1-4]，已經(jīng)涌現(xiàn)出許多在軌應(yīng)用的案例，例如亞洲蜂窩衛(wèi)星ACeS攜帶17 m的 L頻段傘狀可展開天線；日本HALCA衛(wèi)星攜帶8 m的 Ku頻段徑向伸展式可展開天線；日本工程實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星ETS-VIII攜帶兩部19 m×17 m 的S頻段構(gòu)架式可展開天線；我國(guó)環(huán)境一號(hào)C星攜帶的6 m×2.8 m的S頻段構(gòu)架式可展開天線；美國(guó)商業(yè)通信衛(wèi)星TerreStar-1攜帶18 m的L頻段Y形折疊肋可展開天線；美國(guó)移動(dòng)寬帶通信衛(wèi)星SkyTerra-1攜帶22 m的環(huán)向Y形肋可展開天線；美國(guó)Thuraya系列通訊衛(wèi)星、美國(guó)氣象衛(wèi)星、日本MBSat移動(dòng)廣播衛(wèi)星、歐洲第四代國(guó)際通信衛(wèi)星Inmarsat-4 F1以及我國(guó)天通一號(hào)衛(wèi)星攜帶的12 m～20 m環(huán)形桁架可展開天線等。

索網(wǎng)天線由索網(wǎng)結(jié)構(gòu)、支撐桁架、金屬絲網(wǎng)和饋源組成。索網(wǎng)在桁架和預(yù)緊力作用下張成一定的形狀，用于鋪附金屬絲網(wǎng)反射電磁波。按照桁架為索網(wǎng)提供的邊界類型，索網(wǎng)天線可分為閉環(huán)支撐(如環(huán)形桁架可展開天線)和開環(huán)支撐(如傘狀可展開天線)兩種結(jié)構(gòu)形式[5]。相比于開環(huán)支撐，閉環(huán)支撐可為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)提供較為完備的邊界條件，具有更輕的質(zhì)量、更小的裝載體積以及更小的表面反枕誤差，因此在大型可展開天線中占有非常重要的地位和發(fā)展?jié)摿6]。在索網(wǎng)天線設(shè)計(jì)中，索網(wǎng)找形是決定天線能否實(shí)現(xiàn)預(yù)定功能的重要環(huán)節(jié)。索網(wǎng)找形分為以形找力、以力找形和力形耦合3種，它的目標(biāo)是設(shè)計(jì)出具有足夠高形面精度和剛度的索網(wǎng)幾何和預(yù)張力。所采用的數(shù)學(xué)建模方法包括解析法、動(dòng)力松弛法、力密度法和非線性有限元法等[7-20]。TIBERT等[11-12]提出一種基于力密度的索網(wǎng)天線預(yù)張力設(shè)計(jì)方法。這種方法首先通過力密度方法找到網(wǎng)面的平面極小長(zhǎng)度構(gòu)型，得到索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)在平面上的坐標(biāo)值，然后將平面的構(gòu)型垂直投影到拋物面而得到豎向坐標(biāo)，根據(jù)投影后索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)位置建立力平衡方程度并計(jì)算得到豎向索張力。該方法基于特征值分析和光譜分析方法，建立不滿秩節(jié)點(diǎn)平衡矩陣的迭代格式，以計(jì)算力密度的可行解。MORTEROLLE等[13]提出了一種考慮幾何約束的改進(jìn)力密度法。這種找形方法以力密度作為迭代參數(shù)，根據(jù)每一根索段的張力與給定張力的差值修正當(dāng)前的力密度值，通過循環(huán)迭代使得索段張力和節(jié)點(diǎn)位置滿足給定的張力要求，繼而逐步擴(kuò)大到索段周邊的索段，最后擴(kuò)展到整個(gè)索網(wǎng)反射面，整體實(shí)現(xiàn)索網(wǎng)張力的均勻分布。TANAKA等[14-15]利用由力密度求解出的索段力與由胡克定律求得的索段力滿足一致性的條件，來進(jìn)行索網(wǎng)反射面的預(yù)張力設(shè)計(jì)，并首次提出了考慮桁架變形的找形設(shè)計(jì)算法。LI等[16]提出了考慮桁架變形的兩步法：第1步將索網(wǎng)邊界固定對(duì)索網(wǎng)張力進(jìn)行設(shè)計(jì)；第2步，優(yōu)化與桁架相連的索段預(yù)張力來減少支撐結(jié)構(gòu)變形對(duì)索網(wǎng)張力的影響。兩步法揭示了索網(wǎng)與桁架耦合變形機(jī)制，方法簡(jiǎn)單有效，形成了考慮桁架變形找形設(shè)計(jì)方法的基本輪廓。NIE等[17-18]研究了索、梁和鉸鏈組合結(jié)構(gòu)的預(yù)張力設(shè)計(jì)方法，并以典型軌道位置的天線形面誤差為指標(biāo)，綜合考慮了熱變形與彈性變形的影響。針對(duì)熱環(huán)形、加工制造等不確定性問題，DENG等[19-20]提出了區(qū)間力密度找形設(shè)計(jì)方法。

索網(wǎng)找形發(fā)展至今，已從最初的純索網(wǎng)找形，發(fā)展為考慮桁架變形、空間熱環(huán)形、加工制造不確定性等面向工程實(shí)際的索網(wǎng)找形。但是，對(duì)于現(xiàn)有的索網(wǎng)天線類型，索網(wǎng)往往被包裹在桁架的內(nèi)部，在索網(wǎng)張緊時(shí)桁架變形是不可避免的，即使不少學(xué)者提出了考慮桁架變形的索網(wǎng)天線找形設(shè)計(jì)方法，嘗試通過對(duì)桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形補(bǔ)償來提高形面精度，依然不能達(dá)到特別好的效果。隨著結(jié)構(gòu)尺寸的增大，空間可展開天線越來越多地采用細(xì)長(zhǎng)桿作為支撐結(jié)構(gòu)。細(xì)長(zhǎng)桿具有大的抗拉壓剛度和較小的抗彎曲剛度，考慮桁架變形的找形設(shè)計(jì)方法，雖然可以在某種程度上減小桁架變形對(duì)形面精度的影響，但并不能避免桁架受到彎矩的影響。為此，筆者提出一種環(huán)形張拉式索網(wǎng)可展開天線，實(shí)現(xiàn)了桿只受壓而不受彎，大大降低了支撐結(jié)構(gòu)的彈性變形，提高了索網(wǎng)可展開天線的設(shè)計(jì)精度。

1 構(gòu)型設(shè)計(jì)

環(huán)形張拉式索網(wǎng)可展開天線反射面如圖1所示，由支撐結(jié)構(gòu)和索網(wǎng)結(jié)構(gòu)兩部分組成。支撐結(jié)構(gòu)包括壓桿、加強(qiáng)索和拉索，壓桿和拉索承受軸向壓力，加強(qiáng)索用于提高結(jié)構(gòu)整體剛度。索網(wǎng)結(jié)構(gòu)由前索網(wǎng)、張緊索和背索網(wǎng)組成，前索網(wǎng)在張緊索和背索網(wǎng)的共同作用下張成反射面的形狀，用于支撐金屬網(wǎng)反射電磁波。索網(wǎng)結(jié)構(gòu)通過外圍節(jié)點(diǎn)與支撐結(jié)構(gòu)相連。在發(fā)射階段，壓桿折疊、整體沿徑向收縮以減少體積，發(fā)射到預(yù)定軌道之后結(jié)構(gòu)展開，并具備反射電磁波的功能。

2 分塊式節(jié)點(diǎn)力平衡方程

在單元預(yù)緊力的作用下，索網(wǎng)天線節(jié)點(diǎn)自平衡方程可以寫成如下形式，

MF=0，

(1)

其中，M∈RNn×Nm為自平衡系數(shù)矩陣；R為矩陣維數(shù)；Nn為節(jié)點(diǎn)數(shù)；Nm為單元數(shù)，0表示零矩陣。如果節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j相連構(gòu)成單元m，則M第3i-2行、第3i-1行和第3i行取值為

(2)

(3)

(4)

其中，(xi，yi，zi)和(xj，yj，zj)分別表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的坐標(biāo)；lm表示單元計(jì)算長(zhǎng)度，當(dāng)單元為拉索時(shí)，計(jì)算長(zhǎng)度為單元長(zhǎng)度的正值，當(dāng)單元為壓桿時(shí)，計(jì)算長(zhǎng)度為單元長(zhǎng)度的負(fù)值，即

(5)

通過引入計(jì)算長(zhǎng)度，可以將式中壓桿單元和拉索單元預(yù)緊力的符號(hào)統(tǒng)一為正值，便于優(yōu)化求解。為了降低方程求解的復(fù)雜度，需要進(jìn)一步將單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分類。根據(jù)單元和節(jié)點(diǎn)所處位置，將單元分為支撐單元和索網(wǎng)單元；將節(jié)點(diǎn)分為索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)、支撐節(jié)點(diǎn)和共用節(jié)點(diǎn)。

根據(jù)不同的單元類型，為單元編號(hào)定義如下3個(gè)集合，

{m|m∈Sm，m為單元編號(hào)} ，

(6)

(7)

(8)

上述單元編號(hào)集合滿足如下關(guān)系：

(9)

同理，根據(jù)不同的節(jié)點(diǎn)類型，定義集合如下，

{n|n∈Sn，n為節(jié)點(diǎn)編號(hào)} ，

(10)

(11)

(12)

(13)

上述節(jié)點(diǎn)編號(hào)集合滿足如下關(guān)系關(guān)系：

(14)

根據(jù)上述的分類方式，索網(wǎng)天線節(jié)點(diǎn)在單元預(yù)緊力下自平衡方程式可整理成如下分塊形式：

(15)

找形設(shè)計(jì)實(shí)際上就是對(duì)方程進(jìn)行優(yōu)化求解，為了降低求解難度，將式展開成如下兩種遞推方程的形式：

遞推方程1MccFc=0，

(16)

(17)

遞推方程2MobFb=0，

(18)

(19)

上述兩種遞推方程實(shí)際上反映了兩種找形設(shè)計(jì)方法。第1種，先對(duì)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形，再將索網(wǎng)的預(yù)緊力作為外力施加到支撐框架上，再對(duì)支撐結(jié)構(gòu)找形；第2種，先對(duì)支撐結(jié)構(gòu)找形，再將支撐結(jié)構(gòu)的預(yù)緊力作為外力施加到索網(wǎng)結(jié)構(gòu)上，再對(duì)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形。兩種方法所用到的優(yōu)化求解算法是一致的，因此下面僅介紹基于第一類遞推方程的找形設(shè)計(jì)方法。

3 找形設(shè)計(jì)方法

索網(wǎng)反射面找形設(shè)計(jì)的目的是使反射面具有高形面精度的同時(shí)，還具有抵抗外界干擾的能力，即在保證索網(wǎng)具有一定幾何狀態(tài)的前提下，尋找一組較均勻的預(yù)張力，使整個(gè)結(jié)構(gòu)自應(yīng)力平衡。

3.1 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形

當(dāng)結(jié)構(gòu)形狀給定時(shí)，方程是典型的齊次線性方程組。當(dāng)Mcc核空間維數(shù)dimN(Mcc)大于1時(shí)，存在無窮多組預(yù)張力可使索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在當(dāng)前幾何狀態(tài)下達(dá)到力平衡。這些預(yù)張力的值可以表示為

(20)

對(duì)于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，我們希望找到一組均勻、大于零的預(yù)緊力，使得結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定。為此，建立如下的優(yōu)化模型，

(21)

上述求解方法可以稱為“以形找力”，即在給定結(jié)構(gòu)形狀的情況下，尋找一組平衡預(yù)緊力。但是當(dāng)Mcc核空間維數(shù)dimN(Mcc)小于等于1或者找不到滿足所有約束條件的解時(shí)，說明當(dāng)前幾何狀態(tài)無法實(shí)現(xiàn)力平衡。這種情況下，需要對(duì)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行“力形耦合設(shè)計(jì)”。

力形耦合設(shè)計(jì)通?；诹γ芏确匠踢M(jìn)行。力密度方程將節(jié)點(diǎn)幾何信息和力信息通過引入力密度實(shí)現(xiàn)解耦，使得優(yōu)化求解更加容易。

將式寫成力密度的形式：

(22)

在求解式的過程中，當(dāng)給定單元的力密度值時(shí)，獲得新的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。為了獲得具有一定形面精度的幾何-預(yù)張力狀態(tài)，建立如下優(yōu)化模型：

(23)

通過優(yōu)化求解式(21)或者式(23)，可以獲得一組較為理想的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)幾何和預(yù)緊力(xc，yc，zc)和Fc，進(jìn)而計(jì)算出等式的右側(cè)，即可對(duì)支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形。

3.2 支撐結(jié)構(gòu)找形

(24)

同樣，筆者希望找到一組均勻、大于零的預(yù)緊力使得結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定，為此建立如下優(yōu)化模型：

(25)

當(dāng)方程系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩不相同時(shí)或者上述優(yōu)化模型找不到滿足所有約束條件的解時(shí)，需要開展力形耦合設(shè)計(jì)。將式寫成力密度方程形式：

(26)

為了獲得具有一定形面精度的幾何-預(yù)張力狀態(tài)，建立如下優(yōu)化模型：

(27)

通過求解上述方程，即可實(shí)現(xiàn)索網(wǎng)約束條件下的支撐結(jié)構(gòu)力形耦合設(shè)計(jì)。

4 數(shù)值仿真算例

反射面示意圖如圖2所示。

令反射面口徑D為22 m，壓桿內(nèi)圈直徑d為20 m，前索網(wǎng)和背網(wǎng)均為焦距16 m的拋物面，反射面整體高度H為4 m，桁架邊數(shù)B為18，最內(nèi)圈索網(wǎng)周向分段數(shù)為B，次圈為2B，第3圈為3B，第4圈為4B，第5圈為5B，第6圈為6B，最外圈為6B。經(jīng)分析知，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)自平衡方程系數(shù)矩陣的核空間維數(shù)為653，因此可以采用式對(duì)其進(jìn)行找形設(shè)計(jì)。找形后的預(yù)緊力如圖3和圖4所示。前索網(wǎng)索段最大預(yù)緊力為103.04 N，最小預(yù)緊力為10.12 N；張緊索最大預(yù)緊力為4.65 N，最小預(yù)緊力為0.50 N。因?yàn)楸乘骶W(wǎng)與前索網(wǎng)對(duì)稱，所以其預(yù)緊力分布與前索網(wǎng)相同。

然后將索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的預(yù)緊力作為外力加載到支撐結(jié)構(gòu)上對(duì)其進(jìn)行找形。通過分析可知，支撐結(jié)構(gòu)的靜平衡系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩相同，核空間維數(shù)為99，因此直接采用式(25)對(duì)其進(jìn)行找形設(shè)計(jì)。找形后的預(yù)緊力如表1所示，表中正預(yù)緊力表示單元受拉，負(fù)預(yù)緊力代表單元受壓。對(duì)照?qǐng)D2第3張圖可以看出，支撐結(jié)構(gòu)所有桿受壓，索受拉。拉索3和壓桿8、9、10作為主要承載單元具有較大的預(yù)緊力，而加強(qiáng)索1，2，4，5取較小的預(yù)緊力。

最后，設(shè)索的彈性模量為20 GPa，泊松比為0.3，截面形狀為半徑為1 mm的圓截面；梁的彈性模量為150 GPa，泊松比為0.3，截面形狀是半徑為100 mm的圓截面。采用Link 10單元和Link 8單元分別模擬拉索和壓桿，建立索網(wǎng)反射面的有限元模型，對(duì)找形結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證?？紤]結(jié)構(gòu)的彈性變形，不考慮重力的影響，經(jīng)過靜力分析得到的節(jié)點(diǎn)位移云圖如圖5所示。位移為0處施加了邊界約束。從圖5中可以看出，節(jié)點(diǎn)最大位移為 0.090 mm，經(jīng)計(jì)算，前索網(wǎng)均方根誤差(形面誤差)為0.054 mm，即在考慮結(jié)構(gòu)彈性變形時(shí)，結(jié)構(gòu)依然具有很高的形面精度。

>表1 支撐框架預(yù)張力分布

5 結(jié)束語(yǔ)

通過引入張拉結(jié)構(gòu)思想，以索受拉、桿受壓為約束，筆者提出了一種環(huán)形張拉式索網(wǎng)可展開天線，并提出了基于分塊式節(jié)點(diǎn)力平衡方程的“以形找力”和“力形耦合設(shè)計(jì)”找形方法。最后通過數(shù)值仿真分析，得出以下結(jié)論：

(1) 所提出的環(huán)形張拉式索網(wǎng)可展開天線中，桿單元預(yù)緊力為負(fù)值，索單元預(yù)緊力為正值，表明所有桿受壓、索受拉；

(2) 有限元仿真結(jié)果表明前索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)均方根誤差為0.054 mm，說明結(jié)構(gòu)在考慮彈性變形時(shí)，依然具有很高的形面精度。

筆者提出的環(huán)形張拉式結(jié)構(gòu)和找形設(shè)計(jì)方法，可為今后高精度索網(wǎng)可展開天線設(shè)計(jì)提供新的思路。