賀王鵬，陳彬強(qiáng)，李 陽(yáng)，陳 晶，郭寶龍

(1.西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710071；2.廈門(mén)大學(xué) 航空航天學(xué)院，福建 廈門(mén) 361005)

近年來(lái)，高速切削以高效、優(yōu)質(zhì)、低耗等優(yōu)點(diǎn)逐漸成為學(xué)術(shù)界和工業(yè)界研究的熱點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代金屬加工領(lǐng)域[1-2]。然而高速切削系統(tǒng)在遠(yuǎn)超過(guò)常規(guī)切削速度的條件下運(yùn)行，刀具的磨損加劇導(dǎo)致零部件加工質(zhì)量的下降，甚至引發(fā)安全事故并危害人身安全。因此，高速切削系統(tǒng)的狀態(tài)監(jiān)測(cè)及反問(wèn)題研究得到了密切關(guān)注。振動(dòng)、聲發(fā)射及切削力作為常用的監(jiān)測(cè)變量已被廣泛應(yīng)用到高速切削系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)與分析中[3-4]，其中，切削力因能直接反映切削過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性而備受重視[5]。切削力信號(hào)主要由測(cè)力儀測(cè)量，經(jīng)過(guò)抗混疊濾波器低通濾波后由數(shù)據(jù)采集卡記錄在計(jì)算機(jī)中處理和分析。為了能夠完整地保留切削力信號(hào)的有效信息，奈奎斯特采樣定理要求采樣頻率必須高于被分析信號(hào)最高頻率的2倍[6]。高速切削系統(tǒng)銑削信號(hào)中含有主軸工作頻率的基波及大量高次諧波，當(dāng)采樣參數(shù)設(shè)置不合理時(shí)，將造成信號(hào)的欠采樣，通過(guò)抗混疊濾波器的濾波陡度帶被折疊到奈奎斯特區(qū)間，使原信號(hào)發(fā)生不合理的波形畸變，為高速切削系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)分析造成了困難。

針對(duì)欠采樣條件下信號(hào)的恢復(fù)問(wèn)題，目前學(xué)術(shù)界已經(jīng)開(kāi)展了一些有益的嘗試。ZOLTOWSKI等[7]提出了基于采樣通道之間時(shí)間延遲的頻率無(wú)模糊估計(jì)方法。王洪洋等[8]結(jié)合了解模糊和配對(duì)方法進(jìn)行無(wú)模糊的信號(hào)頻率估計(jì)，降低了對(duì)采樣通道間一致性的依賴(lài)程度。有學(xué)者根據(jù)中國(guó)余數(shù)定理求解一次同余方程組的思想，提出了欠采樣信號(hào)頻譜估計(jì)問(wèn)題，提供了新思路及改進(jìn)算法[9-10]。上述欠采樣信號(hào)重構(gòu)算法雖然在一定程度上解決了欠采樣導(dǎo)致的頻率混疊及頻率估計(jì)出現(xiàn)的混疊等問(wèn)題，但這些算法需要多個(gè)模數(shù)轉(zhuǎn)換裝置，成本較高。LIN等[11]基于葉片振動(dòng)信號(hào)的稀疏特性重構(gòu)欠采樣振動(dòng)信號(hào)，提供了欠采樣信號(hào)單通道重構(gòu)算法的新思路。CHEN等[12]重新闡述了稀疏表示理論的潛在意義，目前已被廣泛應(yīng)用于測(cè)試數(shù)據(jù)分析等方面[13-14]。HASSANIEH等[15]提出一種基于信號(hào)頻譜近似稀疏性的稀疏傅里葉變換算法。HASSANIEH等[16]將該算法應(yīng)用于頻譜校正，實(shí)現(xiàn)用部分采樣點(diǎn)較好恢復(fù)原始信號(hào)的頻譜。HEISH等[17]基于正交多項(xiàng)式求解K個(gè)非零項(xiàng)的位置構(gòu)造了一種欠采樣信號(hào)恢復(fù)算法，并驗(yàn)證了該算法在降低復(fù)雜度方面的效果。

針對(duì)高速切削狀態(tài)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中采樣參數(shù)設(shè)置不合理以及抗混疊濾波器濾波陡度導(dǎo)致輸出切削力頻譜混疊問(wèn)題，筆者提出了一種基于頻域近似稀疏的頻譜校正方法。該方法基于切削力信號(hào)在頻域上表現(xiàn)出的近似稀疏特性，通過(guò)僅保留頻譜上幾個(gè)能量集中的頻譜區(qū)間進(jìn)行稀疏逼近，得到若干個(gè)頻帶子集。結(jié)合欠采樣頻譜混疊原則計(jì)算出每個(gè)頻帶子集的真實(shí)頻率，構(gòu)造切削力信號(hào)的真實(shí)頻譜進(jìn)而恢復(fù)真實(shí)的時(shí)間序列。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，該方法能夠有效實(shí)現(xiàn)當(dāng)采樣參數(shù)設(shè)置不合理時(shí)較高諧波成分通過(guò)抗混疊濾波器濾波陡度帶造成切削力信號(hào)欠采樣現(xiàn)象的恢復(fù)，且恢復(fù)信號(hào)與測(cè)試信號(hào)時(shí)域波形的相對(duì)包絡(luò)誤差低于4%。

1 頻域近似稀疏理論

1.1 近似稀疏理論

x=Ψc，

(1)

其中，c為x在Ψ域的表示系數(shù)。如果N維向量c中有且僅有K個(gè)非零項(xiàng)，則稱(chēng)c為稀疏度為K的稀疏向量，x為Ψ域上的K-稀疏信號(hào)。然而現(xiàn)實(shí)中嚴(yán)格稀疏的信號(hào)幾乎是不存在的，近似稀疏理論認(rèn)為，只要c中具有K個(gè)大系數(shù)且K?N，就可認(rèn)為是近似稀疏的，信號(hào)x可用相應(yīng)的K-稀疏信號(hào)來(lái)近似。在近似稀疏信號(hào)分解與重構(gòu)過(guò)程中，表示系數(shù)僅保留K個(gè)大系數(shù)，其它系數(shù)用0代替。

1.2 傅里葉矩陣與頻域近似稀疏理論

快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)是經(jīng)典的數(shù)字信號(hào)處理方法。FFT利用基函數(shù)exp(j2πkn/N)(k=0，1，2，…，N-1；n=0，1，2，…，N-1)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻域表示。長(zhǎng)度為N的離散時(shí)間序列x的離散傅里葉變換及其逆向變換公式如下：

(2)

(3)

2 高速銑削狀態(tài)監(jiān)測(cè)欠采樣切削力信號(hào)恢復(fù)

高速切削狀態(tài)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中，系統(tǒng)固有的非線性以及采樣過(guò)程中的非線性會(huì)在輸出波形中產(chǎn)生基頻(機(jī)床主軸轉(zhuǎn)頻)的諧波成分，并在刀具初期磨損以及穩(wěn)定磨損前期處于主導(dǎo)地位。當(dāng)采樣參數(shù)設(shè)置不合理時(shí)，所有高于奈奎斯特頻率的高次諧波都將通過(guò)抗混疊濾波器的濾波陡度被折疊至奈奎斯特區(qū)間內(nèi)，造成信號(hào)的欠采樣現(xiàn)象。傳統(tǒng)的傅里葉變換無(wú)法得到切削力信號(hào)的真實(shí)頻譜信息，對(duì)切削系統(tǒng)狀態(tài)識(shí)別造成一定的困難?；陬l域近似稀疏的欠采樣信號(hào)分析方法可以有效重構(gòu)原始信號(hào)頻譜。

2.1 欠采樣引起的頻譜混疊原則

根據(jù)奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理，模擬信號(hào)的數(shù)字化是通過(guò)等間隔的數(shù)字采樣樣本表示的。該定理要求信號(hào)的采樣頻率fs必須不小于信號(hào)中最高頻率的2倍：

2fH≤fs，

(4)

其中，fH為信號(hào)最高頻率。否則將會(huì)使信號(hào)發(fā)生欠采樣，產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。模擬信號(hào)x=cos(2πf0t)，f0為模擬信號(hào)頻率，φ為模擬信號(hào)初相位。以采樣頻率fs=1/ts對(duì)該信號(hào)進(jìn)行采樣，則被測(cè)余弦信號(hào)序列x(n)=cos(2πf0nts)的N點(diǎn)離散傅里葉變換可以表示為

(5)

其中，T=Nts，0≤k≤N-1。因此，X(k)的正頻域部分為X+(k)=|p(k)|exp(jφk/(2N))，負(fù)頻域部分為X-(k)=|q(k)|exp(-jφk/2N)，|q(k)|=|[1-exp(j2π(Tf0-k))]/[1-exp(j2π(Tf0-k)/N))|，|p(k)|=|[1-exp(j2π(Tf0+k))]/[1-exp(j2π(Tf0+k)/N)]|，正負(fù)頻譜序列互為共軛，頻域輸出為一個(gè)雙邊譜。

工程中的模擬信號(hào)經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換及采樣后，僅保留頻譜位于0到fs/2的序列的輸出。然而抗混疊濾波器存在濾波陡度，信號(hào)中超過(guò)區(qū)間(0，fs/2)的諧波成分的頻譜將通過(guò)濾波陡度帶被折回到奈奎斯特區(qū)域以?xún)?nèi)。如圖1所示，第一奈奎斯特區(qū)定義為從0 Hz到fs/2之間的頻譜區(qū)間，頻譜被分成無(wú)限個(gè)奈奎斯特區(qū)，每個(gè)區(qū)的寬度等于fs/2。圖1(a)表示被采樣信號(hào)的頻帶位于第一奈奎斯特區(qū)，因此頻帶可以正確輸出；圖1(b)表示被采樣信號(hào)的頻帶位于第二奈奎斯特區(qū)，輸出頻帶為原始頻帶的一次鏡像結(jié)果；圖1(c)表示被采樣信號(hào)的頻帶位于第三奈奎斯特區(qū)，輸出頻帶為原始頻帶的二次鏡像結(jié)果。綜上所述，欠采樣信號(hào)頻譜序列與信號(hào)實(shí)際頻譜序列的關(guān)系可由下式描述：

(6)

其中，conj{·}為取復(fù)數(shù)共軛算子。

2.2 基于頻域近似稀疏理論的欠采樣信號(hào)恢復(fù)算法

設(shè)有高速切削狀態(tài)監(jiān)測(cè)欠采樣信號(hào)離散時(shí)間序列{xorg(n)|n=1，2，…，N}，其中N為偶數(shù)，采樣頻率為fs，主軸轉(zhuǎn)頻為fa，則基于頻域近似稀疏理論的欠采樣信號(hào)恢復(fù)算法的步驟如下。

(7)

步驟3 計(jì)算出每個(gè)頻帶子集的真實(shí)頻率：

(8)

(9)

其中，

(10)

步驟5 利用逆向傅里葉變換重構(gòu)真實(shí)離散時(shí)間序列：

(11)

3 數(shù)值模擬驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于頻域近似稀疏理論的欠采樣信號(hào)恢復(fù)算法對(duì)于高速切削狀態(tài)監(jiān)測(cè)欠采樣信號(hào)恢復(fù)的有效作用，考慮了一種單頻率線性調(diào)幅正弦波(Linear Amplitude Modulation Sinusoidal Wave，LAMSW)進(jìn)行仿真分析，其形式如下式所示：

x(t)=A(t)cos(2πft+φ) ，

(12)

其中，幅值函數(shù)A(t)=1-kt且k∈[0，1)，f為頻率，φ為初相位。仿真過(guò)程中，取k=0.5，f=875.5 Hz，φ=π/3，并在fs=2 000和fs=1 000的兩種頻率下對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行采樣，得到的樣本點(diǎn)及頻譜如圖2所示。與理想采樣fs=2 000相比，當(dāng)fs=1 000時(shí)采樣得到的信號(hào)為嚴(yán)重欠采樣信號(hào)，信號(hào)的原始頻率875.5 Hz通過(guò)傳統(tǒng)的傅里葉變換已經(jīng)無(wú)法識(shí)別，只能得到原始頻率關(guān)于欠采樣奈奎斯特頻率fs/2=500的鏡像頻率124.5 Hz。為了恢復(fù)出模擬信號(hào)x(t)，使用文中提出的算法處理圖2(b)得到的具有欠采樣特征的樣本點(diǎn)。

對(duì)圖2(b)中的信號(hào)應(yīng)用FFT，僅保留第一奈奎斯特區(qū)中心頻率附近的100個(gè)幅值較大的譜線，其余置0，得到稀疏度為100的系數(shù)向量，如圖3(a)所示。根據(jù)欠采樣頻譜混疊原則，對(duì)系數(shù)向量重構(gòu)得到真實(shí)頻譜，如圖3(b)所示。最后利用IFFT實(shí)現(xiàn)時(shí)域信號(hào)恢復(fù)，如圖3(c)所示。

為了更加清晰展示欠采樣信號(hào)恢復(fù)結(jié)果，結(jié)合香農(nóng)采樣函數(shù)插值方法(式(13))對(duì)恢復(fù)的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，得到相應(yīng)的幅值誤差和相對(duì)包絡(luò)誤差(式(14))，如圖4所示。需要指出的是，理論意義上的模擬信號(hào)無(wú)法通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算，筆者選取fs=10 000的時(shí)間域采樣序列x(n)(n=0，1，2，…，9999)對(duì)模擬信號(hào)x(t)進(jìn)行近似。

(13)

其中，Ts為時(shí)間分辨率。令env(·)為信號(hào)包絡(luò)計(jì)算算子，相對(duì)包絡(luò)誤差定義如下：

(14)

圖4中恢復(fù)信號(hào)與原始信號(hào)的最大幅值誤差和相對(duì)包絡(luò)誤差都因頻域截?cái)喽a(chǎn)生不同程度的邊緣效應(yīng)，但當(dāng)t∈(0.2，0.8)時(shí)最大幅值誤差低于0.009，相對(duì)包絡(luò)誤差收斂于0.03幅度范圍內(nèi)，說(shuō)明該方法總體上取得較好的信號(hào)恢復(fù)精度。上述分析中，構(gòu)造的仿真信號(hào)均是在頻域表示系數(shù)稀疏度為100的設(shè)定下得到的，為了進(jìn)一步研究稀疏度K對(duì)恢復(fù)結(jié)果的影響，構(gòu)造l2-誤差測(cè)度Er(式(15))研究不同稀疏度下的恢復(fù)精度，如圖5所示。當(dāng)稀疏度K≥20時(shí)，恢復(fù)信號(hào)的Er均小于0.01。因此，當(dāng)調(diào)幅信號(hào)衰減因子k∈[0，0.8]時(shí)，運(yùn)用筆者提出的方法對(duì)欠采樣信號(hào)實(shí)現(xiàn)恢復(fù)可以達(dá)到理想的效果。

(15)

4 工程測(cè)試信號(hào)應(yīng)用

表1 高速銑削實(shí)驗(yàn)的相關(guān)參數(shù)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于頻域近似稀疏理論的欠采樣信號(hào)分析方法對(duì)實(shí)際高速切削測(cè)試數(shù)據(jù)的有效性，在Mazak FJV-200 UHS銑削中心上進(jìn)行高速銑削鋁合金實(shí)驗(yàn)，相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中設(shè)置采樣頻率為2 000 Hz。截取加工穩(wěn)定階段切削力測(cè)試數(shù)據(jù)的時(shí)域波形及其頻譜如圖6所示(采樣時(shí)長(zhǎng)1 s)。

觀察測(cè)試數(shù)據(jù)的頻譜圖，發(fā)現(xiàn)10個(gè)幅值較大的譜線，根據(jù)欠采樣頻譜混疊原則，計(jì)算每根譜線對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)的真實(shí)頻率，如表2所示。發(fā)現(xiàn)有7根譜線的真實(shí)頻率位于第一奈奎斯特區(qū)間[0，1 000]Hz外，說(shuō)明該測(cè)試數(shù)據(jù)的頻譜存在混疊現(xiàn)象。根據(jù)頻點(diǎn)所在的頻率區(qū)間將頻譜截?cái)酁?0個(gè)首尾相連的頻帶子集。觀察到各頻帶子集的時(shí)域波形近似為線性調(diào)幅正弦波k=0的情況，如圖7所示，可用LAMSW模型對(duì)每個(gè)頻帶子集進(jìn)行分析，根據(jù)式(9)計(jì)算出各個(gè)頻帶子集的真實(shí)頻率區(qū)間如表2所示。

由表2可以看出最大真實(shí)頻率為6 142 Hz，重構(gòu)真實(shí)頻譜最大頻率14 kHz。截取第一奈奎斯特頻譜，如圖8(a)所示。對(duì)重構(gòu)后的頻譜序列進(jìn)行IFFT得到時(shí)域波形，如圖8(b)所示。計(jì)算恢復(fù)信號(hào)與測(cè)試信號(hào)時(shí)域波形的相對(duì)包絡(luò)誤差，如圖8(c)所示。相對(duì)包絡(luò)誤差收斂于0.04幅度內(nèi)，且無(wú)明顯頻域截?cái)喈a(chǎn)生的邊緣效應(yīng)，說(shuō)明筆者提出的欠采樣信號(hào)恢復(fù)方法在實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用上具有較高的可靠性與應(yīng)用價(jià)值。

表2 各頻帶子集頻率區(qū)間對(duì)照表

5 結(jié) 論

針對(duì)高速切削欠采樣信號(hào)頻譜混疊問(wèn)題，提出了一種基于頻域近似稀疏的壓縮感知恢復(fù)方法。仿真及實(shí)測(cè)信號(hào)分析結(jié)果表明：

(1)恒定轉(zhuǎn)速條件下，高速銑削力信號(hào)主要包括主軸的工作頻率及其衍生出的高次諧波成分。頻譜上呈現(xiàn)出若干個(gè)能量集中的區(qū)間，可以利用近似稀疏分解理論對(duì)其進(jìn)行稀疏逼近。

(2)欠采樣條件下，總結(jié)了一種混疊成分諧波信息校正原則。該原則可用于高速銑削欠采樣動(dòng)態(tài)信號(hào)混疊成分的識(shí)別及諧波信息的校正，為失真頻譜的修正提供理論指導(dǎo)。

(3)數(shù)值仿真和實(shí)測(cè)高速銑削力信號(hào)處理結(jié)果表明恢復(fù)信號(hào)與理想采樣信號(hào)的相對(duì)幅值誤差小于4%，驗(yàn)證了所提方法的有效性。