趙巨濤,曹小紅

(1.長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長治 046011;2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,西安 710119)

1 預(yù)備知識

在本文中,C和N分別表示復(fù)數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集.若集合S?C,用isoS和accS分別表示集合S的孤立點的全體和聚點的全體.H表示無限維復(fù)可分的Hilbert空間,B(H)表示為H上的有界線性算子的全體.令T∈B(H),算子T的零空間與值域分別記作N(T)和R(T),記n(T)=dimN(T),d(T)=codimR(T).算子T∈B(H)的升標(biāo)asc(T)為滿足N(Tn)=N(Tn+1)的最小非負(fù)整數(shù)n,若這樣的整數(shù)不存在,則記asc(T)=+∞;而T∈B(H)的降標(biāo)des(T)為滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小非負(fù)整數(shù)n,若這樣的整數(shù)不存在,則記des(T)=+∞.T∈B(H)稱為是上半Fredholm算子,若n(T)<∞且R(T)閉;若d(T)<∞,則稱T為下半Fredholm算子.稱T∈B(H)為下有界算子,若T為上半Fredholm算子且n(T)=0.對于半Fredholm算子T(T為上半或者下半Fredholm算子),其指標(biāo)定義為ind(T)=n(T)-d(T).若ind(T)<∞,稱T為Fredholm算子.指標(biāo)為0的Fredholm算子稱為Weyl算子;具有有限的升標(biāo)和降標(biāo)的Fredholm算子稱為Browder算子.可以證明:T為Browder算子的充要條件是T為半Fredholm算子并且當(dāng)|λ|(>0)充分小時,T-λI可逆.令σ(T),σe(T),σw(T),σb(T)和σa(T)分別表示T的譜,本質(zhì)譜,Weyl譜,Browder譜和逼近點譜.

令ρa(bǔ)b(T)={λ∈C:T-λI為上半Fredholm算子且asc(T-λI)<∞},ρSF(T)={λ∈C:T-λI為半Fredholm算子}.σSF(T)=CρSF(T)和σab(T)=Cρa(bǔ)b(T)分別稱為算子T∈B(H)的半Fredholm譜和Browder本質(zhì)逼近點譜.可以證明:λ?σab(T)?T-λI為半Fredholm算子且asc(T-λI)<∞?T-λI為半Fredholm算子,且當(dāng)0<|μ-λ|充分小時,T-μI為下有界算子.記ρw(T)=Cσw(T),ρe(T)=Cσe(T),ρb(T)=Cσb(T),σ0(T)=σ(T)σb(T).

譜理論一直以來就是泛函分析中的一個熱點問題.在有限維線性空間中,線性算子的譜其實就是它的所有特征值組成的集合.但是在無線維空間中,線性算子譜的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜,它的研究不僅有助于求解微分方程的特征值,分析譜方法的數(shù)值問題,并且與許多物理問題也密切相關(guān).比如,求振動的頻率,判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性等都與算子的譜結(jié)構(gòu)問題有關(guān).近年來,許多學(xué)者將譜理論應(yīng)用到量子力學(xué)的研究中,用譜的特點刻畫了量子計算的表達(dá)方式等.在譜理論的研究中,Weyl定理是反映線性算子譜結(jié)構(gòu)的重要內(nèi)容.1909年,文獻(xiàn)[1]在檢驗Hilbert空間上的自伴算子的譜集時發(fā)現(xiàn)其Weyl譜恰好等于該算子的譜除去有限重的孤立特征值,這一結(jié)論被學(xué)者們稱為Weyl定理.之后,學(xué)者們對Weyl定理進(jìn)行變型,并做了大量的工作(文獻(xiàn)[2-4]等).(R)性質(zhì)是Weyl定理的一種變型,近年來備受關(guān)注(文獻(xiàn)[5-6]等).那么,Weyl定理與(R)性質(zhì)之間到底有怎么樣的關(guān)系？是否有新方法判定Weyl定理與(R)性質(zhì)?另外,之前討論過算子的亞循環(huán)性與(ω)性質(zhì)的關(guān)系(文獻(xiàn)[7]),那么亞循環(huán)性與Weyl定理及(R)性質(zhì)又有怎樣的關(guān)系？下面,帶著這些問題進(jìn)行研究.

在本文中,利用算子的一致Frdholm指標(biāo)性質(zhì),給出了(R)性質(zhì)和Weyl定理同時成立的條件;之后討論了(R)性質(zhì),Weyl定理以及亞循環(huán)性三者之間的關(guān)系.這些研究目前并無發(fā)現(xiàn)其他學(xué)者進(jìn)行過探究,同時這也是首次利用該方法探究算子的(R)性質(zhì)和Weyl定理.

2 (R)性質(zhì)和Weyl定理同時成立的判定

稱T∈B(H)滿足Weyl定理,若σ(T)σw(T)=π00(T),其中π00(T)={λ∈isoσ(T):0

稱T∈B(H)滿足(R)性質(zhì),若σa(T)σab(T)=π00(T);若σa(T)σab(T)?π00(T),則稱T滿足(R1)性質(zhì).顯然,算子T滿足(R)性質(zhì)可以推出T滿足(R1)性質(zhì).(R)性質(zhì)雖然是Weyl定理的變型,但是有舉例表明,(R)性質(zhì)和Weyl定理卻不能相互推出.

下面討論算子T既滿足Browder定理又具有(R1)性質(zhì)或者既滿足Weyl定理又具有(R)性質(zhì)的條件.在Weyl型定理的研究中,Weyl算子往往扮演著重要的角色,文獻(xiàn)[8]中提出的一致Fredholm指標(biāo)性質(zhì)與Weyl算子緊密相關(guān).本文就借助算子的一致Fredholm指標(biāo)性質(zhì)來討論上述問題.為此,先看一個定義:

定義1[8]設(shè)T∈B(H),若對任意的B∈B(H),有下列之一成立:

(1)TB和BT均為Fredholm算子,并且ind(TB)=ind(BT)=ind(B);

(2)TB和BT均不為Fredholm算子,

則稱T為CFI算子或者T有一致Fredholm指標(biāo)性質(zhì).

算子T∈B(H)的CFI譜定義為:σCFI(T)={λ∈C:T-λI不是CFI算子}.關(guān)于CFI算子的判定,有如下的判定定理.

引理1[8]設(shè)T∈B(H),則T為CFI算子當(dāng)且僅當(dāng)下列之一成立:

(1)T為Weyl算子;

(2)R(T)不閉;

(3)R(T)閉且n(T)=d(T)=∞.

由引理1可知,λ∈σCFI(T)當(dāng)且僅當(dāng)T-λI為半Fredholm算子且ind(T-λI)≠0.根據(jù)半Fredholm算子的攝動定理知σCFI(T)?C為開集.令ρSF+(T)={λ∈C:T-λI為上半Frehdolm算子},σSF+(T)=CρSF+(T).

定理1設(shè)T∈B(H),則T∈(R1)且T滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)σb(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪σSF+(T).

證明必要性.

σb(T)?[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪σSF+(T)顯然成立.

對于反包含,設(shè)λ0?[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪σSF+(T).則T-λ0I為上半Fredholm算子.不妨設(shè)λ0∈σ(T),于是n(T-λ0I)>0.

若λ0?σCFI(T),即T-λ0I為CFI算子.由引理1結(jié)合T-λ0I為上半Fredholm算子可知,T-λ0I為Weyl算子.由于T滿足Browder定理,則T-λ0I為Browder算子.于是λ0?σb(T).

若λ0?{λ∈C:asc(T-λI)=∞},則asc(T-λ0I)<∞.于是λ0∈σa(T)σab(T).由T∈(R1)知T-λ0I為Browder算子.再次得到λ0?σb(T).

充分性.

先證T滿足Browder定理,即證σw(T)=σb(T).顯然只需證明σb(T)?σw(T).由于ρw(T)∩{[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪σSF+(T)}=?,于是ρw(T)∩σb(T)=?,這樣就有ρw(T)?ρb(T),則σb(T)?σw(T),即T滿足Browder定理.

對(R1)性質(zhì),由于[σa(T)σab(T)]∩{[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪σSF+(T)}=?,于是[σa(T)σab(T)]∩σb(T)=?,即[σa(T)σab(T)]?σ0(T)?π00(T).因此T∈(R1).

由σCFI(T)為開集知σCFI(T)?accσCFI(T).又由于ρSF+(T)∩ρCFI(T)?ρw(T),其中ρCFI(T)=CσCFI(T),于是由定理1可得:

推論1設(shè)T∈B(H),則T∈(R1)且T滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)σb(T)=[accσCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪σSF(T).

下面討論算子T∈(R)且滿足Weyl定理的條件.

定理2設(shè)T∈B(H),則T∈(R)且T滿足Weyl定理當(dāng)且僅當(dāng)

σb(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪

{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.

證明必要性.

根據(jù)定理1,由T∈(R1)且滿足Browder定理知σb(T)?[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪σc(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.

當(dāng)λ0?[accσ(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}]時,λ0∈π00(T).由T∈(R)知T-λ0I為Browder算子,則λ0?σb(T).于是σb(T)?accσ(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.由定理1的證明可知σb(T)?[σCFI(T)∩acc{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.另外,反包含顯然成立.得證.

充分性.

根據(jù)定理1,且σb(T)?[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪σSF+(T)可知T∈(R1)且滿足Browder定理.另外,可以斷言π00(T)∩[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]=?.事實上,由于isoσ(T)∩ρSF(T)=σ0(T)且σCFI(T)?ρSF(T),則π00(T)∩σCFI(T)=σ0(T),從而π00(T)∩[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]=?.顯然,π00(T)∩{[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}}=?,從而π00(T)∩σb(T)=?,即π00(T)?[σa(T)σab(T)]且π00(T)?[σ(T)σw(T)].綜上可知T∈(R)且滿足Weyl定理.

注解1在定理2中,若T∈(R)且T滿足Weyl定理,則σb(T)分解的四部分缺一不可.

例1設(shè)T∈B(2)定義為:T(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…).

通過計算可知T∈(R)且滿足Weyl定理.另外,σb(T)=D(D表示單位圓盤),[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}=?D.于是“σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}”不能缺.

例2令A(yù),B∈B(2)定義為:

設(shè)T∈B(2⊕2)為通過計算可知T∈(R)且T滿足Weyl定理.但是由于σb(T)=D,[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}=?D,故“accσ(T)∩σc(T)”不能缺.

例3設(shè)T∈B(2)定義為:T(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3…).

經(jīng)計算知T∈(R)且T滿足Weyl定理.但σb(T)=D,[σCFI(T)∩acc{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}=?D,于是“{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}”不能缺.

例4設(shè)T∈B(2)定義為:

經(jīng)計算知T∈(R)且T滿足Weyl定理.但σb(T)={0},[σCFI(T)∩acc{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}=?,故“{λ∈C:n(T-λI)=∞}”不能缺.

類似于定理2的證明過程,可證得:

推論2設(shè)T∈B(H),則T∈(R)且滿足Weyl定理當(dāng)且僅當(dāng)σb(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}∪acc{λ∈σw(T):asc(T-λI)=∞}.

下面用H(σ(T))表示在σ(T)的一個鄰域上解析并且在σ(T)的任一分支上不為常值的函數(shù)的全體.眾所周知σa(·),σab(·)均滿足譜映射定理,但是σw(·)不滿足譜映射定理.從文獻(xiàn)[9]中的定理5可看到下列事實:任給f∈H(σ(T)),σw(f(T))=f(σw(T))當(dāng)且僅當(dāng)對任意一對λ,μ∈ρe(T),ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0.

對于算子函數(shù)的(R)性質(zhì)和Weyl定理,有下面的結(jié)論:

定理3設(shè)T∈B(H),則對任意的f∈H(σ(T)),f(T)∈(R)且滿足Weyl定理當(dāng)且僅當(dāng)對任意一對λ,μ∈ρe(T),ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0且下列之一成立:

(1)σ(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞};

(2)σb(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.

證明充分性.

由條件知任給f∈H(σ(T)),σw(f(T))=f(σw(T)).

若(1)成立.由等式(1)可證得σa(T)=σab(T),σ(T)=σw(T),π00(T)=?.任給f∈H(σ(T)),根據(jù)π00(f(T))?f(π00(T))知π00(f(T))=?.又由于σa(·)和σab(·)均滿足譜映射定理,于是σa(f(T))=f(σa(T))=f(σab(T))=σab(f(T)).由此可看出,任給f∈H(σ(T)),f(T)∈(R).此時σ(f(T))=f(σ(T))=f(σw(T))=σw(f(T)),結(jié)合π00(f(T))=?可得f(T)滿足Weyl定理.

若(2)成立.由于ρa(bǔ)b(T)與(2)中等式右邊交集為空集,則σab(T)=σb(T).類似地,可證σw(T)=σb(T).另外,由于isoσ(T)∩[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]=?,因此{(lán)λ∈isoσ(T):n(T-λI)<∞}與等式(2)右邊交集為空集,從而{λ∈isoσ(T):n(T-λI)<∞}=σ0(T).

設(shè)f∈H(σ(T))并設(shè)μ0∈σa(f(T))σab(f(T)).令f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T),其中λi≠λj(i,j=1,2,…,k且i≠j)且g(T)可逆.于是λi∈ρa(bǔ)b(T)(i=1,2,…,k).由于σab(T)=σb(T),從而T-λiI為Browder算子,則f(T)-μ0I為Browder算子.

若μ0∈σ(f(T))σw(f(T)),利用上述分解和σw(f(T))=f(σw(T))可知T-λiI為Weyl算子.再由σw(T)=σb(T)可得T-λiI為Browder算子,于是f(T)-μ0I為Browder算子.

反之,令μ0∈π00(f(T))且令f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T),其中λi≠λj(i,j=1,2,…,k且i≠j)且g(T)可逆.不失一般性,不妨設(shè)任給λi(1≤i≤k),λi∈σ(T).于是λi∈{λ∈isoσ(T):n(T-λI)<∞}=σ0(T),即T-λiI為Browder算子.于是f(T)-μ0I為Browder算子.

綜上可得對任意的f∈H(σ(T),f(T)∈(R)且f(T)滿足Weyl定理.

必要性.

顯然T∈(R)且T滿足Weyl定理.可以斷言:任給λ,μ∈ρe(T),ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0.事實上,若存在λ0,μ0∈ρe(T),使得ind(T-λ0I)=n>0,ind(T-μ0I)=-m<0,其中n,m為有限正整數(shù).定義f0(T)=(T-λ0I)(T-μ0I).可以看出0∈σ(f0(T))σw(f0(T)).由于f0(T)滿足Weyl定理,則f0(T)為Browder算子,于是T-λ0I和T-μ0I均為Browder算子.這就與ind(T-λ0I)=n>0,ind(T-μ0I)=-m<0相矛盾.所以斷言成立.下面分兩種情況進(jìn)行討論.

情況1 設(shè)σ0(T)=?.下證結(jié)論(1)成立.

此時由T∈(R)且滿足Weyl定理知σ(T)=σw(T)=σb(T).再由定理2可得σ(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.

情況2 設(shè)σ0(T)≠?.下證結(jié)論(2)成立.

利用譜映射定理,σ(p(Ti))=p(σ(Ti))={0}(i=1,2).又由于0?σ(p(T3)),則0∈isoσ(p(T))且0

利用上述結(jié)果下證(2)式成立.

設(shè)λ0?[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.由斷言可知若λ0?[accσ(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}]時,λ0?σb(T).下設(shè)λ0?[σc(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}],則T-λ0I為上半Fredholm算子.若λ0?σCFI(T),由引理1知T-λ0I為Weyl算子.由T滿足Weyl定理知T-λ0I為Browder算子,于是λ0?σb(T).若λ0?{λ∈C:asc(T-λI)=∞},則λ0?σab(T).由于此時σab(T)=σb(T),于是λ0?σb(T).于是σb(T)?[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.另外,反包含顯然成立,則σb(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪[accσ(T)∩σc(T)]∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}.

同樣,對算子函數(shù)的(R1)性質(zhì)和Browder定理,有下列結(jié)論:

定理4設(shè)T∈B(H),則對任意的f∈H(σ(T)),f(T)∈(R1)且滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)對任意一對λ,μ∈ρe(T),ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0且下列之一成立:

(1)σ(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪σSF+(T);

(2)σb(T)=[σCFI(T)∩{λ∈C:asc(T-λI)=∞}]∪σSF+(T).

3 (R)性質(zhì),Weyl定理與亞循環(huán)性的關(guān)系

(1)σw(T)∪?D連通;

(2)σ0(T)=σ(T)σb(T)=?;

(3)對任意的λ∈ρSF(T),ind(T-λI)≥0.

證明必要性.

充分性.