徐 玲，張娟娟

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

考慮帶有非線性阻尼的Kirchhoff型Berger方程

全局吸引子的存在性,其中Ω?Rn是一個(gè)具有足夠光滑邊界的有界區(qū)域,函數(shù)u(x,t)代表板的撓度,β是一個(gè)常數(shù),它與作用在板上的壓力成正比,h∈L2(Ω)描述板的橫向負(fù)載,函數(shù)a(x)表示環(huán)境阻力,μ和α是大于0的常數(shù).

設(shè)函數(shù)σ(s),g(s)和a(x)滿足如下條件:

(W1)函數(shù)a∈L∞(Ω),并且存在正常數(shù)α0,使得

a(x)≥α0>0,x∈Ω.

(4)

(W2)函數(shù)σ∈C1(R)嚴(yán)格增,σ(0)=0,且

其中當(dāng)n≤4時(shí)，1≤q<∞；當(dāng)n>4時(shí),1≤q≤(n+4)/(n-4).

其中當(dāng)n≤4時(shí)，1≤p<∞；當(dāng)n>4時(shí),1≤p≤4/(n-4)，λ1是Δ2的第一個(gè)特征值.

文中C和Ci(i=0,1,2,…)都表示正常數(shù),在不同之處可表示不同的值.

1 預(yù)備知識(shí)

則A是空間H中的自伴算子，且在空間V2中是嚴(yán)格正的.可以定義算子A的能量為As(s∈R)，于是空間Vs=D(As/4)是Hilbert空間，并且具有如下的內(nèi)積和范數(shù)：

顯然，

||Δu||2≥Cλ||u||2.

(9)

則稱X×X上的函數(shù)φ(·,·)是定義在B×B上的收縮函數(shù).

記C(B)為定義在B×B上收縮函數(shù)的集合.

定理A[8]設(shè){S(t)}t≥0是Banach空間(X,||·||)上的一個(gè)半群,B0是該半群上的一個(gè)有界吸收集.進(jìn)一步,假設(shè)對任意的ε>0,存在T=T(B0,ε)和φT(·,·)∈C(B0)，使得

引理1[9]設(shè)非線性函數(shù)σ(s)滿足條件(W2),則對任意的δ>0,存在常數(shù)Cδ>0,使得

類似于文獻(xiàn)[6]定理2.1，可以得到問題(1)～(3)解的存在性和唯一性.

定理1假設(shè)條件(W1)～(W3)成立，初值(u0,u1)∈V2×H，則對任意的T>0,問題(1)～(3)有唯一解(u,ut)∈C([0,T];V2×H),并且(u,ut)連續(xù)依賴于初值(u0,u1).

根據(jù)文獻(xiàn)[4,10,11]可知，在(4)～(8)式成立情況下，問題(1)～(3)的解算子S(t)(u0,u1)=(u(t),ut(t))(t≥0)在能量空間V2×H中產(chǎn)生了一個(gè)半群,記作{S(t)}t≥0.

2 有界吸收集的存在性

引理2假設(shè)(W1)～(W3)成立，則問題(1)～(3)對應(yīng)的半群{S(t)}t≥0在空間V2×H中存在有界吸收集.

證明用方程(1)與ut在空間H中作內(nèi)積可得

其中

結(jié)合(4)和(5)式可知

E(t)≤E(0), ?t≥0.

(14)

進(jìn)一步,由(4)和(5)式可得,存在δ1>0和Cδ1>0，使得

由(8)式可知,存在λ1>λ′>0和C0,使得

運(yùn)用Young不等式，由(18)式可得

根據(jù)(9)和(19)式可得

其中ε>0足夠小,使得

聯(lián)立(12)～(14)及(20)式可得,對任意t≥0,有

由(5)和(6)式可知

運(yùn)用H?lder不等式和Young不等式,結(jié)合(4),(5)式和(22)式可得如下估計(jì)：

將v=ut+δ1u(δ1由(15)式定義)代入方程(1)可得

用v與(24)式在空間H中作內(nèi)積,有

(25)

其中

根據(jù)(9)和(19)式，有

其中CE(0)是依賴于δ1,Cη,E(0)的常數(shù)；η>0足夠小,使得1-(λ′+ε)/Cλ-η>0.所以

給(25)式從0到t進(jìn)行積分,并結(jié)合(21),(28)～(30)式可以推出

其中C8=C7/C4.因此,對ρ>C6/C5,存在t0,使得||ut(t0)||2+||Δu(t0)||2+||u(t0)||4≤ρ.

定義

顯然,B1是空間V2×H中的有界吸收集.】

3 全局吸引子的存在性

本節(jié)首先運(yùn)用能量不等式進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì),然后證明空間V2×H中半群{S(t)}t≥0的漸近緊性，最后證明問題(1)～(3)對應(yīng)的半群{S(t)}t≥0全局吸引子的存在性.為了方便起見,用B1表示空間V2×H中半群{S(t)}t≥0的有界吸收集,并記

3.1 先驗(yàn)估計(jì)

初始條件為

用w(t)乘以(32)式，并對其在[0,T]×Ω上進(jìn)行積分,可得

在[0,T]上對Ew(t)關(guān)于t積分,結(jié)合(33)式,有

用wt(t)乘以(32)式，并在[s,T]×Ω上積分可得

對(35)式在[0,T]上關(guān)于s積分,可得

進(jìn)一步,取s=0,則由(35)式可知

進(jìn)而結(jié)合(4)式和引理1可得

下面估計(jì)

首先用(ui)t(t)乘以方程(1),然后對其在Ω上積分,最后結(jié)合有界吸收集存在性的證明可以推出

(39)

其中

類似于(23)式的估計(jì)方法,運(yùn)用H?lder不等式,結(jié)合(5),(22)和(39)式可得,當(dāng)i=1,2時(shí)，有

聯(lián)立(34),(36),(38),(40)式可以推出

(41)

其中

3.2 漸近緊性

定理2假設(shè)條件(W1)～(W3)成立,則問題(1)～(3)對應(yīng)的半群{S(t)}t≥0在空間V2×H中是漸近緊的.

證明因?yàn)榘肴簕S(t)}t≥0有有界吸收集,所以對任意固定的ε>0,取δ≤ε/(2meas(Ω)),取T足夠大,使得CT/T≤ε.根據(jù)定理A,只需證明對于固定的T,函數(shù)ΦT(·,·)屬于C(B1).

下面計(jì)算(43)式中每一項(xiàng).根據(jù)(4),(44)和(47)式,有

由(49)式可知

由解的光滑性,則有

結(jié)合(44),(45)及(48)式，先讓m→∞，再讓n→∞,可以推出

類似地,可以得到

同時(shí),對每個(gè)固定的T,因?yàn)?/p>

是有界的,所以根據(jù)Lebesgue控制收斂定理,有

由(46)式可知

結(jié)合文獻(xiàn)[12]中的引理4.4,類似可以推出

綜合以上各式,有ΦT(·,·)∈C(B1).】

3.3 全局吸引子的存在性

由引理2和定理2可以得到問題(1)～(3)全局吸引子的存在性.

定理3假設(shè)條件(W1)～(W3)成立，則問題(1)～(3)對應(yīng)的半群{S(t)}t≥0在空間V2×H中存在全局吸引子，且該全局吸引子是緊不變集.