楊 和，任 倩

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近年來，分數(shù)階微分方程由于在物理學、力學和工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而引起了人們的極大關(guān)注.2010年，Hernandez等[1]運用積分方程解算子理論研究了帶有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的抽象方程解的存在性問題；Zhou等[2-3]用拉普拉斯變換和概率密度函數(shù)給出了抽象分數(shù)階發(fā)展方程mild解的定義，并證明了其存在性定理.關(guān)于分數(shù)階微積分和分數(shù)階微分方程的更多結(jié)論可參見文獻[4-5].

分數(shù)階微分包含在應(yīng)用中具有更廣泛的實際意義.2011年，Wang等[6]討論了分數(shù)階半線性微分包含初值問題

非局部條件與傳統(tǒng)的初值條件相比，具有更加廣泛的應(yīng)用背景.近年來,在半群{T(t),t≥0}非緊條件下微分方程可控性問題的研究可見文獻[7-8].2018年，Alsarori等[9]用非緊性測度工具和多值映射的不動點定理討論了Banach空間X中的分數(shù)階半線性脈沖微分包含非局部問題

據(jù)我們所知，關(guān)于含時滯分數(shù)階微分包含精確可控性的研究相對較少，主要原因在于：研究無窮維空間中微分方程的精確可控性時，通常假設(shè)相應(yīng)的線性算子生成的半群是非緊的，此時非線性項要么滿足Lipschitz條件，要么滿足非緊性測度條件；而當方程中含有時滯項時，在非緊性測度條件下證明解算子的緊性是困難的.

受上述文獻啟發(fā),文中在Hilbert空間(X,||·||)中研究具有時滯的分數(shù)階微分包含非局部問題

(1)

文中引入一個新的Banach空間(Λ,||·||Λ)，其中

在非緊半群條件下，當非線性項含時滯項時，克服了用非緊性測度方法證明解算子緊性的困難，在非局部函數(shù)g全連續(xù)時，用不同于文獻[6]的方法，在相應(yīng)的線性微分方程初值問題精確可控的條件下，證明了系統(tǒng)(1)的精確可控性.

1 預(yù)備知識

定義1[6]設(shè)函數(shù)x∈C,若存在f∈L1(J,X)，使得對?t∈J,f(t)∈F(t,xt)滿足

(2)

則稱x是系統(tǒng)(1)的mild解，其中

注1當ν∈[0,1]時，有

引理1[8]有界線性算子族Tq(t)和Sq(t)具有以下性質(zhì)：

( i )對任意給定的t≥0和?x∈X,有

( ii )對?t≥0，算子Tq(t)和Sq(t)都是強連續(xù)的;

(iii)如果T(t)(t≥0)是等度連續(xù)半群，則對?t>0，算子Tq(t)和Sq(t)都是等度連續(xù)的.

定義2[10](精確可控性) 若對任意的xb∈X，存在控制函數(shù)u∈L2(J,U)，使得非局部問題(1)的mild解x滿足x(b)=xb，則稱非局部問題(1)在區(qū)間J上是精確可控的.

首先考慮非局部問題(1)相應(yīng)的分數(shù)階線性微分方程初值問題

(3)

定義線性初值問題(3)的控制算子如下:

設(shè)D是X的有界子集，定義其Hausdorff非緊性測度為：

β(D):=inf{ε>0:D在X中有有限ε-網(wǎng)}.

引理3[11]設(shè)集合C?X,D?X均有界，則

( i )β(D)=0?D為相對緊集；

(iii)D?C?β(D)≤β(C);

(iv)β(D+C)≤β(D)+β(C),其中D+C={x:x=y+z,y∈D,z∈C};

(v)β(D∪C)≤max{β(D),β(C)};

(vi)β(λD)≤|λ|β(D),?λ∈R,其中λD={x:x=λy,∈D};

引理4[11]若W?C(J,X)是有界且等度連續(xù)集，則β(W(t))在J上連續(xù)，且

引理5[12]設(shè)X為可分的Banach空間，D={xn}?C(J,X)為可列集.若存在φ∈L1(J,X)，使得||xn(t)||≤φ(t),a.e.t∈J,n=1,2,…,則β(D(t))在J上可積，且

下面介紹一些關(guān)于多值映射的定義和基本結(jié)論，更多關(guān)于多值映射的內(nèi)容可參見文獻[13].

定義3設(shè)X,Y是兩個拓撲空間.

(2)若對任意有界子集D?X，F(xiàn)(D)相對緊，則稱F全連續(xù)；

(3)若對任意開子集V?Y，F(xiàn)-1(V)={x∈X:F(x)?V}是X的開子集，則稱F上半連續(xù)(簡記為usc)；

(4)若F的圖GF={(x,y)∈X×Y:y∈F(x)}是拓撲空間X×Y的閉子集，且xn→x,yn→y,yn∈F(xn)蘊含y∈F(x)，則稱F是閉的；

(5)若存在x∈X使得x∈F(x)，則稱x是F的一個不動點.

是C(J,X)×C(J,X)中的閉圖算子.

(1)W可積有界，即存在ω∈L1(J,R+)，使得

||fn(t)||≤ω(t), a.e.t∈J;

(2)集合{fn(t):n∈N}在X中相對緊a.e.于J,則稱序列W半緊.

引理8[13]L1(J,X)中的每個半緊序列是弱緊的.

引理9[6]對?θ∈(0,1],0

|aθ-bθ|≤(b-a)θ.

2 主要結(jié)果

定義集合

其中Pb(Λ)表示Λ的非空有界子集.容易驗證βΛ為Λ上Hausdorff非緊性測度.

首先引入如下假設(shè)條件：

(C1)算子A生成一個等度連續(xù)半群{T(t),t≥0}.

(C3)存在常數(shù)q1∈(0,q)和函數(shù)m∈L1/q1(J,R+),使得

(C4)存在常數(shù)L>0，使得對C([-r,0],X)中的任意非空有界集D，有

βX(F(t,D))≤LβC([-r,0],X)(D).

(C7)分數(shù)階線性微分方程初值問題(3)在區(qū)間J上精確可控.

對?xb∈X，定義控制函數(shù)u如下：

(4)

其中

其中f∈SF,x.由條件(C3),(C5)～(C7)直接計算可得

當t=b時，有

由定義2可知，控制系統(tǒng)(1)精確可控.因此要證明控制系統(tǒng)(1)精確可控，只需證明控制系統(tǒng)(1)存在相應(yīng)于控制函數(shù)u的mild解.

定理1設(shè)條件(C1)～(C7)滿足.如果

(6)

則控制系統(tǒng)(1)在區(qū)間J*上精確可控.

Ψ(x)={ψ∈Λ:ψ(t),f∈SF,x},

其中

由引理10可知，控制系統(tǒng)(1)的mild解等價于算子Ψ的不動點.下面分四步證明Ψ至少有一個不動點.

第一步.證明Ψ有閉凸值.

首先證明對?x∈Λ,Ψ(x)是凸的.

設(shè)ψ1,ψ2∈Ψ(x)，存在f1,f2∈SF,x，使得對?t∈[-r,0],λ∈[0,1]，有

λψ1(t)+(1-λ)ψ2(t)=φ(t)-g(x).

所以當t∈[-r,0]時，λψ1+(1-λ)ψ2∈Ψ(x).

對?t∈J，因為

所以對λ∈[0,1]，有

因為F有凸值，所以SF,x是凸的，即

λf1+(1-λ)f2∈SF,x.

因此

λψ1+(1-λ)ψ2∈Ψ(x),

所以Ψ(x)是凸的.

其次證明對?x∈Λ，Ψ(x) 是閉的.

(7)

其中

由條件(C3)，對?n≥1和幾乎所有的s∈J，有

||fn(s)||≤m(s),

對?t∈J，n≥1，有

由H?lder不等式，有

因此，(7)式兩邊讓n→∞，則由(5)式和Lebesgue控制收斂定理，有

因此，由Ψ(x)的定義可知，ψ∈Ψ(x).

當t∈[-r,0]時，由條件(C6)，有

||ψ(t)-x0(t)||≤η<δ.

當t∈J時，由條件(C3)和引理1(i)，有

由φ的連續(xù)性，對?σ>0,t,t+σ∈[-r,0]，有

其中I:X→X為恒等算子，所以

由引理1(ii)知，Tq(t)(t≥0)是強連續(xù)的，所以當h→0時I1→0.由引理1(i)和條件(C3)，有

由引理9，條件(C3)和(5)式，有

因此

由引理1知，當t>0時，Sq(t)是等度連續(xù)的，所以由條件(C3)和(5)式，有

其中

當t∈[-r,0]時，由g的緊性，有

βX(?(t))=βX({φ(t)-g(xk):k≥1})=0.

當t∈J時，由g的緊性，有

βX({Tq(0)(φ(t)-g(xk)):k≥1})=0.

因此，由引理4可得

由引理5和條件(C4)，有

其中

因此

所以，將(9)式代入(8)式，由(6)式可得

重復(fù)上述步驟可得

由(6)式知M**<1，上式兩邊讓n→∞，則有

第三步.證明Ψ有閉圖.

需證存在f*∈SF,x*，使得

由g的連續(xù)性可知，當xn→x*時，對?t∈[-r,0]，有

φ(t)-g(xn)→φ(t)-g(x*).

當t∈J時，

算子G是線性連續(xù)的，由引理7，G°SF是一個閉圖算子，且Gfn∈GSF,xn.當xn→x*時，再由引理7，有

這意味著ψ*∈Ψ(x*).

3 應(yīng)用

例1考慮具有時滯的分數(shù)階微分包含

(10)

其中CD1/2為q=1/2階Caputo型分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，J:=[0,ω]，ω為常數(shù)，b是適當定義的函數(shù).

取X:=L2([0,1],X)，控制函數(shù)的取值空間U=X.設(shè)

作X中的算子A：

由文獻[9]可知，A生成X中的等度連續(xù)半群T(x)(t≥0).這樣系統(tǒng)(10)可化為形如系統(tǒng)(1)的分數(shù)階微分包含可控性問題.若系統(tǒng)(10)滿足條件(C2)～(C7)，則由定理1可知系統(tǒng)(10)在區(qū)間J*上精確可控.