薛 潔，余 芬

(亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 安徽 亳州 236800)

微積分是近代數(shù)學(xué)的重要分支，內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。目前微積分知識(shí)已經(jīng)應(yīng)用到財(cái)務(wù)管理、信息傳輸、建筑工程以及機(jī)械設(shè)計(jì)等領(lǐng)域中。微積分問題的研究一直與物理問題緊密相關(guān)，且有很多科研成果是使用微積分計(jì)算得出的。在微積分的研究歷史中，阿貝爾最早提出規(guī)范化解題思想，后經(jīng)過眾多學(xué)者前仆后繼長達(dá)數(shù)百年的研究，高等數(shù)學(xué)中的微積分與函數(shù)理論、解析幾何、數(shù)學(xué)概論等學(xué)科融合在一起，但微積分一直在高等數(shù)學(xué)中占有不可替代的位置[1]。隨著數(shù)學(xué)解題思想的形成，微積分的解題方法與思維開始呈現(xiàn)多元化的建設(shè)趨勢。由于在插值節(jié)點(diǎn)上的插值計(jì)算結(jié)果誤差為零，因此本文應(yīng)用線性插值公式，即一次多項(xiàng)式的插值函數(shù)的方式，進(jìn)一步提高微積分求解精度。線性插值區(qū)別于其他插值，此種插值方式計(jì)算過程簡單、計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確。在指定的情況下，線性插值公式可以代替原函數(shù)計(jì)算公式，也可用于計(jì)算插值表格中沒有的數(shù)值[2]。因此，本文將基于線性插值公式，展開微積分求解方法的設(shè)計(jì)。使其計(jì)算結(jié)果的精度更高。

1 線性插值公式的適用性

由于線性插值公式在一定約束條件下，可以有效地代替原函數(shù)，因而線性插值公式可用在差分函數(shù)的計(jì)算過程中，根據(jù)數(shù)值算法，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)值誤差分析，并結(jié)合算例分析，對(duì)計(jì)算數(shù)值進(jìn)行穩(wěn)定性估計(jì)。

截至目前，線性插值公式已被廣泛應(yīng)用到積分算子計(jì)算與微積分方程的計(jì)算過程中，切合實(shí)際地解決了包括物理工程、生物經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的較多科研問題[3]。

2 基于線性插值公式的微積分求解方法

2.1 設(shè)定微積分方程

在利用線性插值公式求解微積分問題的過程中，必須預(yù)先設(shè)定微積分方程[4]。本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的微積分理論設(shè)定微積分方程，選取一條曲線，設(shè)在曲線中存在節(jié)點(diǎn)M(x,y)，由M(x,y)的切線斜率C可得此條曲線的表達(dá)式，于是有如下公式：

(1)

式中，Q為節(jié)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)連接直線距離，y為節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，x為節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)。通過公式(1)，得出此條曲線方程。根據(jù)基爾霍夫定律，將公式(1)寫為兩端積分的形式，可得如下公式：

(2)

通過公式(2)得出微積分方程。在此基礎(chǔ)上，本文為實(shí)現(xiàn)基于線性插值公式的微積分求解，還需要進(jìn)行2點(diǎn)基本假設(shè)[5]：第一點(diǎn)為假設(shè)高等數(shù)學(xué)中微積分方程目標(biāo)函數(shù)存在連續(xù)單調(diào)不減性質(zhì)；第二點(diǎn)為基于線性插值公式的微積分求解結(jié)果為存在性結(jié)果，即為已知存在方程解[6]。在滿足以上兩點(diǎn)基本假設(shè)的前提下，將線性插值公式應(yīng)用在微積分中，為下文基于線性插值公式線性逼近微積分函數(shù)提供基礎(chǔ)參數(shù)。

2.2 基于線性插值公式線性逼近微積分近似值

在設(shè)定微積分方程的基礎(chǔ)上，本文利用線性插值公式，將曲線劃分為若干個(gè)區(qū)間，通過線性插值公式近似區(qū)間中的積分函數(shù)，逼近高等數(shù)學(xué)微積分函數(shù)[7]。設(shè)已知存在的方程節(jié)點(diǎn)M(x,y)在[0，T]，則基于線性插值公式作曲線等距劃分如下：

△：0=t0

(3)

式中：n為線性插值公式近似區(qū)間個(gè)數(shù)，為實(shí)數(shù)；tn為等距劃分線性插值公式近似區(qū)間(個(gè)數(shù)為n)的分割點(diǎn)。利用公式(3)，基于線性插值公式作曲線等距剖分，計(jì)算微積分節(jié)點(diǎn)M(x,y)存在方程解的近似值。設(shè)M(x,y)方程解近似值的計(jì)算表達(dá)式為u，具體計(jì)算公式如下：

(4)

式中，s為當(dāng)前線性插值公式近似區(qū)間的數(shù)值積分，tn+1指的是當(dāng)前等距劃分線性插值公式近似區(qū)間(個(gè)數(shù)為n+1)的分割點(diǎn)。利用公式(4)，基于線性插值公式線性不斷逼近微積分近似值，將微積分求解問題轉(zhuǎn)化為可分離變量[8]求解問題。在基于線性插值公式線性逼近微積分近似值的過程中，必須要考慮到隱式通解的問題。此時(shí)，需要由歐拉公式將微積分近似值u設(shè)置為任意復(fù)數(shù)或是任意回復(fù)數(shù)，基于此，可得如下方程：

u=e(-kx+C)=C1e(-kx),

(5)

式中，e為微積分函數(shù)的定義域，k為微積分函數(shù)隱式通解中存在的可分離變量，C1為曲線中節(jié)點(diǎn)M(x,y)切線斜率的任意常數(shù)。在得出公式(5)的情況下，基于線性插值公式進(jìn)行Taylor展開，則有如下公式：

u=s(tn,x(tn))+s′(ξi,x(ξi))(s-tn)。

(6)

式中：i為線性插值公式線性基本特性估計(jì)參數(shù)，為實(shí)數(shù)；ξi為線性插值公式線性基本特性系數(shù)。通過公式(6)，可基于線性插值公式線性逼近微積分近似值，并解決微積分求解中的隱式通解問題。

2.3 校正微積分求解誤差

在基于線性插值公式線性逼近微積分近似值后，考慮到由于基于線性插值公式線性逼近過程中會(huì)導(dǎo)致微積分求解誤差[9]。所以必須校正微積分求解誤差，以確保高等數(shù)學(xué)微積分求解精度。本文運(yùn)用線性插值公式中的雙邊極值定理，提高微積分目標(biāo)函數(shù)方程求解的收斂速度，實(shí)時(shí)校正微積分求解誤差[10]。設(shè)基于線性插值公式雙邊極值定理求解公式F，可得計(jì)算公式(7)為

(7)

表1 基于線性插值的數(shù)值算法誤差校正綜合信息

由表1可知，基于線性插值的數(shù)值算法誤差校正能夠使M(x,y)節(jié)點(diǎn)向微積分近似值誤差小的方向逼近，進(jìn)而起到校正微積分求解誤差的效果。

2.4 輸出微積分求解積分曲線

在線性插值公式中，設(shè)定微積分求解誤差能夠通過倒向積分求得最優(yōu)校正結(jié)果，且不存在解析解。通過此種方式，將線性插值公式中的倒向積分用自適應(yīng)權(quán)重進(jìn)行表示，也就是說每一種微積分求解方法都會(huì)有與其對(duì)應(yīng)的自適應(yīng)權(quán)重[12]。通過計(jì)算的方式，可達(dá)到微積分求解的目的。設(shè)微積分自適應(yīng)權(quán)重為ε，則有如下公式：

(8)

通過此方程式，當(dāng)?shù)瓜蚍e分接近微積分最優(yōu)解時(shí)，自適應(yīng)權(quán)重的值減??；當(dāng)?shù)瓜蚍e分遠(yuǎn)離微積分最優(yōu)解時(shí)，自適應(yīng)權(quán)重的值增大，以此可實(shí)現(xiàn)微積分求解，進(jìn)而達(dá)到提高微積分求解收斂速度的目的[13]。

在此基礎(chǔ)上，首先設(shè)置微積分求解積分曲線的基礎(chǔ)坐標(biāo)點(diǎn)為(x0,y0)以及(x1,y1)；而后，基于線性插值公式的線性特征，連接4個(gè)點(diǎn)位，通過插值系數(shù)的基本點(diǎn)，得到微積分求解積分曲線，輸出高等數(shù)學(xué)微積分最優(yōu)解[14]。設(shè)微積分最優(yōu)解的表達(dá)式為f(x)，如公式(9)所示：

(9)

通過公式(9)，可得到微積分方程式最優(yōu)解?；诰€性插值公式的線性特征，輸出微積分求解積分曲線[15]，如圖1所示。

在圖1中，A、B為插值系數(shù)，f(x)為微積分最優(yōu)解，根據(jù)微積分求解積分曲線，實(shí)現(xiàn)基于線性插值公式的微積分求解。至此，完成線性插值公式在微積分中的應(yīng)用。

3 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

本文通過上述論述設(shè)計(jì)了一種全新的基于線性插值公式的微積分求解方法，為驗(yàn)證該方法在實(shí)際應(yīng)用中是否具有更優(yōu)的求解效果，將該求解方法與傳統(tǒng)求解方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證兩種算法的求解誤差。將兩種求解算法引入到實(shí)際算例當(dāng)中，為保證實(shí)驗(yàn)最終結(jié)果的公正性及有效性，在進(jìn)行求解的過程中，均采用本文中提到的M(x,y)方程解近似值。

3.1.1 實(shí)驗(yàn)假設(shè)

在考慮Capuio分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的情況下，假設(shè)其初始值u的取值為u=0，根據(jù)本文描述把M(x,y)方程解近似值的計(jì)算表達(dá)式u作為自變量。表2為M(x,y)方程解近似值的計(jì)算表達(dá)式u的變化范圍。

表2 M(x,y) 方程解近似值的計(jì)算表達(dá)式的變化范圍

此次實(shí)驗(yàn)共分為5組。設(shè)置相應(yīng)初始值的u的范圍，為保證實(shí)驗(yàn)科學(xué)性，其中第一組取值為5×10-2，第一組取值是第二組的10倍，第二組取值是第三組的10倍，以此類推，直到5組取值完成。

3.1.2 實(shí)驗(yàn)過程

為保證實(shí)驗(yàn)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有普遍性，且u在其相應(yīng)的范圍內(nèi)，選擇其中間值作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，即自變量參數(shù)。首先，利用本文上述求解方法根據(jù)u的取值變化進(jìn)行多次計(jì)算；再利用傳統(tǒng)求解方法根據(jù)u的取值變化進(jìn)行多次計(jì)算；組后，將2種計(jì)算結(jié)果進(jìn)行記錄，對(duì)比相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠更加明顯地將2種算法的實(shí)際應(yīng)用效果體現(xiàn)，選擇2種求解算法的數(shù)值解以及精確解作為對(duì)比參數(shù)，如果數(shù)值解和精確解能夠隨著u的變小而出現(xiàn)明顯的線性變化，則證明算法的求解精度更高。2種求解方法的計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 2種求解方法數(shù)值解及精確解對(duì)比

根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)，當(dāng)u的取值為0.05時(shí)，本文求解方法與傳統(tǒng)求解方法的數(shù)值解與精確解均相同。因此，說明在u=5×10-2時(shí)，2種方法均能夠得到相同的精確數(shù)值。當(dāng)u的取值為5×10-3時(shí)，2種求解方法的數(shù)值解和精確解開始出現(xiàn)明顯的變化。隨著u取值的不斷變小，本文求解方法中的數(shù)值解和精確解均逐漸減小，而傳統(tǒng)求解方法的數(shù)值解和精確解呈現(xiàn)出不規(guī)律的變化，時(shí)而增加時(shí)而減小。

綜上所述，本文提出的基于線性插值公式的微積分求解方法求解結(jié)果的精度更高，可達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后6位。在實(shí)際應(yīng)用中，利用本文提出的求解算法能夠保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，并且具有一定的收斂性，能夠適用于某一領(lǐng)域中對(duì)不同問題的系統(tǒng)性分析與計(jì)算。

4 結(jié)語

本文通過分析線性插值公式的適用性，提出一種基于線性插值公式的高等數(shù)學(xué)微積分求解方法，并通過設(shè)計(jì)對(duì)比實(shí)驗(yàn)的方式，驗(yàn)證了本文提出的基于線性插值公式的微積分求解方法與傳統(tǒng)求解方法相比，求解結(jié)果的精度更高，可達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后6位。在實(shí)際應(yīng)用中，利用本文提出的求解算法能夠保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，并且具有一定的收斂性，適用于某一領(lǐng)域中對(duì)不同問題的系統(tǒng)性分析與計(jì)算。