丁兆東, 劉劍鋒

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.土木工程結(jié)構(gòu)與材料安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230009)

隨著我國貨運(yùn)鐵路運(yùn)輸?shù)闹剌d化,樞紐鐵路線上的橋梁結(jié)構(gòu)每天可能經(jīng)歷數(shù)百次列車經(jīng)過,由此在結(jié)構(gòu)服役期間產(chǎn)生的疲勞效應(yīng)是不容忽視的。為了正確地反映混凝土結(jié)構(gòu)在疲勞荷載作用下的力學(xué)行為、獲得混凝土結(jié)構(gòu)全壽命過程中的力學(xué)性能及進(jìn)行相應(yīng)的可靠度評(píng)價(jià),需要建立精細(xì)的混凝土疲勞本構(gòu)模型以及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)疲勞可靠度分析方法。

對(duì)于混凝土疲勞問題,研究的途徑有2種:① 基于試驗(yàn)結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)建模研究,這種方法是通過試驗(yàn)建立混凝土材料疲勞壽命的S-N曲線、ε-N曲線(S為材料斷裂強(qiáng)度,N為疲勞循環(huán)數(shù),ε為應(yīng)變)等經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚1-3],然后結(jié)合已有的疲勞損傷累積準(zhǔn)則來評(píng)估和預(yù)測(cè)混凝土結(jié)構(gòu)的疲勞壽命;② 基于斷裂力學(xué)的疲勞裂紋研究[4-6],這種方法通過分析構(gòu)件中裂紋擴(kuò)展速率來評(píng)估和預(yù)測(cè)混凝土結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。前者方法簡(jiǎn)單,工程上應(yīng)用很廣,但是由于其通過經(jīng)驗(yàn)建模,這類研究所得結(jié)果適用性往往具有局限性,且未能從本質(zhì)上分析混凝土疲勞退化,無法形成普適性的結(jié)果;后者物理機(jī)制明確,但只針對(duì)單個(gè)宏觀裂紋的擴(kuò)展過程進(jìn)行研究,對(duì)于混凝土材料而言,在疲勞損傷前、中期一般都是呈大量的微裂紋及宏觀裂紋同時(shí)作用,這類研究并不能夠很好地描述多尺度的混凝土多裂紋擴(kuò)展問題。針對(duì)這種情況,許多研究者運(yùn)用損傷力學(xué)從本構(gòu)層次研究疲勞作用是如何導(dǎo)致材料力學(xué)性能劣化的[7-9]。在這類模型中,將損傷力學(xué)中的損傷概念引入混凝土材料的本構(gòu)模型中,用損傷變量的演化描述不同尺度裂紋發(fā)展所引起的材料性能退化,從而能夠真實(shí)地反映疲勞對(duì)構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的影響。

而混凝土結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性研究一般集中于2條路徑:① 通過試驗(yàn)得出各個(gè)疲勞應(yīng)力水平上疲勞破壞次數(shù)的概率分布情況,再通過疲勞損傷累積準(zhǔn)則與經(jīng)典的可靠度方法,估算出循環(huán)荷載作用下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命可靠度[10-13];② 運(yùn)用參數(shù)隨機(jī)化的Paris公式來估計(jì)疲勞裂紋對(duì)某一閾值的首超問題[14-16]。這些疲勞可靠度評(píng)估方法都沒有考慮到一個(gè)重要事實(shí),即材料疲勞損傷時(shí)會(huì)影響結(jié)構(gòu)自身的力學(xué)性能。對(duì)于這種效應(yīng),只能通過在結(jié)構(gòu)層次考慮材料損傷退化和結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力重分布之間的互相耦合,才能獲得比較精確的預(yù)測(cè),這就需要跟蹤整個(gè)結(jié)構(gòu)和其內(nèi)部材料疲勞的疲勞損傷全過程。

本文根據(jù)基于隨機(jī)細(xì)觀斷裂模型建立的混凝土疲勞損傷本構(gòu)關(guān)系,確定相關(guān)基本隨機(jī)參數(shù)的分布,結(jié)合概率密度演化理論計(jì)算實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的疲勞可靠度,建立混凝土疲勞問題的可靠度分析框架。

1 材料疲勞損傷本構(gòu)模型

1.1 混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型

1.1.1 損傷演化模型

用大量簡(jiǎn)單的一維受力構(gòu)件,通過適當(dāng)?shù)慕M合來反映材料的受力結(jié)構(gòu),是一種有效的建模方式,也能夠抓住材料破壞時(shí)的主要力學(xué)特征。其中斷裂的隨機(jī)性對(duì)材料強(qiáng)度和受力下的表現(xiàn)有很大的影響。以此觀點(diǎn)為基礎(chǔ),許多研究者從損傷細(xì)觀物理研究入手,逐步發(fā)展了一類細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型來模擬混凝土的損傷演化[17-19]。

以單軸受拉為例,首先將一維受力試件簡(jiǎn)化成一組串并聯(lián)彈簧系統(tǒng),如圖1所示。圖1中，每個(gè)彈簧代表1個(gè)次級(jí)的微觀損傷單元,其具有理想彈性-斷裂性能,且斷裂應(yīng)變?yōu)殡S機(jī)變量。

圖1 隨機(jī)斷裂模型

對(duì)于基本的損傷單元,令微彈簧總數(shù)趨于無窮,可將損傷變量表示為如下的隨機(jī)積分形式:

(1)

其中:d為損傷變量;Δ(x)為一維斷裂應(yīng)變隨機(jī)場(chǎng);x為微彈簧所在隨機(jī)場(chǎng)的空間坐標(biāo);H(x)為Heaviside函數(shù)。微彈簧的斷裂應(yīng)變或其等效斷裂能的分布服從Weibull分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。本文采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布形式。

在上述抽象細(xì)觀斷裂彈簧模型中,彈簧的斷裂與否只與當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)有關(guān),無法反映疲勞作用下能量耗散引起的材料損傷累積情況。為了反映疲勞過程的能量耗散,將(1)式中的斷裂應(yīng)變轉(zhuǎn)化為能量形式,可表示為:

(2)

其中:E0為初始彈性模量;Δq(x)為第q根彈簧的應(yīng)變。根據(jù)Heaviside函數(shù)定義,當(dāng)在疲勞荷載作用下,累計(jì)耗散能量Ef超過彈簧所保有的特征能量Es時(shí),彈簧就會(huì)斷裂,從而導(dǎo)致?lián)p傷發(fā)展。文獻(xiàn)[20]基于物理機(jī)理的研究,提出如下疲勞過程能量耗散方程:

(3)

其中:Y為損傷能釋放率;Γ為均勻化表面能的宏觀代表值;γ為均勻化表面能的微觀代表值;C0為與溫度有關(guān)的常數(shù);κ為反應(yīng)微裂紋相互作用引起的衰減系數(shù);β為反映擾動(dòng)的系數(shù);p為反映尺度轉(zhuǎn)換的指數(shù)。在疲勞損傷演化方程中,納米尺度的表面能γ(?)量級(jí)很小,因此在計(jì)算中忽略,而只考慮大量微裂紋共同作用的表面能項(xiàng)Γ。

結(jié)合(2)式、(3)式,最終建立的混凝土疲勞損傷演化表達(dá)式為:

(4)

(4)式中,H(Es-Ef)用于判斷材料是否發(fā)生疲勞耗能破壞,H(Es-Y)用于判斷材料是否發(fā)生脆性斷裂,只要其中任何一個(gè)滿足破壞條件,材料就會(huì)破壞。

1.1.2 基本隨機(jī)參數(shù)概率分布識(shí)別

混凝土材料在疲勞作用下表現(xiàn)出的顯著隨機(jī)性源于混凝土材料某些物理量的隨機(jī)性,當(dāng)通過具體的物理規(guī)律來描述材料的力學(xué)行為時(shí),這種隨機(jī)性就反映在描述物理規(guī)律的相應(yīng)參數(shù)中。在(4)式中,涉及的基本參數(shù)有系數(shù)參數(shù)C0、均勻化表面能參數(shù)Γ、反映疲勞擾動(dòng)的系數(shù)β、反映尺度轉(zhuǎn)換的指數(shù)p及反映微裂紋相互作用引起的衰減系數(shù)κ。通過使用局部靈敏度分析法[14]可得,在上述5個(gè)基本參數(shù)中,參數(shù)Γ、κ的靈敏性顯著大于其他參數(shù),且其物理背景具有不可控性。事實(shí)上,參數(shù)Γ、κ分別反映混凝土材料的均勻化后表面能和體積元中微裂紋的相互作用,因此選取它們作為基本的隨機(jī)變量是合適的。

為了確定參數(shù)Γ、κ的分布形式,本文收集了1批混凝土受拉[21-25]和受壓[26-32]疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù),其分布如圖2所示。

采用Nelder-Mead法對(duì)上述試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行識(shí)別,分別得到單軸受拉和受壓情況下Γ、κ的分布,如圖3、圖4所示。

圖2 混凝土疲勞試驗(yàn)結(jié)果分布

圖3 受拉疲勞下隨機(jī)參數(shù)Γ、κ分布

通過觀察直方圖及試算,發(fā)現(xiàn)Γ的分布符合Weibull分布,有

(5)

其中,λ、k為Weibull分布的參數(shù)。通過極大似然估計(jì),可得單軸受拉模型中參數(shù)取值為λt=0.166、kt=5.735,而單軸受壓模型中λc=0.171、kc=9.248。在受拉與受壓(本質(zhì)為受剪)模型中參數(shù)λ、k取值不同,反映了不同的損傷機(jī)理影響。

圖4 受壓疲勞下隨機(jī)參數(shù)Γ、κ分布

κ比較符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布,有

(6)

其中,σ、μ為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)。通過極大似然估計(jì),得到單軸受拉疲勞下μt=3.281、σt=0.034 3,而在受壓疲勞下μc=3.276、σc=0.070 9。

1.2 鋼筋疲勞損傷本構(gòu)模型

鋼筋的疲勞效應(yīng)反映在鋼筋疲勞損傷引起的彈性模量衰減上。鋼筋在高周疲勞中,塑性應(yīng)變并不明顯,文獻(xiàn)[33]通過一種簡(jiǎn)單的兩尺度模型考慮其疲勞損傷,如圖5所示。

圖5 鋼筋材料兩尺度模型

(7)

文獻(xiàn)[33]通過運(yùn)用文獻(xiàn)[34]提出的局部化方法求解圖5所示的局部化問題,經(jīng)過一系列推導(dǎo)和簡(jiǎn)化,獲得如下的損傷演化方程:

(8)

(8)式的損傷演化是線性增加的模式,本文結(jié)合文獻(xiàn)[35]的處理,引入指數(shù)衰減項(xiàng)將其修改為:

(9)

其中:α為反映非線性衰減的指數(shù)參數(shù);D為微觀尺度上的損傷變量。

當(dāng)考慮單軸加載時(shí),(9)式可寫為:

(10)

其中,σ0為應(yīng)力。

(9)式、(10)式的損傷演化過程更符合試驗(yàn)結(jié)果。

2 基于概率密度演化理論的可靠度計(jì)算

混凝土疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果具有很大的隨機(jī)性,利用上述隨機(jī)損傷疲勞本構(gòu)模型預(yù)測(cè)混凝土疲勞壽命的概率分布,顯然具有工程實(shí)用價(jià)值。下面利用概率密度演化理論對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)疲勞全過程進(jìn)行分析,建立相應(yīng)的混凝土結(jié)構(gòu)疲勞可靠度分析框架。

2.1 廣義概率密度演化方程

近年來,許多研究者從物理隨機(jī)系統(tǒng)的基本觀點(diǎn)出發(fā),發(fā)展了一類以廣義概率密度演化方程為核心的概率密度演化理論,科學(xué)地闡明了隨機(jī)性在工程系統(tǒng)中傳播的基本規(guī)律[36-38]。

推導(dǎo)廣義概率密度演化理論最簡(jiǎn)便的方法是利用概率守恒原理進(jìn)行隨機(jī)事件描述。與描述一般基本物理規(guī)律的質(zhì)量守恒、能量守恒原理類似,概率守恒原理闡明了保守隨機(jī)系統(tǒng)演化的普遍規(guī)律,該原理可以一般地表述為:在保守的隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)演化過程中概率守恒。這里的保守隨機(jī)系統(tǒng)是指系統(tǒng)演化過程中既沒有新的隨機(jī)因素加入,原有的隨機(jī)因素也不消失。

考察一般意義上的微分動(dòng)力系統(tǒng):

(11)

其中:X=[X1X2…Xl],Xl為系統(tǒng)狀態(tài)量;Θ=[Θ1Θ2…Θm],Θm為系統(tǒng)基本隨機(jī)變量,既可以是系統(tǒng)模型的隨機(jī)參數(shù),也可以是隨機(jī)激勵(lì)的隨機(jī)參數(shù),其概率密度函數(shù)pΘ(θ)已知,θ=[θ1θ2…θm];G(·)為描述系統(tǒng)的確定性算子。

若(11)式在物理上是適定的,則其解必存在、唯一,且必然是隨機(jī)參數(shù)的函數(shù),即存在如下物理解答:

X=H(Θ,t)

(12)

相應(yīng)的分量形式記為:

Xl(t)=Hl(θ,t),l=1,2,…,n

(13)

根據(jù)概率守恒原理,存在如下的廣義概率密度演化方程[39]:

(14)

其中,pXΘ(x,θ,t)為X與Θ的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

其對(duì)應(yīng)的邊界條件為:

pXΘ(x,θ,t)|xr→±∞=0,r=1,2,…,n

(15)

初始條件為:

pXΘ(x,θ,t)|t=t0=δ(x-x0)pΘ(θ)

(16)

其中:x0為系統(tǒng)確定性初始值;δ(·)為狄拉克算子。

通過求解廣義概率密度演化方程,獲得狀態(tài)量和基本隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度后,通過對(duì)θ積分可獲得所考察物理量的概率密度函數(shù),即

(17)

2.2 基于吸收邊界條件的可靠度評(píng)估

對(duì)于混凝土疲勞可靠度問題,可以將疲勞損傷作為疲勞破壞的指標(biāo),即一旦損傷超過某個(gè)閾值,就認(rèn)為混凝土材料失效破壞。對(duì)這種情況,采用基于吸收邊界條件的可靠度計(jì)算方法是最合適的。

基于首次超越破壞準(zhǔn)則的可靠度定義為:

R=Pr{X(t)∈Ωs,t∈[0,T]}

(18)

其中:X(t)為目標(biāo)狀態(tài)量;Ωs為安全區(qū)域。Ωs的邊界就是所定義的吸收邊界,一旦X(t)越過邊界,其攜帶的概率信息就被吸收,成為失效概率,而物理上對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)某些不可逆的破壞。

在概率密度演化理論中,廣義概率密度演化方程的吸收邊界條件[39]可設(shè)為:

pXΘ(x,θ,t)=0,x?Ωs

(19)

在求解(14)式時(shí),設(shè)置如(19)式的吸收邊界條件,則結(jié)構(gòu)可靠度為:

(20)

3 混凝土梁可靠度算例分析

3.1 混凝土梁計(jì)算模型

隨著貨運(yùn)重載化,列車的軸重從以往的23 t逐步增加到30 t,并且軸重頻次較以往顯著增加,需要對(duì)鐵路沿線既有預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁的疲勞效應(yīng)等動(dòng)力性能作出評(píng)估。文獻(xiàn)[40]對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁疲勞力學(xué)行為進(jìn)行試驗(yàn)研究,試驗(yàn)共有12片模型梁(靜載2片,等幅疲勞試驗(yàn)10片),其中相當(dāng)于30 t軸重作用的情況有4片。本文選取這批模型梁作為計(jì)算對(duì)象,著重考察受壓區(qū)混凝土的疲勞損傷演化。

本文模型將我國目前普通鐵路上32 m普通跨度預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支T梁作為原型梁,通過相似理論獲得1∶6縮尺模型結(jié)構(gòu)。

(1) 截面尺寸。預(yù)應(yīng)力混凝土梁模型的截面如圖6所示(單位為mm)。

圖6 預(yù)應(yīng)力混凝土模型梁截面

(2) 材料參數(shù)?；炷敛捎肅50等級(jí),彈性模量為34.7 GPa,泊松比為0.2。梁中預(yù)應(yīng)力2根鋼絞線組成,公稱直徑為15.24 mm,屈服強(qiáng)度為1 795 MPa,極限強(qiáng)度為1 929 MPa,彈性模量為196 GPa。梁中非預(yù)應(yīng)力筋分為2種,包括直徑8 mm的Q235鋼筋和直徑10 mm的HR335鋼筋。Q235鋼筋屈服強(qiáng)度為310 MPa,極限強(qiáng)度為455 MPa,彈性模量為211 GPa;HR335鋼筋屈服強(qiáng)度為405 MPa,極限強(qiáng)度為575 MPa,彈性模量為203 GPa。

預(yù)應(yīng)力混凝土梁模型鋼筋布置如圖7所示(單位為mm)。

(3) 加載情況。本文選取的計(jì)算工況為等幅疲勞循環(huán),最大荷載Pmax=62.2 kN,其取值是在模型梁設(shè)計(jì)時(shí),相似比按照“恒活載跨中彎矩相等”原則確定的,此荷載水平在扣除模型自重后,相當(dāng)于原型梁承受30 t軸重的水平;疲勞下限值Pmin=27.2 kN,此值也是在設(shè)計(jì)時(shí),相似比按照“恒活載跨中彎矩相等”原則確定的。

圖7 預(yù)應(yīng)力混凝土模型梁鋼筋布置

3.2 計(jì)算模型建模

預(yù)應(yīng)力混凝土梁最終破壞時(shí),受壓區(qū)混凝土完全損傷、梁底部非預(yù)應(yīng)力筋屈服,因此可以定義其中之一作為最終的破壞指標(biāo)。由于鋼筋的疲勞離散性相對(duì)于混凝土很小,而受壓區(qū)混凝土的疲勞離散性較大,其疲勞損傷會(huì)引起梁的整體性能改變,因此本文采用受壓區(qū)混凝土損傷作為破壞指標(biāo),來考察預(yù)應(yīng)力混凝土梁的疲勞可靠度。

3.2.1 鋼筋損傷演化參數(shù)選取

在本文算例中,根據(jù)疲勞試驗(yàn)的結(jié)果,預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力水平較低,故暫不考慮損傷。對(duì)于非預(yù)應(yīng)力筋,采用損傷演化公式(10)式,相關(guān)參數(shù)取值為:σf=120 MPa,S=2.4 MPa,α=10。

3.2.2 混凝土損傷閾值選取

理論上混凝土疲勞損傷完全失效時(shí),損傷變量取1,考慮到其損傷演化經(jīng)歷的裂紋起始、擴(kuò)展和瞬時(shí)斷裂3個(gè)階段中,最后的斷裂破壞相對(duì)前面的2個(gè)階段非常迅速,因此應(yīng)該適當(dāng)降低損傷閾值的取值。文獻(xiàn)[41]以混凝土的殘余應(yīng)變作為混凝土失效標(biāo)準(zhǔn),認(rèn)為殘余應(yīng)變不能超過0.4倍軸心抗壓靜力強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的靜載應(yīng)變。

在本文模型中,殘余應(yīng)變采用塑性應(yīng)變描述,而塑性應(yīng)變的演化取決于對(duì)應(yīng)損傷變量的演化,因此將受壓疲勞損傷閾值定為0.5,即殘余應(yīng)變超過0.5倍軸心抗壓靜力強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的靜載應(yīng)變時(shí),混凝土失效。

3.2.3 計(jì)算流程圖

由于在結(jié)構(gòu)的疲勞分析中,受到的激勵(lì)作用周期往往是以s為單位,而分析對(duì)象的疲勞壽命則是數(shù)以10 a計(jì),兩者之間的時(shí)間尺度差距巨大,使得采用逐步分析的有限元計(jì)算模擬疲勞問題無法實(shí)現(xiàn),本文在有限元計(jì)算過程中采用基于預(yù)測(cè)-插值跳躍算法[41]進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞模擬。結(jié)構(gòu)的隨機(jī)疲勞損傷可靠度計(jì)算流程如圖8所示。

圖8 結(jié)構(gòu)隨機(jī)疲勞損傷可靠度計(jì)算流程

3.3 計(jì)算結(jié)果分析

對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞過程進(jìn)行模擬,每個(gè)樣本的計(jì)算經(jīng)過多次跳躍后,得到后期混凝土受壓區(qū)疲勞損傷狀態(tài),典型樣本中混凝土受壓疲勞損傷分布如圖9所示。

圖9 典型樣本中混凝土受壓疲勞損傷分布

從圖9可以看出,一旦損傷比較快地集中于某個(gè)單元,后繼會(huì)以其為開始點(diǎn)形成一個(gè)損傷帶。

通過結(jié)合概率密度演化方程分析,可以獲得損傷演化過程的概率密度信息,不同加載循環(huán)后疲勞損傷的分布情況如圖10、圖11所示。

圖10 疲勞損傷的局部概率演化曲面

圖11 疲勞損傷在不同加載循環(huán)后的分布

從圖10、圖11可以看出,隨著疲勞加載的進(jìn)行,疲勞損傷的分布窗寬不斷增大,顯示出很大的離散性。

根據(jù)(20)式計(jì)算相應(yīng)的可靠度,結(jié)果如圖12所示。

圖12 混凝土受壓疲勞可靠度

從圖12可以看出,從106次到107次的加載過程中,受壓混凝土的疲勞損傷破壞可靠度逐步降低到0。

為更清楚地顯示結(jié)構(gòu)的疲勞損傷可靠度情形,特定疲勞循環(huán)數(shù)N下對(duì)應(yīng)的疲勞可靠度R以及不同R下對(duì)應(yīng)的N見表1所列。

表1 不同N下的R與不同R下的N

從上述算例可以看出,通過將結(jié)構(gòu)的疲勞全壽命分析與概率密度演化方法相結(jié)合,完全可以實(shí)現(xiàn)精細(xì)的結(jié)構(gòu)疲勞可靠度分析。

4 結(jié) 論

(1) 通過對(duì)混凝土本構(gòu)模型中的疲勞參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析,確定混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型的基本隨機(jī)參數(shù),且通過對(duì)1批混凝土疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別,結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)獲得基本參數(shù)的理論分布,給出完整的混凝土隨機(jī)損傷本構(gòu)模型。

(2) 探索了求解結(jié)構(gòu)疲勞可靠度的新途徑,即建立一個(gè)集損傷力學(xué)、非線性分析與隨機(jī)分析于一體的結(jié)構(gòu)疲勞可靠度分析框架,以考察長(zhǎng)期重復(fù)荷載作用下的結(jié)構(gòu)在服役周期內(nèi)的安全性問題。