鄧珍珍 閆 龍

(合肥師范學院 安徽 合肥 230601)

進入新時代，培養(yǎng)什么樣的人，如何培養(yǎng)創(chuàng)造性人才，已成為基礎教育改革的重大課題?！八仞B(yǎng)本位”正是我們對培養(yǎng)什么樣的人的回答。數(shù)學核心素養(yǎng)作為核心素養(yǎng)的重要組成，反映數(shù)學學科的本質與及其賴以形成與發(fā)展的重要思想。數(shù)學思想的表達，離不開多重表征。實施數(shù)學多重表征教學,能夠降低學生思維梯度，促進學生有效建構數(shù)學知識體系，提升數(shù)學思維品質。小學階段是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的起始期和關鍵期，探索素養(yǎng)本位下多重表征在小學數(shù)學教學的應用，對促進小學生在數(shù)學上的發(fā)展和提高數(shù)學教學質量有著重要意義。

一、素養(yǎng)本位下的小學數(shù)學教學的價值取向

(一)由“知識本位”走向“素養(yǎng)本位”

進入新世紀以來，我國基礎教育學力目標前后經(jīng)歷了雙基論、三維目標論和核心素養(yǎng)論，即經(jīng)歷了從“知識本位”到“過程為本”再到“素養(yǎng)本位”的嬗變過程。這三個學力目標并不是后者對前者的否定或推翻，而是一種超越和升華。“知識本位”論強調(diào)數(shù)學基礎知識、基本技能的教學，長期受到我國基礎教育的重視。基于此，我國數(shù)學教學中形成了富有特色的教學方式，如變式教學、精講多練、題組訓練等。國際上一致認為我國中小學生的數(shù)學雙基扎實、素養(yǎng)深厚，這也使得我國的數(shù)學教育質量在國際上處于領先地位。[1]例如，我國學生對數(shù)學概念的掌握清晰準確，邏輯思維和運算能力較強等。三維目標論將課程目標定位于知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀。它在保留雙基論的課程目標基礎上，也注重發(fā)展學生以學科為基礎的學習興趣、動機及態(tài)度等非智力因素。核心素養(yǎng)論即人適應終身發(fā)展和社會發(fā)展所必需的品格和關鍵能力，它聚焦于全面發(fā)展、全面育人的育人理念，是黨和國家落實立德樹人教育目標的具體體現(xiàn)。[2]

(二)由“能力本位”走向“素養(yǎng)本位”

數(shù)學核心素養(yǎng)是核心素養(yǎng)的重要組成，是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的基石，受到了大家的關注。國內(nèi)學者史寧中教授把數(shù)學核心素養(yǎng)概括為“三會”能力，即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。[3]“三會”在小學階段的具體表現(xiàn)為：數(shù)學眼光包括符號意識、數(shù)感、量感、空間觀念、幾何直觀；數(shù)學思維包括推理意識、運算能力；數(shù)學語言包括模型意識、數(shù)據(jù)意識；綜合表現(xiàn)有應用意識和創(chuàng)新意識。[4]數(shù)學核心素養(yǎng)在小學階段整體側重的是意識，到中學階段上升為觀念、能力及思想。

最新版《義務教育數(shù)學課程標準》充分貫徹數(shù)學核心素養(yǎng)，把數(shù)學課程目標表述為“三會”“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)[5]、“四能”(發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題)[6]以及情感態(tài)度價值觀。這些都為我國基礎教育指明了育人方向。突出“素養(yǎng)本位”的育人取向能夠克服應試教育中長期存在的“目中無人，分數(shù)王道”的弊端，并試圖尋找基礎教育發(fā)展學生腦力與體力、認知能力與非認知能力、學科知識與跨學科素養(yǎng)的均衡點。[7]

二、小學數(shù)學教學中多重表征的含義

美國學者舒爾曼(1986)指出：學科教學知識(簡稱 PCK)中，最有效的知識教學是對學科知識進行恰當表征。數(shù)學表征即數(shù)學知識在頭腦中的呈現(xiàn)方式，如列表、圖示、舉例、解釋、符號、式子等。教師必須理解一切有助于內(nèi)容知識轉化為學生可接受形式的表征途徑。[8]數(shù)學不僅是人們生產(chǎn)生活中有用的工具，更是一門培養(yǎng)思維的學科。數(shù)學研究的對象去除了任何物質的、具體的特征，僅從形式和關系上對數(shù)學對象展開研究。如，數(shù)學上的點、線就是一種理想化的對象，所以數(shù)學具有高度抽象性，不抽象不數(shù)學。我們將抽象的數(shù)學轉化為小學生能夠接受的形式就需要依靠數(shù)學表征，數(shù)學表征即通過某種方式對數(shù)學對象進行刻畫。表征的主體和呈現(xiàn)會影響教學質量，更重要的是，單一表征已經(jīng)不能滿足教學的需求，雖然單一表征各具特點，每塊教學內(nèi)容也都有自己最合適的表征，但多重表征相對于單一表征更加互補、全面、深刻，[9]小學數(shù)學教學中的多重表征更加有助于數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。故，多重表征的選擇、順序、轉化更應該引起我們的重視。例如，數(shù)學上的勾股定理具有多重表征，有圖形表征、列表表征、語言表征(直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方)、符號表征(a2+b2=c2)等。在勾股定理的教學中僅使用單一表征會造成學生的認知出現(xiàn)偏差，如何在教學中處理多重表征的選擇、出現(xiàn)的順序、相應的轉化以及表征由哪個主體(老師、學生、師生合作)提出的，表征是通過何種技術呈現(xiàn)等，顯得尤為重要。

數(shù)學多重表征不僅是教學過程，更是教學結果，是一種數(shù)學關鍵能力。當作為教學過程的多重表征內(nèi)化為多重表征能力時，學生的多重表征能力表現(xiàn)為表達交流、操作轉化、建模應用三個不同水平。[10]波利亞的“怎樣解題”表中提出了很多啟發(fā)性的問題，如“你能不能用不同的方式重新敘述這個問題”“畫張圖，引入適當?shù)姆枴薄澳隳懿荒芟氤鲆粋€類比的問題”“你能用別的方法得出這個結果嗎”“你能不能把這個結果或方法用于其它問題”等。[11]這些都是在啟發(fā)我們聯(lián)想其它形式的數(shù)學表征，以更好地理解題意，操作模型，解決問題，建立模型。

三、素養(yǎng)本位下小學數(shù)學教學中多重表征的含義與價值

(一)素養(yǎng)本位下小學數(shù)學教學中多重表征的含義

許多國家在其官方的課程標準或相關文獻中把數(shù)學表征列為學生應該發(fā)展的關鍵能力之一。例如，德國在其數(shù)學課程標準中把數(shù)學表征能力論述為能夠在數(shù)學情境中運用、識別和解釋多重表征，能夠區(qū)分多重表征之間的聯(lián)系，能夠在不同的情境中根據(jù)需求選擇、運用多重表征。[12]全美數(shù)學教師聯(lián)合會(簡稱NCTM)認為，在數(shù)學教學中應該發(fā)展每位學生在情境中創(chuàng)造、運用多重表征去記錄、組織、思考和表達數(shù)學，在多重表征中恰當選擇、靈活轉化、熟練應用，進而解決數(shù)學問題，利用表征建立一般模型，解釋自然科學、社會科學等領域中出現(xiàn)的現(xiàn)象。[13]美國各州一般也都在其課程標準中強調(diào)多重表征的價值。[14]我國《課標(實驗稿)》和《課標(2011年版)》均未出現(xiàn)“表征”兩字，但《課標(2011年版)》提出的十大核心概念中的符號意識、幾何直觀、數(shù)感、運算能力、模型思想等均體現(xiàn)了對表征的要求?！白钚掳妗闭n標把數(shù)學核心素養(yǎng)概括為“三會”，而“三會”在小學階段表現(xiàn)了11個方面，這里面也體現(xiàn)了對多重表征的要求。

基于以上論述，素養(yǎng)本位下小學數(shù)學教學中多重表征的含義是指以發(fā)展小學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為目標，基于數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)則、問題解決等不同知識類型的教學，采用多種方式刻畫研究對象，以更好地適應小學生的接受水平的教學。

(二)素養(yǎng)本位下小學數(shù)學教學中多重表征的價值

1.多重表征促進數(shù)學概念的掌握

數(shù)學概念是客觀事物在數(shù)、量、關系和空間形式方面的本質屬性在人腦中的反映，[15]是數(shù)學知識和思維的基礎。學生表示“聽不懂數(shù)學”或者解題錯誤，主要原因是學生不能正確理解數(shù)學概念。如何幫助學生掌握數(shù)學概念呢？需要先了解兒童的認知規(guī)律。

布魯納認為兒童的認知發(fā)展程序是“動作-表象-符號”，同時這也是學生學習過程的認知順序。根據(jù)學生的這一認知特點，我們在教學過程中讓學生經(jīng)歷“具體-表象-抽象”的過程，讓學生在學習“數(shù)學化”的過程中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。數(shù)學表征按照該認知序列可分為動作式表征、表象式表征、符號式表征。動作式表征包括實物展示、圖文結合、音視頻、語言描述、散裝圖等；表象式表征包括線段圖、幾何圖形、圖表等；符號式表征包括等式、不等式、含有符號的式子等。在教學中一般按照這一順序進行多重表征，幫助學生更好地掌握數(shù)學概念。

大家認為數(shù)學中最簡單的幾何圖形是一維的點、線(以下簡稱“三線”)，然而它們也是非常抽象的數(shù)學概念。不僅有小學生認為投影儀射向屏幕的光線是“射線”等錯誤認知，成年人中也有認為角的兩條邊是“直線”的認知偏差。角的兩條邊確實是直直的線，但直直的線并不等同于直線。具有“直直的”這一特點的線就有線段、射線和直線三種。顯然這位成年人對“三線”概念的表征是不全面的。另外一種錯誤的出現(xiàn)也是對射線概念的非精準化表征造成的。下面以蘇教版小學數(shù)學四年級上冊“認識射線、直線和角”為例，進行多重表征的教學處理，以供大家探討交流。

活動1：欣賞城堡夜景燈光秀表演視頻，請同學們描述視頻中燈光特征。

交流后總結：這些燈(發(fā)光點)向天空射出直直的光線看作射線。如，圖1：

圖1 視頻表征

活動2：通過激光筆演示:①把激光筆射向距離較近的黑板，并用噴壺向激光筆射出的方向噴水，讓學生看到紅色的光線。問這相當于什么線？并指出它的端點。②老師和學生面對面站，老師把激光筆射向學生胸前的書本上，不再噴水，問此時是什么線？接著讓該生不斷往后退，再問線段發(fā)生了什么變化？你能測量它的長度嗎？③直到該生即將退到教室外面，讓該生回到座位上。老師把激光筆射向無邊無際、毫無遮擋的天空，問此時是什么線？你能測量它的長度嗎？

以上兩個活動屬于動作式表征，視頻欣賞和激光筆演示都盡可能地讓學生具體感知射線。再通過老師不斷地提問，使得學生的思考逐漸深層化。激光筆演示又分為三個步驟。首先，通過噴水讓學生感知“有形的”線段；然后，讓老師對面的學生不斷后退，學生感受到“半有形的”(只能看到兩端的小紅點)線段在變長；最后，把激光筆射向天空，讓學生感受“半有形的”(只能看到激光筆端的小紅點)無限長射線。通過這兩個動作式表征的轉化，學生經(jīng)歷了從“有形”到“半有形”的射線，實際上已經(jīng)開始內(nèi)化射線的概念了。

活動3：讓學生自己在紙上畫射線。

學生自己動手畫圖，發(fā)現(xiàn)紙張畫不下射線。

全班共同探討，試圖解決問題。即使在黑板上畫射線，射線會沖出黑板，沖出教室(讓學生閉眼想象)……，沖出合肥，沖出安徽，沖出中國，沖出地球，沖向宇宙……

引出射線的正確畫法，先畫一個小圓點或小豎線表示發(fā)光點(端點)，接著畫有限長的直直的線，我們畫射線的一部分表示無限長的射線。最后，學生修改自己原先畫的射線。

活動4：讓學生自己動手畫一畫，一條線段怎么變成射線或直線。

學生通過動手畫來感受線段和射線、線段和直線的關系。

活動5：通過列表比較“三線”的相同點和不同點。

以上三個活動屬于表象式表征，全部去掉了具體物支撐，并非直接講授射線的正確畫法，而是讓學生根據(jù)自己此時的心象動手畫射線。然后，發(fā)現(xiàn)有限的紙張和黑板畫不下無限長的射線，于是老師讓學生閉眼想象能夠把長長的射線畫到哪里了。此時“無形的”射線已經(jīng)清晰地內(nèi)化在學生心中。接著規(guī)范射線的畫法，并指出發(fā)光點-端點、光線-所畫出的線的對應關系，實現(xiàn)動作式表征向表象式表征的轉化。而直線的概念只需在表象式表征的層面上直接類比生成即可。最后，用圖表表征的方式把“三線”的特點簡潔明了地概括出來,如表1所示。

表1 圖表表征

活動6：在直線上有兩個點，如圖2所示。找出下圖中有多少條直線，多少條射線，多少條線段，并分別記錄下你找到的線。

圖2 符號式表征

該活動是符號式表征，學生在這一活動中經(jīng)歷了二次思維沖突。其一，在非標準情境下不重復不遺漏地有序找出所有“三線”；其二，“三線”的表示方法。學生能否在非標準情境下，排除干擾信息，抓住關鍵特征，將“三線”的圖表表征精準轉化為圖形表征是平衡第一次沖突的關鍵。“三線”的表示方法是學生從語言表征轉化為符號表征的體現(xiàn)，學生的表示方法雖然不是那么規(guī)范、嚴謹，卻是學生抽象思維的體現(xiàn)。

2.多重表征促進數(shù)學規(guī)則的理解

數(shù)學規(guī)則是以經(jīng)過嚴格論證的數(shù)學命題形式出現(xiàn)，揭示兩個或多個概念之間的固有關系的判斷,是數(shù)學技能形成的基礎。[16]學生掌握數(shù)學規(guī)則的一般論證方法，在解決其它問題時可以發(fā)生遷移，幫助探明思路。

加減法在小學階段是基礎技能。在學習小數(shù)加減法之前，學生一定學習了整數(shù)的加減法?？墒遣糠謱W生深受整數(shù)加減法的影響，把小數(shù)加減法的筆算也處理成末尾對齊，如圖3所示。究其原因，是數(shù)表征與式表征的關聯(lián)性沒有處理到位。

“0.7+3.16”的筆算為什么不能像之前的加減運算一樣，把末尾對齊呢？無論是末尾對齊還是小數(shù)點對齊，都是豎式表征的表層操作方法，即算法。豎式表征背后的數(shù)表征才是真正的算理。我們只有理清這兩種表征的關系，才能促進深度學習，減輕學習負擔。整數(shù)和小數(shù)都是十進制數(shù)，都有數(shù)位、數(shù)值及計數(shù)單位。而加減法的豎式表征有一個限制條件“相同計數(shù)單位上的數(shù)值才能直接相加減”。無論是末尾對齊還是小數(shù)點對齊，都是為了保證相同數(shù)位對齊，都是為了讓加減更加方便，也體現(xiàn)了數(shù)學符號的合理、簡潔性。如果是0.7元+3.16元，末尾對齊即7和6對齊就是“7角+6分”，肯定不能直接等于13角或13分，這顯然是不對的，如圖3所示。

在教學中根據(jù)數(shù)學學科的前后邏輯、學生的認知規(guī)律和非認知狀況，注重多重表征的關聯(lián)和選擇可以幫助學生抓住數(shù)學規(guī)則的本質。

3.多重表征發(fā)展數(shù)學問題解決能力

“問題解決”不僅是過程和結果，更是一種能力。所有的問題都具有三個要素，即初始狀態(tài)、過程、目標狀態(tài)。以往的數(shù)學問題會清晰地給出已知條件和結論狀態(tài)，但生活中很多問題沒有貼上數(shù)學的標簽，就需要學生用數(shù)學的眼光觀察、發(fā)現(xiàn)問題的初始狀態(tài)、過程、目標狀態(tài)。[17]過程固然重要，但許多學生解題錯誤的原因是：不能對初始狀態(tài)和目標狀態(tài)進行恰當?shù)亩嘀乇碚?。能否在非標準情境下，正確理解概念和規(guī)則、排除干擾、聯(lián)系相關信息、靈活轉譯表征是成功解題的關鍵。而這些都需要學生有較高的多重表征能力。

我國傳統(tǒng)數(shù)學題“雞兔同籠”問題：今有雉(雞)兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？[18]該問題的情境學生是比較熟悉的，也無干擾信息。學生首先需要將該問題轉化為自己的語言表征，然后聯(lián)想雞兔的具體圖像表征，找到兩種動物腿與頭數(shù)量的關系表征。接著有學生用列表格逐一嘗試的方法去表征，如表2所示；有的學生用假設列算式的方法去表征，如4×35=140(只)，140-94=46(只)，46÷2=23(只)，35-23=12(只)；還有的學生用設未知數(shù)列方程的方法去表征，例如，假設雞有x只，2x+4(35-x)=94。最后執(zhí)行過程，表達結論，拓展為一般模型。整個過程充滿多重表征的精準選擇、優(yōu)化排序、對應轉化、多主體構建、多樣表達、模型建構等。這一系列多重表征的合理應用是發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎。

表2 圖表表征

基于以上論述，小學數(shù)學教學中的多重表征有助于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。我國現(xiàn)行《課標(2011年版)》雖未涉及多重表征的內(nèi)涵、類別、影響因素、行為表現(xiàn)等，但在其提出的核心概念中對多重表征作出了具體要求。故在小學數(shù)學教學中，我們應該加強對多重表征的重視。