陳曄華
(江蘇省無錫市塘南中學(xué) 214062)
應(yīng)用分類討論思想解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題的難點在于如何找到分類討論的分界點.不同的題型尋找討論分界點的方法存在較大差別,因此教學(xué)中應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題題型的歸納以及分類討論思想在解題中的具體應(yīng)用,給學(xué)生帶來良好的解題啟發(fā).
例1有理數(shù)x,y滿足|x|+|y|=13,|x+y|=1,求x的值.
解析∵|x|+|y|=13,|x+y|=1,|x+y|≠|(zhì)x|+|y|,可知x、y必定異號.接下來需要進(jìn)行分類討論:
(1)當(dāng)x>0,y<0時,則x-y=13,y=x-13,∴|2x-13|=1,則2x-13=±1,解得x=6或x=7;
(2)當(dāng)x<0,y>0時,則-x+y=13,y=x+13,∴|2x+13|=1,則2x+13=±1,解得x=-6或x=-7;
反思解答絕對值問題時為更好的找到分類討論的分界點,應(yīng)認(rèn)真審題,結(jié)合所學(xué),充分挖掘隱含條件.如題目中判斷出x、y異號是分類討論的關(guān)鍵.
例2已知正比例函數(shù)y=k1x與一次函數(shù)y=k2x+b圖象經(jīng)點P(-2,1),其中一次函數(shù)y=k2x+b圖象與y軸交點坐標(biāo)為A(0,3),求直線y=k1x與直線y=k2x+b與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積.
圖1
∵直線y=k2x+b經(jīng)點P(-2,1)與A(0,3),∴一次函數(shù)解析式為y=x+3.
反思從已知條件可直接求出一次函數(shù)與正比例函數(shù)解析式,然而在求兩條直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積時并未直接指出是x軸或y軸圍成的三角形,所以可采取分類討論思想.
例3在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(-3,0),B(2,6),x軸上有一點C滿足S△ABC=12,求點C坐標(biāo).
解析∵S△ABC=12,∴AC=4.
(1)當(dāng)點C在點A右側(cè),點C坐標(biāo)為(1,0);
(2)當(dāng)點C在點A左側(cè),點C坐標(biāo)為(-7,0).由此可知,點C坐標(biāo)為(1,0)或(-7,0).
反思由于無法確定x軸上點C位置,故而需要采取分類討論.
例4一次函數(shù)y=kx+b圖象與x軸、y軸分別交于A與B兩點,S△AOB=4,且OA:OB=1:2,求該一次函數(shù)解析式.
∴OA·OB=8.
∵OA∶OB=1∶2
∴設(shè)OA=x,OB=2x(x>0),則x·2x=8,即x=2(-2舍去).
∴OA=2,OB=4.
(1)當(dāng)k>0,b>0時,一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)第一/二/三象限,此時A(-2,0),B(0,4),一次函數(shù)解析式為y=2x+4.同理可得:
(2)當(dāng)k>0,b<0時,一次函數(shù)解析式為y=2x-4.
(3)當(dāng)k<0,b>0時,一次函數(shù)解析式為y=-2x+4
(4)當(dāng)k<0,b<0,一次函數(shù)解析式為y=-2x-4.
由此可知,一次函數(shù)解析式為y=2x±4或y=-2x±4
反思因無法確定k與b符號且二者的值存在較多可能,故而需要分類討論.
例5已知一次函數(shù)y=kx+b自變量x取值范圍為-2≤x≤6,對應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍為-11≤y≤9,求一次函數(shù)解析式.
解析(1)若函數(shù)y=kx+b為增函數(shù),那么一次函數(shù)y=kx+b圖象兩端點坐標(biāo)為(-2,-11)與(6,9),一次函數(shù)解析式為y=2.5x-6.
(2)若函數(shù)y=kx+b為減函數(shù),函數(shù)y=kx+b圖象兩個端點坐標(biāo)為(-2,9)與(6,-11),一次函數(shù)解析式為y=-2.5x+4.
由此可知,一次函數(shù)解析式為y=2.5x-6或y=2.5x+4.
反思由于未明確一次函數(shù)y=kx+b中k值的符號,所以無法確定函數(shù)增減性與其對應(yīng)兩個端點坐標(biāo),需采取分類討論.
例6一張直角三角形紙張ABC,∠C=90°,AB=10,AC=6,點D為BC邊上任意一點,沿著過點D的直線折疊,使得點C落在斜邊AB上的點E上,若當(dāng)△BDE為直角三角形時,CD的長為____.
圖2 圖3
反思遇到幾何中的折疊問題時應(yīng)冷靜分析,保證考慮問題的全面性.必要時要畫出相關(guān)草圖輔助分析,求解出滿足題干情境的線段長度.
例7如圖4,已知拋物線y=x2-2x-3的頂點為E,且和x軸正半軸交于點C,在y軸上存在一點D,滿足DC=DE,若在直線DE上存在一點P,使得以C、D、P為頂點的三角形和△DOC相似,求出所有可能的點P的坐標(biāo).
圖4 圖5
反思求解函數(shù)圖象中點的坐標(biāo)問題難度一般較大,解題時應(yīng)注重聯(lián)系所學(xué)的一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象、圖形的全等與相似等知識點,尤其當(dāng)對應(yīng)邊不明確時應(yīng)注重分類討論.根據(jù)圖形的全等、相似性質(zhì)構(gòu)建相關(guān)的等式關(guān)系,為求解點的坐標(biāo)做鋪墊.
為使學(xué)生掌握應(yīng)用分類討論思想解題的技巧,既要注重為學(xué)生講解相關(guān)的理論與例題,又要要求學(xué)生做好學(xué)習(xí)的總結(jié),把握不同題型分類討論的注意事項以及相關(guān)細(xì)節(jié).同時,要求學(xué)生結(jié)合自身學(xué)習(xí)的薄弱點,及時進(jìn)行針對性的訓(xùn)練,不斷提高運用分類討論思想解題的熟練程度.