林龍海

(福建省福州市長(zhǎng)樂區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 350200)

1 三角形中位線定理的源起

三角形中位線的相關(guān)知識(shí)起源于古代兩河流域古巴比倫時(shí)期(公元前1800-公元前1600)現(xiàn)實(shí)生活中土地大小的財(cái)產(chǎn)分割.三角形中位線等于底邊的一半，這一性質(zhì)早為三千多年前的古人熟知.再到公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在《幾何原本》卷六里給出了更一般的命題：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點(diǎn)連線段平行三角形的底邊”.

了解數(shù)學(xué)史幫助我們了解人類的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的形成過程，可見基于生產(chǎn)生活的需要，數(shù)學(xué)早期要解決的問題都是與面積大小財(cái)產(chǎn)分割有關(guān)的經(jīng)濟(jì)問題.而變換是現(xiàn)代幾何的核心思想.2001年發(fā)布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)版)》，第一次把圖形變換納入義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》則在“圖形的變化”這個(gè)板塊里，整合了圖形變換的課程內(nèi)容.從2001年開始，各版本的初中數(shù)學(xué)教科書都把圖形變換作為幾何的重要內(nèi)容組織進(jìn)課程資源，這說明從2001年開始，在幾何內(nèi)容中滲透變換思想成為我國(guó)幾何課程教學(xué)的重要價(jià)值取向.

2 三角形中位線定理在不同版本教材中的編排

在國(guó)內(nèi)現(xiàn)行的義務(wù)教育九個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材中，北京師范大學(xué)出版社在第六章《平行四邊形》中安排三角形的中位線；湖南教育出版社八年級(jí)下冊(cè)第2章《四邊形》在平行四邊形、中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形之后安排三角形的中位線；河北教育出版社八年級(jí)下冊(cè)第二十二章《四邊形》在平行四邊形的性質(zhì)和判定之后安排三角形的中位線；浙江教育出版社八年級(jí)下冊(cè)第4章《平行四邊形》在中心對(duì)稱和平行四邊形的判定定理之后安排三角形的中位線；江蘇科學(xué)技術(shù)出版社八年級(jí)下冊(cè)第9章《中心對(duì)稱圖形-平行四邊形》在圖形的旋轉(zhuǎn)，中心對(duì)稱，平行四邊形，特殊的平行四邊形之后安排三角形的中位線；青島出版社八年級(jí)下冊(cè)第6章《平行四邊形》在平行四邊形性質(zhì)和判定以及特殊的平行四邊形之后安排三角形的中位線定理.

這六種教材在相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)編排中主要是在平行四邊形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中安排三角形中位線定理，其中發(fā)現(xiàn)中位線性質(zhì)主要是測(cè)量，觀察，操作的途徑，證明方法主要是平行四邊形法.另外，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社八年級(jí)下冊(cè)第19章《四邊形》在平行四邊形內(nèi)容中，用平行四邊形的判定和性質(zhì)先證明平行線等分線段，再得出經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊的推論，最后利用同一性證明得到三角形中位線定理.而華東師范大學(xué)出版社(華師大版)則是在九年級(jí)上冊(cè)第23章《圖形的相似》的成比例線段，相似圖形，相似三角形之后安排中位線，用相似三角形的判定和性質(zhì)來證明三角形中位線定理.證明的方法有歐式面積法，同一法，平行四邊形法，反證法等.

2.1 歐式面積法

圖1 圖2

2.2 同一法

2.3 平行四邊形法

圖3 圖4

以上大都是在一般化的平行線分線段成比例公理認(rèn)識(shí)上，發(fā)現(xiàn)并提煉出特殊化的推論，三角形中位線性質(zhì)，而平行四邊形法主要是依據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)來證明三角形中位線定理，其中不同版本的證明差異也只是細(xì)枝末節(jié)上的差異.比如人民教育出版社(下文簡(jiǎn)稱人教版)的證明用圖4，內(nèi)核是平行四邊形法，證法稍簡(jiǎn)潔，但證明對(duì)學(xué)生圖形分解能力要求更強(qiáng).

3 理解人教版教材三角形中位線定理的編排意圖

義務(wù)教育階段，教材的編排體系直接影響學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，了解學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)，是理解學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)點(diǎn).在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)幾何圖形面積的認(rèn)識(shí)鏈?zhǔn)菑膯挝徽叫伍_始，然后擴(kuò)充到一般的正方形，再伸展到長(zhǎng)方形，割補(bǔ)到平行四邊形，再分切成三角形，因此小學(xué)生是先認(rèn)識(shí)了平行四邊形的面積S=ah，再獲得三角形的面積公式人教版初中幾何教材的內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)是怎樣的？七年級(jí)上冊(cè)第四章《幾何圖形初步》安排幾何基本概念，直線、射線、線段、角.在七年級(jí)下冊(cè)第五章《相交線與平行線》中編排了命題與定理，平移.八年級(jí)上冊(cè)《三角形》《全等三角形》之后，第十三章《軸對(duì)稱》安排了軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形，等腰三角形，等邊三角形，最后安排了含30°角的直角三角形，該圖形性質(zhì)是利用等邊三角形的軸對(duì)稱性一分為二成兩個(gè)含30°角的直角三角形，發(fā)現(xiàn)特性并可以利用這樣的整體與部分的轉(zhuǎn)化構(gòu)造圖形并證明該性質(zhì).八年級(jí)下冊(cè)《勾股定理》之后安排第十八章《平行四邊形》18.1研究平行四邊形性質(zhì)和判定之后編排三角形中位線定理的內(nèi)容.九年級(jí)上冊(cè)第二十三章圖形變換《旋轉(zhuǎn)》，第二十四章《圓》，九年級(jí)下冊(cè)第二十七章《相似》27.3安排圖形位似變換.

可見人教版幾何內(nèi)容的編排是圖形變換與圖形相伴而行，呈雙螺旋式上升的結(jié)構(gòu).在平行四邊形章節(jié)安排三角形中位線定理，是從圖形變換的角度進(jìn)行編排，教學(xué)研究離不開研究教材，應(yīng)是見樹木更見森林，見森林才見樹木下整體構(gòu)建知識(shí)體系.圖形變換體現(xiàn)從整體到部分，部分到整體的辯證統(tǒng)一思想.理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，更好的理解教材編排意圖，那么對(duì)比學(xué)生在八年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)并證明含30°角的直角三角形性質(zhì)的過程，是在軸對(duì)稱變換下的生成過程中發(fā)生的，以及小學(xué)階段的學(xué)生已有的幾何圖形認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)也支持他們繼續(xù)從圖形變換的土壤中生長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)、理解并證明三角形中位線定理.

4 基于理解人教版教材的教學(xué)處理

基于理解人教版教材的編排意圖，從有利于學(xué)生形成研究一個(gè)幾何圖形的完整經(jīng)驗(yàn)考慮出發(fā)，三角形中位線定理的教學(xué)設(shè)想是緊扣圖形變換之中心對(duì)稱，抓住平行四邊形與三角形之間整體與部分的關(guān)系，由學(xué)生直觀觀察發(fā)現(xiàn)特殊事物，學(xué)生再嘗試描述特殊事物時(shí)抽象精煉圖形構(gòu)件，對(duì)新構(gòu)件下定義，用新定義描述圖形特性.在邏輯推理證明三角形中位線性質(zhì)時(shí)，由部分還原整體，通過平行四邊形法證明，獲得定理.

如圖5，有硬紙板做的一個(gè)平行四邊形，把一根細(xì)木條固定在平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)O處，使細(xì)木條可以繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng).撥動(dòng)細(xì)木條，發(fā)現(xiàn)了什么，并證明你的發(fā)現(xiàn).(該習(xí)題源自人民教育出版社義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教材51頁(yè)，是教材原題，可借由GeoGebra軟件或幾何畫板軟件呈現(xiàn))

圖5 圖6

由學(xué)生通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)特殊(圖6)，精煉事物抽離本質(zhì)，描述屬性，這里用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述事物是難點(diǎn)(圖7)，但恰是能力打磨點(diǎn)，必要的經(jīng)驗(yàn)積累點(diǎn).

圖7 圖8

學(xué)生嘗試定義三角形的中位線(圖7)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述三角形中位線性質(zhì)，教師幫助.然后在公理、定理體系下邏輯推理證明三角形中位線性質(zhì)時(shí)，還原整體，構(gòu)造平行四邊形(圖8)，用平行四邊形法證明獲得定理.之后的教學(xué)，或是討論證明細(xì)節(jié)(如圖9，圖10)，或是引入歐式面積法，都可以因時(shí)因地因人制宜靈活處理.

圖9 圖10

5 教學(xué)研究啟示

教育教學(xué)工作者在一線經(jīng)常遇到數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種問題，糾其原因是復(fù)雜的，既有學(xué)生認(rèn)知水平的差異，家庭教育環(huán)境的差異，也有教師課堂組織教學(xué)的過程中沒有找準(zhǔn)學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生獲得新知的體驗(yàn)過程不夠深刻等原因.“四個(gè)理解”需要教師切實(shí)地進(jìn)行教學(xué)研究工作，而教育教學(xué)研究的施力點(diǎn)在于系統(tǒng)地理解教材，研讀教材的整體架構(gòu)，知識(shí)間的邏輯關(guān)系、重要細(xì)節(jié)等等，這樣才能接近數(shù)學(xué)的原貌理解數(shù)學(xué)，這樣才能走近學(xué)生，才能把數(shù)學(xué)教學(xué)工作做到實(shí)處.