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        乒乓球軌跡預(yù)判及弧圈球的物理模型研究與仿真

        2022-07-30 12:19:46林金妮張麗穎穆成富
        科技風(fēng) 2022年17期
        關(guān)鍵詞:弧圈球初速度角速度

        林金妮 張麗穎 穆成富

        湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江湖州 313000

        2021年8月18日,歷時(shí)17天的東京奧運(yùn)會(huì)落下帷幕,中國體育代表團(tuán)共收獲88枚獎(jiǎng)牌,其中,中國乒乓球隊(duì)在五個(gè)項(xiàng)目中以4金1銀的好成績收官。

        乒乓球作為國球,技術(shù)一直處于國際領(lǐng)先水平,在我國有非常廣泛的群眾基礎(chǔ)。乒乓球從技術(shù)方面主要可以分為弧圈球、削球、接發(fā)球、搓球等。其中,弧圈球是一種強(qiáng)烈的上旋球,它的特點(diǎn)是既有強(qiáng)大的攻擊力,又有很強(qiáng)的穩(wěn)定性。由于它的旋轉(zhuǎn)力度非常強(qiáng),因此,雖然它是上旋球,卻從傳統(tǒng)的上旋球中分離出來成為單獨(dú)的一類。當(dāng)今的弧圈高手比比皆是,其中我國的馬龍等運(yùn)動(dòng)員,都以拉弧圈球見長。可見,弧圈球幾乎已經(jīng)成為職業(yè)運(yùn)動(dòng)員的一種必備打法。

        1 弧圈球二維軌跡

        對飛行中的弧圈球進(jìn)行受力分析,如圖1所示。

        圖1 乒乓球受力分析示意圖

        乒乓球重力表達(dá)式如下:

        其中ρp為乒乓球的密度,d為乒乓球的直徑。

        空氣給乒乓球的浮力數(shù)值等于乒乓球排開空氣的質(zhì)量:

        其中ρa(bǔ)為空氣密度。

        在運(yùn)動(dòng)過程中,乒乓球受到與運(yùn)動(dòng)方向相反的阻力:

        其中Cd為阻力系數(shù)。

        若乒乓球并非平動(dòng),而有一定的旋轉(zhuǎn)角速度,則乒乓球還將受到馬格努斯力,其大小為:

        其中ω為旋轉(zhuǎn)角速度。

        馬格努斯力的方向可由右手螺旋定則判定,拇指指向旋轉(zhuǎn)軸,食指指向球運(yùn)動(dòng)方向,中指垂直于手面,即為馬格努斯力的方向。

        根據(jù)牛頓第二定律,將乒乓球受到的力沿x軸、y軸分解,列出動(dòng)力學(xué)方程組。不妨設(shè)乒乓球運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角為α。

        將各個(gè)力的表達(dá)式代入后得:

        2 不同角速度對弧圈球軌跡的影響

        當(dāng)一個(gè)旋轉(zhuǎn)物體的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與物體飛行速度矢量不重合時(shí),在與旋轉(zhuǎn)角速度矢量和平動(dòng)速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產(chǎn)生一個(gè)橫向力。在這個(gè)橫向力的作用下物體飛行軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)的現(xiàn)象,稱作馬格努斯效應(yīng),這個(gè)橫向力成為馬格努斯力。

        以上旋球?yàn)槔?,上旋球在飛行期間,上沿氣流與迎面氣流方向相反,流速減慢,下沿氣流和迎面氣流方向相同,其流速加快,根據(jù)伯努利方程,空氣給球一個(gè)向下的馬格努斯力。不同的角速度會(huì)影響馬格努斯力的大小,進(jìn)而影響乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡。

        通過查閱資料,對本文中的一些參數(shù)進(jìn)行合理取值。目前國際乒乓球賽事中專用球的直徑為40mm,質(zhì)量為2.6~2.8g,本文中取質(zhì)量為2.7g進(jìn)行計(jì)算。其中空氣密度為ρa(bǔ)=1.293kg/m3。設(shè)定初值,阻力系數(shù)取Cr=0.44,初速度v=10m/s,α=15°,選取角速度為ω=0、ω=40r/s、ω=80r/s、ω=120r/s進(jìn)行計(jì)算討論。通過軟件Mathematica對動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解,繪制出不同角速度下乒乓球觸臺(tái)前的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖2所示。

        圖2 不同角速度乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡

        由圖2可以看出,初速度相同時(shí),不同的角速度會(huì)使運(yùn)動(dòng)軌跡有明顯的差別。初速度與出射角速度相同,則四種情況下初速度水平分量相同,故落點(diǎn)的遠(yuǎn)近與飛行時(shí)間成正比。從圖中可以看出,當(dāng)乒乓球不旋轉(zhuǎn)時(shí),飛行距離最遠(yuǎn),即飛行時(shí)間最長;為上旋球時(shí),由于受到向下的馬格努斯力飛行時(shí)間縮短,與不轉(zhuǎn)球相比,飛行曲線彎曲度大,弧高要低,落點(diǎn)近;隨著角速度的增加,在馬格努斯力的影響下,乒乓球落點(diǎn)的距離更靠近出發(fā)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)更低,飛行時(shí)間更短。研究表明,運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)機(jī)能與神經(jīng)反應(yīng)有密切的關(guān)系,上旋球的旋轉(zhuǎn)速度越強(qiáng),在空中的飛行時(shí)間就越短,給對手的反應(yīng)時(shí)間就越短,顯然這樣的回球質(zhì)量更高,也更具有威脅力。

        上旋球著臺(tái)時(shí),球給臺(tái)面一個(gè)向后的摩擦力,臺(tái)面給球一個(gè)大小相同、方向向前的摩擦力,從而使球反彈時(shí),與臺(tái)面法線方向夾角增大,前進(jìn)速度加快,這也給對手回球增加了難度,如圖3所示。

        圖3 上旋球落臺(tái)后運(yùn)動(dòng)軌跡

        而在實(shí)戰(zhàn)中,并非角速度越大,回球的質(zhì)量就一定越高。隨著角速度的增加,軌跡最高點(diǎn)會(huì)降低,便有可能出現(xiàn)不過網(wǎng)的情況,那便會(huì)讓對方直接得分。(國際標(biāo)準(zhǔn)的乒乓球桌尺寸為長2.740m,寬1.525m,網(wǎng)高0.1525m。)

        3 不同阻力系數(shù)對弧圈球軌跡的影響

        為探究阻力系數(shù)對弧圈球運(yùn)動(dòng)軌跡的影響,須設(shè)定合適的初值。不妨設(shè)初速度v=10m/s,速度與x軸的夾角α=18°,角速度ω=80r/s,分別取阻力系數(shù)Cr=0.2、0.3、0.4、0.5進(jìn)行討論,繪制出不同阻力系數(shù)下乒乓球觸臺(tái)前的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖4所示。

        圖4 不同阻力系數(shù)乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡

        由圖可知,改變阻力系數(shù)會(huì)對乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡造成一定的影響。其影響主要體現(xiàn)在軌跡的后半段,從原點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡基本重合。在其他條件相同時(shí),阻力系數(shù)較小,乒乓球的落點(diǎn)較遠(yuǎn),反之則較近。

        4 不同初速度對弧圈球軌跡的影響

        運(yùn)動(dòng)員揮拍的速度和力道以及球拍膠面的材質(zhì)等多種因素,都會(huì)影響到乒乓球的初速度。初速度的不同會(huì)影響乒乓球在空中的飛行速度,從而進(jìn)一步影響其飛行軌跡。一方面,空氣阻力使得乒乓球的飛行受阻,前進(jìn)速度越快,空氣阻力越大;另一方面,當(dāng)乒乓球運(yùn)動(dòng)具有一定旋轉(zhuǎn)角速度時(shí),飛行速度越大,其所受到的馬格努斯力越大。由于空氣阻力和馬格努斯力的存在,使得乒乓球飛行速度的大小和方向會(huì)發(fā)生非線性改變,能夠形成不同的落點(diǎn)。因此,初速度的選擇對于乒乓球的飛行軌跡和落點(diǎn)都有著很大影響。

        國家隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的一般球速為10~15m/s,日常打球時(shí)的平均球速可能會(huì)低于10m/s。參考該數(shù)值,設(shè)定初值角速度ω=80r/s,阻力系數(shù)Cr=0.44,速度與x軸的夾角α=15°。選取初速度v=7m/s、v=10m/s、v=13m/s、v=16m/s進(jìn)行計(jì)算討論,繪制出其運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖5所示。

        圖5 不同初速度乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡

        由圖5可以看出,其他條件相同時(shí),不同的初速度會(huì)使乒乓球的飛行軌跡會(huì)有明顯的差別。初速度較大時(shí),乒乓球的落點(diǎn)會(huì)較遠(yuǎn),最高點(diǎn)也會(huì)較高。為上旋球時(shí),由于速度大的乒乓球所受到向下的馬格努斯力較大,使得飛行弧線變低,從圖可以看出乒乓球的飛行并非是拋物線軌跡。在比賽中,運(yùn)動(dòng)員的出球速度越快,留給對手的反應(yīng)時(shí)間就短。顯然,一個(gè)速度較快的弧圈球更具有殺傷力,能夠增大對方回球時(shí)的失誤概率,但是速度過快也會(huì)容易使乒乓球出球臺(tái)而失分。因此,經(jīng)過分析可得,在本文設(shè)置的條件下,v=13m/s和v=16m/s乒乓球會(huì)落在球臺(tái)之外,v=7m/s乒乓球會(huì)下網(wǎng)而無法到達(dá)對方半球臺(tái),在四個(gè)設(shè)定的速度中,v=10m/s為質(zhì)量最高的弧圈球。

        5 不同出球角度對弧圈球軌跡的影響

        上文論述到,乒乓球的角速度和初速度等因素會(huì)對弧圈球的質(zhì)量有較大的影響,還有一個(gè)較為重要的因素是出球角度,它與揮拍方向和拍面角度息息相關(guān),運(yùn)動(dòng)員可以通過日常訓(xùn)練揮拍方向和拍面角度,來控制乒乓球的出球角度。

        設(shè)定初值,角速度ω=80r/s,阻力系數(shù)Cr=0.44,初速度v=10m/s,選取出球角度α=10°、α=14°、α=18°、α=22°進(jìn)行計(jì)算討論,繪制出其運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖6所示。

        圖6 不同出球角度乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡

        由圖可知,其他條件相同時(shí),不同的出球角度會(huì)使其運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)有明顯的差別。出球角度較大時(shí),乒乓球的落點(diǎn)會(huì)較遠(yuǎn),最高點(diǎn)也會(huì)較高。在比賽中,一個(gè)速度較快的弧圈球顯然會(huì)更加有殺傷力,但是這也會(huì)容易使乒乓球出球臺(tái)而失分。在本文設(shè)置的條件下,α=22°乒乓球會(huì)落在球臺(tái)之外,α=10°乒乓球會(huì)下網(wǎng)而無法到達(dá)對方半球臺(tái),α=14°的運(yùn)動(dòng)軌跡中,最高點(diǎn)在0.14m左右,有可能存在擦網(wǎng)而過的運(yùn)氣球,但比較危險(xiǎn),在四個(gè)設(shè)定的速度中,α=18°為質(zhì)量最高的弧圈球。

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