白昊月
(吉林建筑科技學(xué)院,長(zhǎng)春 130000)
反求矩陣問(wèn)題是矩陣相似對(duì)角化的一個(gè)延伸問(wèn)題,教學(xué)過(guò)程中應(yīng)適當(dāng)滲透此方法。
例1:設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為λ1=-7,λ2=λ3=2,該矩陣屬于λ1的特征向量為α1=(1,2,-2)T.求矩陣A。
于是令Q=(η1,η2,η3),Λ=diag(-7,2,2),則Q為正交矩陣,且Q-1AQ=QTAQ=Λ.則有
在線性代數(shù)中,求解方陣的冪是一種特殊的矩陣乘法問(wèn)題,利用矩陣可對(duì)角化的性質(zhì),以比較簡(jiǎn)單明了的方法解決了以下問(wèn)題。
求得兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量分別為
故
除了上述比較常見(jiàn)的兩個(gè)例子之外,還有一些有意義的結(jié)論提出,對(duì)于一個(gè)實(shí)對(duì)稱陣,在正交化的過(guò)程中存在的正交矩陣是不唯一的,那么是否能夠找到與同一個(gè)實(shí)對(duì)稱陣相似的不同對(duì)角陣之間的關(guān)系,或者用另一個(gè)矩陣建立起聯(lián)系?這個(gè)矩陣該如何求解?通過(guò)下述例題來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明。
定理1[1]對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱陣A,若存在正交矩陣P、Q,使得PTAP=Λ、QTAQ=Λ1均為對(duì)角陣,則存在正交陣X,使得XT(QTAQ)X=Λ,那么還存在一個(gè)正交陣設(shè)為R使其建立起聯(lián)系,QX=PR。
R=P-1T=P-1QX=PTQX
定理2[3]若n階方陣有n個(gè)不同的特征值,則該方陣可對(duì)角化。
例4:已知數(shù)列{xn},{yn}滿足xn=xn-1+3yn-1,yn=2xn-1+2yn-1,且y0=2x0=10,求x100,y100。
求解數(shù)列極限可分為兩種情況:具有線性遞推關(guān)系的數(shù)列、可化為具有線性遞推關(guān)系的數(shù)列。通過(guò)例題分別對(duì)兩種情況加以說(shuō)明。
解:將已知條件的遞推關(guān)系組寫為矩陣形式:
方陣的對(duì)角化在解決實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用,在高等數(shù)學(xué)中也具有重要價(jià)值和意義。