王立群，嚴(yán)佳新，盧 欣,石麗偉,張肖利

(1.中國(guó)石油大學(xué)(北京)理學(xué)院，北京 102249；2.中國(guó)政法大學(xué)法治信息管理學(xué)院，北京 102249)

0 引 言

光子晶體又稱光子晶格材料或光子帶隙材料，是一種介電常數(shù)呈周期性變化的人造光學(xué)材料。Yablonovitch[1]和John[2]于1987年分別提出光子晶體的概念，他們認(rèn)為光子晶體的周期性結(jié)構(gòu)特性是可以產(chǎn)生帶結(jié)構(gòu)的，在此之后人們對(duì)光子晶體產(chǎn)生了濃厚的興趣。光子帶隙也稱禁帶，是指由于受到布拉格散射的影響，在某一范圍內(nèi)波不能在任何方向上通過(guò)晶體傳播。禁帶頻率范圍之外的稱為通帶。光子帶隙有許多重要的物理性質(zhì)，例如自發(fā)發(fā)射抑制[1]、穩(wěn)定的孤立波[3-4]和在邊緣附近自發(fā)發(fā)射的非指數(shù)衰減[5-6]等。光子晶體另一個(gè)主要特性是當(dāng)破壞了其周期性介電結(jié)構(gòu)時(shí)，在帶隙頻率區(qū)域可能會(huì)出現(xiàn)局部缺陷模式[7-9]。一般是通過(guò)引入點(diǎn)缺陷或者線缺陷來(lái)破壞其周期性結(jié)構(gòu)。在設(shè)計(jì)點(diǎn)缺陷時(shí)，波將聚集在微米量級(jí)區(qū)域中形成微腔[10]，由于介電常數(shù)不連續(xù)所產(chǎn)生的反射、散射和衍射使得光在很小的區(qū)域中來(lái)回振蕩。當(dāng)設(shè)計(jì)線缺陷時(shí)，會(huì)使之前處于某一禁帶范圍內(nèi)的波開(kāi)始傳播。于是，基于以上光子晶體的局域性特征，衍生出來(lái)很多有價(jià)值的應(yīng)用，比如將線缺陷引入到常規(guī)光子晶體中的光波導(dǎo)。光子帶隙的存在使拐角無(wú)損耗傳播得以實(shí)現(xiàn)，這個(gè)特性對(duì)光學(xué)微電路非常有用[11]。再如，由于光的偏振而通常具有高品質(zhì)因數(shù)并會(huì)顯示出較窄的透射光譜，因此它們可以用作良好的諧振器、偏振器、濾光器、光子晶體光纖[12-13]和光子晶體激光器[14-18]。研究光子晶體缺陷態(tài)問(wèn)題有很多方法，平面波展開(kāi)法[9,19-20]、多重散射法[21]、時(shí)域有限差分法[22-24]等均可以有效處理二維光子晶體缺陷態(tài)問(wèn)題。但是由于平面波展開(kāi)法的收斂性較慢，超晶胞的尺寸通常被限制在一個(gè)較小的值，所以數(shù)值結(jié)果會(huì)受到影響。多重散射法和時(shí)域有限差分法在處理復(fù)雜介質(zhì)形狀時(shí)會(huì)有一定的局限性。PG有限元界面問(wèn)題計(jì)算方法(Petrov-Galerkin finite element interface method， PGFEIM)是一種算法簡(jiǎn)單、拓展性強(qiáng)的界面問(wèn)題求解方法，適用于各類帶有復(fù)雜界面的多物理場(chǎng)問(wèn)題的計(jì)算。因此，將PGFEIM應(yīng)用于求解帶有周期邊界條件的橢圓方程和彈性方程的界面問(wèn)題以及2D聲子晶體問(wèn)題的計(jì)算[25]，并將其拓展到向量有限元形式，解決了含各向異性?shī)A雜物、壓電材料，以及納米壓電材料的聲子晶體問(wèn)題[26]，計(jì)算了各向異性光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)[27]。本文將首次在PGFEIM的研究體系下引入超胞以解決缺陷態(tài)的光子晶體問(wèn)題，包括多組元的缺陷態(tài)問(wèn)題和各向異性光子晶體的缺陷態(tài)問(wèn)題等。

1 問(wèn)題描述

本文中，光在二維光子晶體中傳播的控制方程為時(shí)間諧波麥克斯韋方程組:

(1)

圖1 具有點(diǎn)缺陷的三組元光子晶體3×3超胞示意圖Fig.1 Three-component photonic crystal 3×3 supercell with point defects

(2)

本文假設(shè)μ=1，介電常數(shù)ε是周期性函數(shù)ε(x+a)=ε(x)并滿足

(3)

式中：εr，εi和εb代表每個(gè)組元的介電常數(shù)，a=i1a1+i2a2表示實(shí)空間中的晶格平移向量，(i1,i2)∈2，a1和a2是晶格的基向量。對(duì)于各向同性介質(zhì)而言，ε是標(biāo)量。對(duì)于各向異性介質(zhì)而言，

為了方便表示，假設(shè)介質(zhì)是橫向各向異性，ε13=ε23=ε31=ε32=0。

在二維光子晶體問(wèn)題中，麥克斯韋方程(1)可以被解耦成橫磁波(TM模)和橫電波(TE模)。對(duì)于TM模，電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以分別表示為：E=(0,0,Ez)和H=(Hx,Hy,0)。

然后麥克斯韋方程可以寫成：

(4)

(5)

(6)

將式(4)和(5)代入式(6)中，可以得到TM模的控制方程：

(7)

對(duì)于TE模, 電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為E=(Ex,Ey,0)和H=(0,0,Hz)。因此，麥克斯韋方程(1)可以表示為：

(8)

(9)

(10)

消去式(9)和式(10)中的Ex有：

(11)

同樣地，消去式(9)和式(10)中的Ey有：

(12)

將式(11)和式(12)代入式(8)，得到TE模的控制方程為：

(13)

重新整理式(7)和式(13)為：

ΔEz+κ2βEz=0

(14)

(15)

(16)

由于光子晶體具有周期性的幾何結(jié)構(gòu)，根據(jù)Bloch定理，對(duì)于如圖2所示的超胞和第一布里淵區(qū)，其邊界條件可表示為：

圖2 周期性邊界條件與第一布里淵區(qū)Fig.2 Periodic boundary conditions and the first Brillouin zone

u(xΓ3)=ζu(xΓ1)T(xΓ3)=ζT(xΓ1)
u(xΓ4)=τu(xΓ2)T(xΓ4)=τT(xΓ2)

(17)

2 弱形式

為了有效處理 Bloch邊界條件，在進(jìn)行弱形式推導(dǎo)前先定義測(cè)試函數(shù)空間：

(18)

(19)

式中αi和βi由區(qū)域Ωi上的材料決定。

由Bloch邊界條件(17)和測(cè)試函數(shù)(18)的定義可得：

(20)

綜合以上可得到弱形式：

(21)

3 數(shù)值方法

圖3 方形晶格的網(wǎng)格劃分Fig.3 Square lattice meshing

圖4 三種三角形形態(tài)Fig.4 Three triangle states

為了有效地處理Bloch邊界條件，需要在非貼體網(wǎng)格系統(tǒng)的基礎(chǔ)上創(chuàng)建非貼體投影網(wǎng)格。如圖5所示，將右、上邊界的單元格投影到左、下邊界，以對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為中心組成積分單元。投影后，無(wú)邊界點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)之分，極大地簡(jiǎn)化了Bloch 邊界條件的處理過(guò)程，降低了計(jì)算的難度，減少了計(jì)算的時(shí)間。

圖5 方形晶格的投影網(wǎng)格Fig.5 Projection grid of square lattice

由于數(shù)值離散的需要，建立以下兩個(gè)離散空間：

H1,h={ψh=(ψ(xjl)):0≤j≤Js,0≤l≤Ls}

(22)

(23)

式中，ψ(xjl)代表ψ(x)在x=xjl處的值。同理，ψ(xv)是ψ(x)在x=xv處的值。

由以上定義可得以下定理：

定理對(duì)于所有的uh∈H1,h，給定Th和φl(shuí)，Uh(uh)可以唯一確定。

證明：參見(jiàn)文獻(xiàn)[25]。

為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，定義

(24)

式中，αL和βL代表L所在區(qū)域的材料參數(shù)，可得PGFEIM的數(shù)值離散形式：

方法 確定κ2∈及uh∈H1,h，所以對(duì)于所有有：

(25)

所有系數(shù)可以組裝到矩陣中，于是有矩陣形式：

AU=κ2BU

(26)

式中:U為數(shù)值解，取值波矢向量k便可求出對(duì)應(yīng)的κ。

4 數(shù)值算例與分析

本節(jié)將采用PGFEIM進(jìn)行光子晶體缺陷態(tài)的數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析。通過(guò)研究不同組元體系、不同介質(zhì)柱形狀以及不同缺陷位置的光子晶體，揭示影響能帶結(jié)構(gòu)變化的因素。

4.1 二組元數(shù)值算例與分析

為了驗(yàn)證算法的有效性，本文將與參考文獻(xiàn)[28]中的結(jié)果進(jìn)行比較，同時(shí)通過(guò)變換不同的缺陷位置，觀察不同的缺陷態(tài)結(jié)構(gòu)對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響。在二組元算例中考慮的是各向同性的介質(zhì)，折射率n2=3.4，介質(zhì)柱半徑r=0.3，背景材料的折射率n1=1，晶格常數(shù)α為1。填充率與文獻(xiàn)[28]中相同。

圖6展示的是無(wú)缺陷TM模與TE模的數(shù)值結(jié)果。TM模里有兩條很寬的禁帶，范圍分別是0.237 3～0.309 1及0.426 8～0.532 6，而TE模中并無(wú)禁帶產(chǎn)生。

圖6 完美超胞的能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Band structure diagram of a perfect supercell

圖7展示的是點(diǎn)缺陷的數(shù)值結(jié)果。圖7(a)展示的是超胞的幾何結(jié)構(gòu)，圖7(b)和圖7(c)分別展示了TM模和TE模的數(shù)值結(jié)果。在圖7(b)中，(1)為一個(gè)點(diǎn)缺陷所形成的能帶結(jié)構(gòu)，原本的禁帶范圍內(nèi)產(chǎn)生了一條缺陷帶。也就是說(shuō)，通過(guò)引入一個(gè)缺陷破壞了晶體的周期性結(jié)構(gòu)，使得在頻率0.474 4～0.477 1內(nèi)產(chǎn)生允帶。(2)是使兩個(gè)相鄰的散射體消失，第一禁帶產(chǎn)生一條頻率范圍是0.294 6～0.300 6的缺陷帶，第二禁帶產(chǎn)生了兩條缺陷帶。(3)中第一禁帶的缺陷帶消失了，第二禁帶的兩條缺陷帶逐漸靠近。(4)中缺陷帶寬度為0.007 5和0.007 2，相較于(3)中的0.004 2和0.000 2明顯變寬。而對(duì)于TE模來(lái)說(shuō)，引入點(diǎn)缺陷增加了一些比較窄的禁帶。

圖7 點(diǎn)缺陷與多個(gè)點(diǎn)缺陷耦合的能帶結(jié)構(gòu)Fig.7 Band structures with point defects and coupling of multiple point defects

如圖8所示，(1)為通過(guò)移除最中間一列的散射體得到的線缺陷，TM模中可以明顯看出第二禁帶消失以及相應(yīng)地第一禁帶也變窄，線缺陷使得在原本禁止頻率范圍內(nèi)的光波可以繼續(xù)沿著該頻率段傳播，這也就是光波導(dǎo)。(2)是在完美線缺陷中耦合一個(gè)微腔，可以看到禁帶范圍變大，并且打開(kāi)了幾條窄帶。(3)中進(jìn)一步增加了點(diǎn)缺陷數(shù)量，不僅有一條完整線缺陷，還另外移除了8個(gè)散射體，所以其帶隙變化較大。(4)與(2)的不同之處在于點(diǎn)缺陷靠近線缺陷，產(chǎn)生了多條禁帶，這可能是點(diǎn)缺陷與線缺陷同時(shí)產(chǎn)生作用的結(jié)果。

圖8 線缺陷與點(diǎn)線耦合缺陷的能帶結(jié)構(gòu)Fig.8 Band structure of line defects and point coupled with line defects

通過(guò)以上對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，引入點(diǎn)缺陷只是局限的使得某一小范圍內(nèi)的波繼續(xù)傳播，產(chǎn)生一條缺陷帶，或者耦合多個(gè)點(diǎn)缺陷使得一些特定范圍內(nèi)的波可以傳播；而線缺陷所產(chǎn)生的影響較大，可以使得整個(gè)禁帶消失。當(dāng)線缺陷與點(diǎn)缺陷結(jié)合起來(lái)，波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的側(cè)點(diǎn)缺陷可以有效地用于光子晶體的阻帶內(nèi)誘導(dǎo)窄通帶或在波導(dǎo)的通帶內(nèi)誘導(dǎo)非常窄的阻帶。

4.2 三組元數(shù)值算例與分析

本小節(jié)將使用 PGFEIM 算法計(jì)算光子晶體缺陷態(tài)問(wèn)題下的三組元結(jié)構(gòu)，同時(shí)引入不均勻介質(zhì)，例如液晶 (liquid crystal， LC)和碲 (tellurium， Te)。一般 LC 有兩種折射率，正常折射率和異常折射率。介電張量的分量如下[27,29]：

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

圖9 LC的θc、φc和nc的定義Fig.9 Definition of θc, φc and nc for LC

下面考慮復(fù)雜介質(zhì)形狀，并且觀察直線型、n型和v型缺陷的能帶結(jié)構(gòu)差異。如圖10所示，介質(zhì)形狀分別為：(1)三角形 Te 包裹圓形 LC 介質(zhì)置于空氣中；(2)圓形 Te 包裹三角形LC介質(zhì)置于空氣中；(3)四角星 Te 包裹圓形 LC 介質(zhì)置于空氣中；(4)圓形 Te 包裹四角星 LC 介質(zhì)置于空氣中。

圖10 三組元光子晶體的幾種復(fù)雜缺陷情形Fig.10 Several complex defect situations of three-component photonic crystal

在圖11中，直線型缺陷態(tài) TM 模中基本都有兩條相對(duì)較寬的禁帶，(3)中第二禁帶較窄且高頻區(qū)域出現(xiàn)了一些窄帶，而 TE 模只有一些窄帶；v型缺陷態(tài) TM 模中(3)出現(xiàn)了三條較寬的禁帶且 TE 模在四種形狀介質(zhì)中均產(chǎn)生了多條禁帶。以(2)和(4)的結(jié)果來(lái)看，Ω3區(qū)域的介質(zhì)形狀對(duì)結(jié)果影響比較有限。以(1)和(3)的結(jié)果來(lái)看，表面層越是不光滑第二禁帶越窄?？v向來(lái)看，n型缺陷態(tài) TM 模中的高頻區(qū)域更容易產(chǎn)生禁帶，且對(duì)于TE 模來(lái)說(shuō)n型與v型的缺陷態(tài)更容易產(chǎn)生禁帶。

圖11 三組元復(fù)雜缺陷態(tài)的能帶結(jié)構(gòu)圖。(1)～(4)列分別與圖10中(1)～(4)的散射體形狀對(duì)應(yīng)。由上至下1～3行分別對(duì)應(yīng)圖10中(a)～(c)三種缺陷態(tài)Fig.11 Band structure of three-component photonic crystals with complex defect states. Columns (1)～(4) correspond to the scatterer shapes (1)～(4) in Fig. 10, respectively. Lines 1～3 from top to bottom correspond to defects (a)～(c) in Fig. 10, respectively

5 結(jié) 論

本文將單胞拓展為超胞，使用 PGFEIM 算法來(lái)計(jì)算二維光子晶體缺陷態(tài)問(wèn)題?？紤]了 TM 模與 TE模，在二組元情況中考察了多種點(diǎn)缺陷與線缺陷結(jié)合的能帶結(jié)構(gòu)，為光波調(diào)制及濾波器的制作等應(yīng)用提供了更多方法與方向，對(duì)于三組元的研究更加拓展了光學(xué)器件制作的思路。由本文研究結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，PGFEIM 算法在研究多組元問(wèn)題上十分有效，為進(jìn)一步的光子晶體計(jì)算研究打下了基礎(chǔ)。