魏巧鶴，丁 銳

（東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024）

指向?qū)W科核心素養(yǎng)的大單元設(shè)計(jì)是學(xué)科教育落實(shí)立德樹人、發(fā)展素質(zhì)教育、深化課程改革的必然要求，也是學(xué)科核心素養(yǎng)落地的關(guān)鍵路徑［1］?！霸鯓咏M織單元是創(chuàng)造課程的中心問題”［2］，也是大單元設(shè)計(jì)必須思考的核心問題?，F(xiàn)有的單元組織存在邏輯和心理兩種取向［3］，前者強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識(shí)的邏輯序列，后者重視學(xué)生思維活動(dòng)的生成過程。二者不是對(duì)立沖突的，正如杜威（Dewey）所言：“進(jìn)入兒童的現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)里的事實(shí)和真理，與包含在各門學(xué)科里的事實(shí)和真理，是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的起點(diǎn)和終點(diǎn)”［4］。換言之，在大單元設(shè)計(jì)中，邏輯取向下的學(xué)科知識(shí)是終點(diǎn)，起點(diǎn)是學(xué)生心理化的經(jīng)驗(yàn)，從起點(diǎn)到終點(diǎn)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過程。

學(xué)習(xí)進(jìn)階（Learning Progressions，LPs）刻畫了學(xué)生對(duì)于某一大概念的認(rèn)知逐漸進(jìn)階的過程，它可能來自于文獻(xiàn)分析、測(cè)驗(yàn)、建構(gòu)主義教學(xué)實(shí)驗(yàn)等［5］。近年來，學(xué)習(xí)進(jìn)階逐漸擺脫了測(cè)評(píng)驗(yàn)證的束縛，成為課程科學(xué)規(guī)劃的支架和教學(xué)系統(tǒng)改進(jìn)的扶手［6］。然而，目前少有研究基于學(xué)習(xí)進(jìn)階構(gòu)建適合多學(xué)科、跨年級(jí)的縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)模型，盡管有一些研究說是基于學(xué)習(xí)進(jìn)階，但學(xué)習(xí)進(jìn)階并沒有被貫穿教學(xué)設(shè)計(jì)的始終，單元內(nèi)容的選擇與安排只是來自教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，且處于教學(xué)案例的描述層面，沒有深入的研究。

一、何為基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)

大單元教學(xué)設(shè)計(jì)于高處站位，從低處著眼，突出特點(diǎn)是“大”。首先，大單元教學(xué)設(shè)計(jì)以培育學(xué)科核心素養(yǎng)為大目標(biāo)，整個(gè)單元的教學(xué)圍繞如何達(dá)成這一目標(biāo)展開［7］。其次，大單元教學(xué)設(shè)計(jì)以大概念為核心，大概念又被稱為核心概念，它錨定了學(xué)科內(nèi)容的基本框架，使學(xué)科核心素養(yǎng)清晰嵌入教學(xué)之中［8］。然后，大單元教學(xué)設(shè)計(jì)以大單元統(tǒng)領(lǐng)，由多個(gè)連續(xù)性的小單元組成，每個(gè)小單元分為多個(gè)連續(xù)性的課時(shí)。最后，大單元教學(xué)設(shè)計(jì)提倡大任務(wù)。作為大單元教學(xué)的主線，其由多個(gè)小任務(wù)串聯(lián)而成。縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)則指向?qū)W生對(duì)大概念的深度學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)大單元內(nèi)部小單元的組織超越年級(jí)的限制，由淺入深，由易到難，縱深銜接。

基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)以“進(jìn)階”思想為理論指引，將學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究成果轉(zhuǎn)化為教學(xué)設(shè)計(jì)的腳本依據(jù)，其本質(zhì)特點(diǎn)是遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過程。具體來說，它跨年級(jí)系統(tǒng)規(guī)劃大單元學(xué)習(xí)主題、大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)、大單元學(xué)習(xí)活動(dòng)和大單元學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等結(jié)構(gòu)要素，以大概念為核心，以體現(xiàn)真實(shí)性、綜合性問題的大任務(wù)為主線，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展為驅(qū)動(dòng)，將教材中的知識(shí)邏輯轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展邏輯，學(xué)生沿著認(rèn)知發(fā)展的“階”對(duì)大概念本質(zhì)的理解逐漸深化和精致，其目的不僅是習(xí)得某種知識(shí)技能，而是在解決問題的過程中發(fā)展高階認(rèn)知能力，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

二、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)之模型構(gòu)建

傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)教師的教導(dǎo)思路，關(guān)注教什么和怎么教，而逆向教學(xué)設(shè)計(jì)則遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的思路，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)需求，是指向?qū)W科核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)［9］。逆向教學(xué)設(shè)計(jì)分為三個(gè)階段：首先，確定學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，即預(yù)期目標(biāo)；然后，將預(yù)期目標(biāo)可視化，尋找證明學(xué)生達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)的評(píng)估證據(jù)；最后，設(shè)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)評(píng)估證據(jù)、達(dá)到預(yù)期目標(biāo)的學(xué)習(xí)活動(dòng)［10］。

基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)可以使用逆向教學(xué)設(shè)計(jì)的思路。教學(xué)設(shè)計(jì)模型如圖1 所示。具體步驟如下：

圖1 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)模型

（一）基于進(jìn)階概念的貫通性，選擇縱向大單元學(xué)習(xí)主題

縱向大單元學(xué)習(xí)主題規(guī)定了大單元學(xué)習(xí)的目標(biāo)和范圍，凸顯縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。與縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)一樣，學(xué)習(xí)進(jìn)階也以大概念為核心，大概念是基于事實(shí)抽象出來的深層次、可遷移的概念［11］，位于學(xué)科中心位置，提供了歸檔無限小概念的有序結(jié)構(gòu)或合理框架［12］。學(xué)習(xí)進(jìn)階的大概念不僅貫穿全程，而且作為一個(gè)錨點(diǎn)，依據(jù)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的方向和過程，貫通連接下位的小概念，學(xué)生從低認(rèn)知水平逐漸進(jìn)階到高認(rèn)知水平，對(duì)大概念本質(zhì)的理解逐漸深刻，并建立起系統(tǒng)的概念網(wǎng)。因此，在選擇縱向大單元學(xué)習(xí)主題時(shí)，教師可直接使用學(xué)習(xí)進(jìn)階的大概念。教師可以這些大概念為學(xué)習(xí)主題，而不必在提取和選擇縱向大單元學(xué)習(xí)主題方面花費(fèi)太多時(shí)間和精力。

（二）基于進(jìn)階水平的適切性，確定縱向大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

縱向大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)是對(duì)學(xué)生“應(yīng)該學(xué)會(huì)什么”的規(guī)定，引領(lǐng)縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的總體方向。其依據(jù)是學(xué)生的進(jìn)階水平，即學(xué)生對(duì)大概念核心本質(zhì)的認(rèn)知發(fā)展程度，由進(jìn)階起點(diǎn)和進(jìn)階終點(diǎn)共同確定。進(jìn)階起點(diǎn)影響學(xué)生可能到達(dá)的終點(diǎn)位置，不僅僅指學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，更是指學(xué)生認(rèn)知的進(jìn)階起點(diǎn)，也就是學(xué)生學(xué)習(xí)這一大概念之前的認(rèn)知根基，既包括大概念內(nèi)的進(jìn)階起點(diǎn)（即關(guān)于這一大概念已有的認(rèn)知基礎(chǔ)），也包括大概念間的進(jìn)階起點(diǎn)（即已掌握的其他大概念與這一大概念的認(rèn)知聯(lián)結(jié)），教師可以通過前測(cè)、作業(yè)批改、訪談學(xué)生等了解學(xué)生認(rèn)知的進(jìn)階起點(diǎn)。進(jìn)階終點(diǎn)則指學(xué)生認(rèn)知的進(jìn)階終點(diǎn)，它是學(xué)生學(xué)習(xí)這一大概念之后可能達(dá)到的最高認(rèn)知錨點(diǎn)，包括關(guān)于這一大概念的認(rèn)知終點(diǎn)，以及有助于學(xué)習(xí)其他大概念的認(rèn)知聯(lián)結(jié)?？傊v向大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)基于學(xué)生的進(jìn)階水平，從宏觀層面呈現(xiàn)預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果。

（三）基于進(jìn)階表現(xiàn)的描述性，進(jìn)行縱向大單元學(xué)習(xí)評(píng)估

縱向大單元學(xué)習(xí)評(píng)估是“證明學(xué)生達(dá)到縱向大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)”的證據(jù)，指導(dǎo)縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。學(xué)生對(duì)某一大概念的認(rèn)知需經(jīng)歷由淺入深、由易到難的多個(gè)進(jìn)階層級(jí)，從前一層級(jí)進(jìn)階到后一層級(jí)，相應(yīng)的進(jìn)階表現(xiàn)隨之變化。綜合學(xué)生在各層級(jí)的進(jìn)階表現(xiàn)，進(jìn)行縱向大單元學(xué)習(xí)評(píng)估，尋找證明學(xué)生達(dá)到縱向大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的證據(jù)?？v向大單元學(xué)習(xí)評(píng)估包括學(xué)習(xí)表現(xiàn)和診斷性評(píng)估：前者簡(jiǎn)要描述了學(xué)生達(dá)到縱向大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的預(yù)期表現(xiàn)，主要根據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階模型中的進(jìn)階表現(xiàn)來確定，是選擇大任務(wù)、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的主要依據(jù)：后者以小測(cè)驗(yàn)、簡(jiǎn)答題、技能測(cè)試為主，由真實(shí)性、挑戰(zhàn)性的問題解決構(gòu)成，需要教師根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和相應(yīng)的進(jìn)階表現(xiàn)自主設(shè)計(jì)，用以判斷學(xué)生的進(jìn)階起點(diǎn)以及是否達(dá)到縱向大單元學(xué)習(xí)的進(jìn)階終點(diǎn)。可以說，縱向大單元學(xué)習(xí)評(píng)估既緊扣學(xué)習(xí)目標(biāo)，又嵌入學(xué)習(xí)活動(dòng)中，是診斷和驅(qū)動(dòng)教學(xué)以達(dá)到預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)的工具。

（四）基于進(jìn)階層級(jí)轉(zhuǎn)換的挑戰(zhàn)性，組織縱向大單元學(xué)習(xí)活動(dòng)

縱向大單元學(xué)習(xí)活動(dòng)是對(duì)學(xué)生“如何才能學(xué)會(huì)”的規(guī)劃，是縱向大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的生成載體，是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的具體抓手［13］。每個(gè)進(jìn)階層級(jí)對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求反映出該層級(jí)的進(jìn)階難度，層級(jí)間進(jìn)階難度的跨越性則反映出層級(jí)轉(zhuǎn)換的挑戰(zhàn)性如何。有些層級(jí)對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求相當(dāng)，層級(jí)之間進(jìn)階難度的跨越性較小，故層級(jí)轉(zhuǎn)換較為簡(jiǎn)單。而有些層級(jí)對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求差異較大，層級(jí)之間進(jìn)階難度的跨越性較大，故層級(jí)轉(zhuǎn)換有一定的挑戰(zhàn)性?？v向大單元學(xué)習(xí)活動(dòng)以進(jìn)階層級(jí)轉(zhuǎn)換的挑戰(zhàn)性為依據(jù)、以大概念的本質(zhì)理解為核心劃分為多個(gè)螺旋上升的子單元。子單元內(nèi)部通常包括多個(gè)進(jìn)階難度相當(dāng)?shù)倪M(jìn)階層級(jí)，子單元間進(jìn)階難度的跨越性較大。各子單元既相互獨(dú)立，又有機(jī)聯(lián)系，相互獨(dú)立強(qiáng)調(diào)子單元間進(jìn)階層級(jí)的轉(zhuǎn)換存在一定挑戰(zhàn)性，有機(jī)聯(lián)系強(qiáng)調(diào)前一子單元是后一子單元的認(rèn)知基礎(chǔ)，后一子單元是前一子單元的認(rèn)知超越。每個(gè)子單元以及子單元內(nèi)的每節(jié)課也采取逆向教學(xué)設(shè)計(jì)（如圖1）。

（五）全景視角、動(dòng)態(tài)觀念、多方評(píng)價(jià)保障縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)順利實(shí)施

盡管上述模型較為清晰地刻畫了基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的具體路徑，但是對(duì)于教師而言，這仍舊是一項(xiàng)充滿挑戰(zhàn)的任務(wù)，有必要輔之保障措施保證其順利實(shí)施。第一，教師需建立全景視角，在整體把握學(xué)生關(guān)于某一大概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的基礎(chǔ)上，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。第二，教師要樹立動(dòng)態(tài)觀念。在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生的反饋，及時(shí)判斷是否需要調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)，比如可能需要回到前一個(gè)層級(jí)，或者可以適當(dāng)加快教學(xué)進(jìn)度。第三，教師自評(píng)縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)是否具有高度站位，各結(jié)構(gòu)要素的價(jià)值性、可行性以及相互之間的契合性如何。另外，為學(xué)生提供評(píng)價(jià)量表，讓學(xué)生判斷教學(xué)設(shè)計(jì)能否吸引自己的學(xué)習(xí)興趣，是否滿足自己的學(xué)習(xí)需求。

三、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)之案例開發(fā)

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)具有多重意義的核心概念，基倫（Kieren）認(rèn)為分?jǐn)?shù)有五種意義：部分—整體、商、度量、運(yùn)算和比［14］。另外，分?jǐn)?shù)也是學(xué)生經(jīng)歷的第一次數(shù)系擴(kuò)展，是學(xué)生數(shù)概念發(fā)展的重要階段。分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，可以理解為對(duì)分?jǐn)?shù)單位的度量［15］。然而，小學(xué)數(shù)學(xué)教材多是通過對(duì)一個(gè)物體平均分引入分?jǐn)?shù)，使教師在教學(xué)中往往過于強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的部分—整體意義，忽視了分?jǐn)?shù)其實(shí)是一個(gè)新的數(shù)，與數(shù)系擴(kuò)張的本質(zhì)相脫節(jié)［16］，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)出現(xiàn)很多困難，如無法突破部分大于整體的思維定勢(shì)，以為1/5大于1/3，很難理解假分?jǐn)?shù)等。因此，從分?jǐn)?shù)的度量意義出發(fā)，基于分?jǐn)?shù)的本質(zhì)開發(fā)縱向大單元教學(xué)設(shè)計(jì)是非常必要的。

分?jǐn)?shù)圖式是學(xué)生頭腦中逐漸發(fā)展的分?jǐn)?shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問題時(shí)語言和行為背后所蘊(yùn)含的分?jǐn)?shù)推理過程［17］。孫文娟利用Rasch 模型對(duì)分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階模型進(jìn)行了跨文化驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)我國小學(xué)生分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階模型如表1所示［18］。

表1 我國小學(xué)生分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階模型

（一）分?jǐn)?shù)大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的進(jìn)階起點(diǎn)包括認(rèn)知準(zhǔn)備和操作準(zhǔn)備。認(rèn)知準(zhǔn)備指學(xué)生的數(shù)序水平達(dá)到綜合數(shù)序階段（Generalized Number Sequence，GNS），即能夠理解積與乘數(shù)和被乘數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，可以協(xié)同多個(gè)水平的復(fù)合單位［19］，在此基礎(chǔ)上學(xué)生才能理解單位分?jǐn)?shù)與整體、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的倍數(shù)關(guān)系；操作準(zhǔn)備指學(xué)生可以在頭腦中對(duì)復(fù)合單位進(jìn)行計(jì)數(shù)（counting），因此，學(xué)生可以像數(shù)整數(shù)一樣一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)單位分?jǐn)?shù)，這為學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)式等更為抽象和復(fù)雜的復(fù)合單位做準(zhǔn)備。進(jìn)階終點(diǎn)不僅是達(dá)到分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階模型中的層級(jí)八，也包括為理解數(shù)系的再次擴(kuò)展做準(zhǔn)備。

綜合上述分析，確定分?jǐn)?shù)大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)為：（1）學(xué)生可以比較分?jǐn)?shù)的大小，能進(jìn)行分?jǐn)?shù)加減乘除運(yùn)算，解決與分?jǐn)?shù)相關(guān)的實(shí)際問題；（2）學(xué)生可以在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)行歸納和類比，發(fā)展推理能力；（3）學(xué)生可以充分理解分?jǐn)?shù)的度量意義，并在此基礎(chǔ)上理解分?jǐn)?shù)的運(yùn)算意義和商的意義；（4）學(xué)生能夠理解分?jǐn)?shù)也是數(shù)，為理解數(shù)系的再一次擴(kuò)展奠定基礎(chǔ)。

（二）分?jǐn)?shù)大單元學(xué)習(xí)評(píng)估

基于表1 的進(jìn)階表現(xiàn)，確定分?jǐn)?shù)大單元學(xué)習(xí)評(píng)估為：1.學(xué)習(xí)表現(xiàn)。（1）學(xué)生能夠通過均分、迭代等操作理解單位分?jǐn)?shù)與整體、非單位分?jǐn)?shù)（真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)）之間的關(guān)系；（2）學(xué)生能夠使用遞歸均分等操作理解分?jǐn)?shù)乘法的意義；（3）學(xué)生能夠通過分配均分等操作理解分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系。2.診斷性評(píng)估。（1）分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)前測(cè)；（2）分?jǐn)?shù)大小比較測(cè)驗(yàn)；（3）分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階的診斷測(cè)驗(yàn)。

由于分?jǐn)?shù)大單元學(xué)習(xí)評(píng)估是對(duì)學(xué)生是否達(dá)到分?jǐn)?shù)大單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的整體判斷，因此相對(duì)簡(jiǎn)潔，各子單元內(nèi)部的學(xué)習(xí)評(píng)估更具體。為開展適應(yīng)學(xué)生水平的教學(xué)，在正式教學(xué)前需要診斷學(xué)生分?jǐn)?shù)的前概念，然后，在教學(xué)過程中通過分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階的測(cè)試隨時(shí)診斷學(xué)生是否達(dá)到某個(gè)進(jìn)階水平，以判斷是否可以開展后續(xù)教學(xué)。

（三）分?jǐn)?shù)大單元學(xué)習(xí)活動(dòng)

由表1可知，層級(jí)一到層級(jí)四，學(xué)生主要使用迭代或均分這兩種最基本的認(rèn)知操作方式，迭代是指連續(xù)地復(fù)制和粘貼一個(gè)量，均分是指把一個(gè)整體平均分成幾份。層級(jí)五到層級(jí)七，學(xué)生要掌握一個(gè)混合的認(rèn)知操作方式—遞歸均分，即對(duì)單位分?jǐn)?shù)再次均分，并建立遞歸均分的結(jié)果與整體之間的關(guān)系。層級(jí)八，學(xué)生需要掌握分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中最高級(jí)的認(rèn)知操作方式—分配均分，將給定數(shù)量的整體進(jìn)行均分并重新組合均分的結(jié)果［20］。

從單一的認(rèn)知操作方式到混合的認(rèn)知操作方式再到一種全新的認(rèn)知操作方式，體現(xiàn)了進(jìn)階難度的兩次跨越、進(jìn)階層級(jí)的兩次轉(zhuǎn)換。因此，將分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)活動(dòng)分為三個(gè)逐漸進(jìn)階的子單元（如圖2）。子單元一通過重復(fù)或分割活動(dòng)進(jìn)行迭代或均分操作，幫助學(xué)生從層級(jí)一進(jìn)階到層級(jí)四；子單元二通過對(duì)分割結(jié)果的再次分割和重復(fù)活動(dòng)進(jìn)行遞歸均分和迭代操作，幫助學(xué)生從層級(jí)五進(jìn)階到層級(jí)七；子單元三通過分割離散量和重復(fù)活動(dòng)進(jìn)行分配均分操作，幫助學(xué)生掌握層級(jí)八。

圖2 分?jǐn)?shù)大單元學(xué)習(xí)活動(dòng)中子單元的劃分

分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階模型基于分?jǐn)?shù)的度量意義，并在此基礎(chǔ)上，依次引入分?jǐn)?shù)的運(yùn)算意義和商的意義。因此，將各子單元的學(xué)習(xí)主題依次定為：理解分?jǐn)?shù)的度量意義、理解分?jǐn)?shù)的運(yùn)算意義、理解分?jǐn)?shù)商的意義，各子單元的教學(xué)設(shè)計(jì)如下。

子單元一 理解分?jǐn)?shù)的度量意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）學(xué)生可以比較單位分?jǐn)?shù)與整體、單位分?jǐn)?shù)與單位分?jǐn)?shù)的大小，能進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)加減以及分?jǐn)?shù)乘整數(shù)運(yùn)算，解決相關(guān)實(shí)際問題；（2）學(xué)生可以在活動(dòng)中歸納出單位分?jǐn)?shù)與整體之間的倍數(shù)關(guān)系，并通過類比，理解單位分?jǐn)?shù)與非單位分?jǐn)?shù)（真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)）的關(guān)系，發(fā)展推理能力；（3）學(xué)生可以初步理解分?jǐn)?shù)的度量意義【學(xué)習(xí)評(píng)估】學(xué)習(xí)表現(xiàn)：學(xué)生可以通過均分、迭代操作理解單位分?jǐn)?shù)與整體、單位分?jǐn)?shù)與非單位分?jǐn)?shù)（真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)）的關(guān)系診斷性評(píng)估：（1）分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)前測(cè)；（2）分?jǐn)?shù)大小比較測(cè)驗(yàn)；（3）分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階的診斷測(cè)驗(yàn)（層級(jí)一至層級(jí)四）?！緦W(xué)習(xí)活動(dòng)】以“均分薯?xiàng)l游戲”展開[21]，借助紙條進(jìn)行操作，設(shè)計(jì)如下4個(gè)問題：?jiǎn)栴}1：把1根薯?xiàng)l平均分給3個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)分到多少薯?xiàng)l？問題2：把1 根薯?xiàng)l平均分給7 個(gè)同學(xué)，其中4 個(gè)同學(xué)一共可以分到多少薯?xiàng)l？問題3：已知一根薯?xiàng)l的3/7，請(qǐng)畫出整根薯?xiàng)l問題4：每個(gè)同學(xué)可以得到1根薯?xiàng)l的1/7，8個(gè)同學(xué)可以得到多少薯?xiàng)l？

子單元二 理解分?jǐn)?shù)的運(yùn)算意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）學(xué)生可以對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分、化簡(jiǎn)，能進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)相加減和分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)運(yùn)算，解決相關(guān)實(shí)際問題；（2）學(xué)生可以在活動(dòng)中類比已有的均分操作經(jīng)驗(yàn)，歸納出遞歸均分是對(duì)單位分?jǐn)?shù)的再次均分，發(fā)展推理能力；（3）學(xué)生可以進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的度量意義，并理解分?jǐn)?shù)的運(yùn)算意義【學(xué)習(xí)評(píng)估】學(xué)習(xí)表現(xiàn)：學(xué)生可以通過遞歸均分和迭代操作理解分?jǐn)?shù)乘法的意義診斷性評(píng)估：（1）分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)前測(cè)；（2）分?jǐn)?shù)圖式學(xué)習(xí)進(jìn)階的診斷測(cè)驗(yàn)（層級(jí)五至層級(jí)七）【學(xué)習(xí)活動(dòng)】以“均分彩帶”活動(dòng)為例展開[22]，使用Fraction Bars 分?jǐn)?shù)教學(xué)軟件進(jìn)行操作，設(shè)計(jì)如下3個(gè)問題：?jiǎn)栴}1：淘氣有一條完整彩帶的1/5，他將自己彩帶的1/7分給丁丁，丁丁會(huì)得到整條彩帶的幾分之幾？問題2：淘氣有一條完整彩帶的1/5，他把自己的彩帶的3/7分給丁丁，丁丁會(huì)得到整條彩帶的幾分之幾？問題3：淘氣有一條完整彩帶的2/5，他把自己彩帶的3/7分給丁丁，丁丁會(huì)得到整條彩帶的幾分之幾？

子單元三 理解分?jǐn)?shù)商的意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）學(xué)生能進(jìn)行分?jǐn)?shù)被整數(shù)等分除的運(yùn)算，解決相關(guān)實(shí)際問題；（2）學(xué)生可以類比已有的遞歸均分操作經(jīng)驗(yàn)，歸納出分配均分需要在均分的同時(shí)考慮分配的數(shù)量，進(jìn)一步發(fā)展推理能力；（3）學(xué)生可以深入理解分?jǐn)?shù)的度量意義，并理解分?jǐn)?shù)商的意義

?

需要說明的是：

第一，學(xué)生對(duì)下一單元的學(xué)習(xí)建立在掌握上一單元的基礎(chǔ)上。比如在開始子單元二的教學(xué)前，需要以分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)前測(cè)了解學(xué)生的進(jìn)階起點(diǎn)，即通過診斷性評(píng)估（同分母分?jǐn)?shù)相加減和分?jǐn)?shù)乘整數(shù)測(cè)驗(yàn)）判斷學(xué)生是否已經(jīng)達(dá)到層級(jí)四——迭代分?jǐn)?shù)圖式。

第二，每個(gè)子單元的問題都通過一系列活動(dòng)展開，包括銜接活動(dòng)、操作活動(dòng)、內(nèi)化活動(dòng)、鞏固活動(dòng)和變式活動(dòng)。因此，在實(shí)際教學(xué)中，每個(gè)問題至少需要一個(gè)課時(shí)才能解決。如在子單元二中，問題1的銜接活動(dòng)是把一條完整的彩帶平均分給5個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友可以得到多長(zhǎng)的彩帶，以此喚醒學(xué)生頭腦中已有的均分操作經(jīng)驗(yàn)。操作活動(dòng)是淘氣有一條完整彩帶的1/5，他將自己彩帶的1/7分給丁丁，請(qǐng)問丁丁得到整條彩帶的幾分之幾，學(xué)生通過分?jǐn)?shù)教學(xué)軟件對(duì)單位分?jǐn)?shù)均分，在這個(gè)操作過程中，有兩次整體的轉(zhuǎn)換（遞歸分?jǐn)?shù)圖示略）：首先是類比已有的均分操作經(jīng)驗(yàn)，將1/5作為整體均分得到它的1/7，然后是建立得到的1/7 和原整體的關(guān)系，最終引導(dǎo)學(xué)生歸納出遞歸均分操作是將單位分?jǐn)?shù)再次均分得到一個(gè)新的單位分?jǐn)?shù)，建立新單位分?jǐn)?shù)與整體的倍數(shù)關(guān)系。鞏固活動(dòng)是淘氣有一條完整彩帶的1/3，他將自己彩帶的1/6 分給丁丁，請(qǐng)問丁丁得到整條彩帶的幾分之幾，強(qiáng)化遞歸均分操作。變式活動(dòng)是淘氣和笑笑都有一條完整彩帶的1/3，淘氣將自己彩帶的1/6分給丁丁，請(qǐng)問丁丁和笑笑一共有整條彩帶的幾分之幾，目的是幫助學(xué)生通過遞歸均分的操作理解等值分?jǐn)?shù)，從而能夠進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加減的運(yùn)算。

第三，三個(gè)子單元的教學(xué)不需要連續(xù)上完，子單元一可在三年級(jí)進(jìn)行，方便與乘法的學(xué)習(xí)建立聯(lián)系；子單元二需要學(xué)生有倍數(shù)和公倍數(shù)的相關(guān)知識(shí)，可在五年級(jí)進(jìn)行；子單元三可在六年級(jí)進(jìn)行，以便對(duì)分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)的關(guān)系，分?jǐn)?shù)與除法、比的關(guān)系，以及分?jǐn)?shù)的多重意義進(jìn)行整理和復(fù)習(xí)。這樣的年級(jí)安排非固定不變，只要學(xué)生具備學(xué)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容的認(rèn)知根基，便可進(jìn)行學(xué)習(xí)。