林小明，華 晨，胡尊樂，李 丹，閆 浩，紀(jì)小敏

（1.溧陽市水利局，江蘇常州 213300；2.江蘇省水文水資源勘測局常州分局，江蘇常州 213022；3.江蘇省水文水資源勘測局，江蘇南京 210029）

溧陽市地處北亞熱帶邊緣、太湖流域上游，境內(nèi)地形變化較大，山圩緊依，河流源短流急，水情盈枯強(qiáng)弱多變。進(jìn)入20世紀(jì)80年代以后，一方面隨著溧陽市工業(yè)化和城鎮(zhèn)化的迅速發(fā)展，水資源短缺問題日趨突出；另一方面因流域下墊面及上下游工情變化較大，區(qū)域防洪壓力有加重之勢。準(zhǔn)確預(yù)測區(qū)域年度降水量，合理配置水資源，減緩水資源供需矛盾，為區(qū)域防洪提供可靠的技術(shù)支撐顯得較為迫切且具有重要的社會經(jīng)濟(jì)效益［1］。

本文對溧陽市1951—2020年的降水量進(jìn)行分級，將其分為枯水年、偏枯年、平水年、偏豐年、豐水年5個狀態(tài)，以馬爾科夫鏈理論［2-3］和模糊集理論［4］為基礎(chǔ)，以規(guī)范化的各階自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重，建立適用于溧陽市降水量的馬爾科夫鏈加權(quán)預(yù)測模型，對溧陽市2021年的降水量、豐枯水重現(xiàn)期進(jìn)行了預(yù)測，旨在為溧陽市水旱災(zāi)害防御、水資源優(yōu)化配置以及河湖生態(tài)流量的調(diào)度提供技術(shù)支撐。

1 基本原理與步驟

1.1 馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈?zhǔn)茄芯渴挛餇顟B(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律的理論，通過不同狀態(tài)的初始概率及狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率來確定狀態(tài)之間的變化趨勢，從而預(yù)測其未來變化趨勢的一種技術(shù)，其基本原理如下。

如果對時間t的任意n個數(shù)值（n≥3），在條件X（ti）=xi（i=1，2，…，n-1）下，X（tm）的分布函數(shù)恰好等于在條件X（tn-1）=xn-1下X（tn）的分布函數(shù)，即：

通常稱X（tn）為馬爾可夫鏈（過程），馬爾科夫鏈法可用來預(yù)測未來發(fā)生狀態(tài)的水文時間序列，廣泛用于一個區(qū)域中長期降水量的預(yù)測預(yù)報。

從應(yīng)用的實(shí)踐來看，傳統(tǒng)的馬爾科夫模型采用最大隸屬原則來確定預(yù)報對象的狀態(tài)，它有兩大缺點(diǎn)：一是只考慮最大概率，忽略了其他概率的影響；二是無法預(yù)報對象的具體值，只能預(yù)報對象所在的區(qū)間。而加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測模型［5-7］先依據(jù)前面若干時段的預(yù)報對象對后面某一時段的預(yù)測對象進(jìn)行預(yù)測，再考慮前面各個時段與所求時段的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行加權(quán)求和，其最大優(yōu)點(diǎn)是既考慮最大概率的影響，也考慮其他概率的影響，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的馬爾科夫模型的不足，提高了預(yù)測的可靠性。

1.2 模糊集理論中的級別特征值

模糊集理論是一種描述模糊現(xiàn)象的方法，它把待考察的對象及反映它的模糊概念作為一定的模糊集合，建立適當(dāng)?shù)碾`屬函數(shù)，通過模糊集合的有關(guān)運(yùn)算和變換，對模糊對象進(jìn)行分析。具體到前述馬爾科夫鏈中的預(yù)測對象，就是通過模糊集理論中的級別特征值［8］解決傳統(tǒng)馬爾科夫鏈中“最大隸屬原則”只考慮最大概率影響的問題，而兼顧考慮其他概率的影響，也就是通過級別特征值對馬爾科夫鏈中的各狀態(tài)賦予相應(yīng)權(quán)重，亦即加權(quán)馬爾科夫鏈。

（1）對各狀態(tài)賦予相應(yīng)權(quán)重，得權(quán)重集w={w1，w2，…，wi}，其中i為研究系統(tǒng)的狀態(tài)。權(quán)重公式為

式中：η為最大概率作用指數(shù)，指數(shù)越大越能夠突出最大概率的作用，本文取2；p i為狀態(tài)i的概率。

（2）對各級別特征值進(jìn)行計(jì)算，級別特征值H計(jì)算式為

若級別特征值H＞i，則預(yù)測對象的特征值Q為

若級別特征值H＜i，則預(yù)測對象的特征值Q為

式中：Ti、Bi分別為狀態(tài)區(qū)間的上限和下限。

1.3 加權(quán)馬爾科夫鏈法計(jì)算步驟

以均值、方差作為選取預(yù)測對象（Q）組合的準(zhǔn)則，即既定組合方差下的最大均值或既定均值下的最小方差。

（1）計(jì)算預(yù)測對象的均值和方差S，建立指標(biāo)值分級標(biāo)準(zhǔn)，確定序列中各個時段的指標(biāo)值所處的狀態(tài)。計(jì)算式為

（2）對預(yù)測對象的序列進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)隨機(jī)過程是否具有馬爾科夫性［9］是應(yīng)用馬爾科夫預(yù)測模型的必要前提。一般情況下，選用離散序列的馬爾可夫鏈來對變量具有隨機(jī)性的序列進(jìn)行“馬氏性”檢驗(yàn)，檢驗(yàn)常用χ2（卡方分布）統(tǒng)計(jì)量。計(jì)算方法為：

設(shè)研究的序列狀態(tài)個數(shù)為m，使用()f ij，i、j∈I表示轉(zhuǎn)移頻數(shù)概率矩陣，把各個列之和去除以全部元素之和，就會得到“邊際概率”，用字母pj表示，其中：

當(dāng)m很大時，χ2（卡方分布）統(tǒng)計(jì)量為

如果給定顯著性水平為α，經(jīng)查表可得值。如果，則拒絕零假設(shè)，可以認(rèn)為序列具備“馬氏性”，反之則這個序列不能當(dāng)作馬爾可夫鏈來對待。

（3）計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)。計(jì)算式為

（4）考慮到各階相關(guān)系數(shù)可能會出現(xiàn)負(fù)值，需對各階自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行規(guī)范化處理，即：

式中，m為預(yù)測時需要計(jì)算的最大階數(shù)。

（5）對上述步驟的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到不同步長的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。以前面各年預(yù)測對象為初始狀態(tài)，結(jié)合其相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預(yù)測出該時段預(yù)測對象狀態(tài)，其中k為步長。

（6）指標(biāo)值處于某狀態(tài)的預(yù)測概率可用處于此狀態(tài)的各預(yù)測概率的加權(quán)和Pi表示，max(P i,i∈I（)I為狀態(tài)空間）對應(yīng)的狀態(tài)即為此時段指標(biāo)值的預(yù)測狀態(tài)。然后，利用模糊集理論中的級別特征值即可計(jì)算出此時段的預(yù)測值（Q）。重復(fù)以上步驟可預(yù)測下一時段的預(yù)測值。

（7）進(jìn)一步對加權(quán)馬爾科夫鏈的遍歷性、平穩(wěn)分布進(jìn)行預(yù)測。其中，遍歷性是指對于有限狀態(tài)馬氏鏈，如果存在正整數(shù)s，并且對所有的i，都有j=1，2，…，k對于成立，則該馬氏鏈必具有遍歷性。平穩(wěn)分布是指對于有限狀態(tài)馬氏鏈，這個鏈的所有狀態(tài)都是正常返的，且這是極限分布Pj是唯一的平穩(wěn)分布［10］。馬爾科夫鏈的遍歷性、平穩(wěn)分布預(yù)測是采用加權(quán)馬爾科夫鏈法的必要條件。

2 應(yīng)用實(shí)例

本文選取江蘇省溧陽市1951—2020年降水量作為對象，采用上述加權(quán)馬爾科夫鏈法對該市2021年降水量及豐枯年重現(xiàn)期進(jìn)行預(yù)測分析。

2.1 均值與方差

利用式（6）、式（7），計(jì)算出溧陽市1951—2020年平均降水量=1 165.6 mm，均方差S=246.1 mm。

2.2 分級與狀態(tài)

（1）根據(jù)水文上傳統(tǒng)的年型分級定義，用均方差法把溧陽市1951—2020年降水量分成干旱年、偏旱年、平水年、偏豐年、豐水年等5級（狀態(tài)）。其中，干旱年定義為，偏旱年定義為平水年定義為，偏豐年定義為，豐水年定義為，見表1。

（2）根據(jù)已知的溧陽市年降水量序列，結(jié)合表1的分級標(biāo)準(zhǔn)，判斷每年降水量的狀態(tài)，見表2。

表1 溧陽市降水量分級

2.3 馬氏性檢驗(yàn)

利用式（8）、式（9），對溧陽市年降水量序列進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn)。其中，狀態(tài)空間m=5，顯著性水平則拒絕零假設(shè)，可以認(rèn)為溧陽市年降水量序列具備“馬氏性”。

2.4 成果預(yù)測

（1）利用式（10）和式（11），計(jì)算出前5階自相關(guān)系數(shù)rk與相應(yīng)的權(quán)重Wk，見表3。

表3 溧陽市年降水量1～5階各階自相關(guān)系數(shù)及權(quán)重

（2）根據(jù)表2，計(jì)算溧陽市1951—2020年降水量各種步長的狀態(tài)概率矩陣，見式（12）。

表2 溧陽市年降水量序列及狀態(tài)

（3）根據(jù)溧陽市1951—2020年降水量及其相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，采用1～5階權(quán)重系數(shù)對溧陽市2021年的降水量狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見表4。

各狀態(tài)對應(yīng)的加權(quán)和分別為0.0469、0.2686、0.0664、0.0488、0.5693。由表4可知，max{ }

表4 溧陽市2021年降水量預(yù)測

p i,i∈E=0.4715，對應(yīng)的i=3，即溧陽市2021年降水量預(yù)測狀態(tài)為3（平水年），狀態(tài)3的數(shù)值區(qū)間為［1 042.6，1 288.7］。由模糊集理論計(jì)算得級別特征值H=3.825，H＞i，故由式（4）計(jì)算得2021年降水量為1 408.4 mm，實(shí)測值為1 464.5 mm，相對誤差為-3.8%，符合相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)（≤±20%）要求。

2.5 豐枯水重現(xiàn)期預(yù)測

豐枯水重現(xiàn)期預(yù)測是溧陽市防汛防旱和水資源科學(xué)開發(fā)利用的重要依據(jù)。本文根據(jù)溧陽市1951—2020年的滑動平均降水量序列，以相依性最強(qiáng)的步長為5的馬爾科夫鏈進(jìn)行分析。降水量馬爾科夫鏈的5個狀態(tài)是互通的，且是非周期的，因此該馬氏鏈具有遍歷性，且存在唯一的平穩(wěn)分布。

步長為5的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

設(shè)πi、πj分別為狀態(tài)i、j的平穩(wěn)分布，則得到方程組：

由上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算出極限分布（y）與各狀態(tài)的重現(xiàn)期（T）見表5。

由表5可知，溧陽市出現(xiàn)平水年可能性較大，重現(xiàn)期2.17 a。同時溧陽市近年來降水量總體呈增加趨勢，降水變化存在5 a和11 a這2個主周期［11］。

表5 溧陽市豐枯水重現(xiàn)期預(yù)測

3 結(jié)語

通過對2021年溧陽市年降水量預(yù)測實(shí)踐，可得出以下結(jié)論。

（1）采用均方差分級法對溧陽市1951—2020年的降水量進(jìn)行分級，建立的加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測模型較可靠，對2021年溧陽市年降水量預(yù)測結(jié)果相對誤差僅為-3.8%。

（2）以馬爾科夫鏈理論和模糊集理論為基礎(chǔ)，以規(guī)范化的各階自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重，建立的溧陽市降水量的加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測模型，對豐枯水重現(xiàn)期的預(yù)測結(jié)果較合理，預(yù)測結(jié)果與實(shí)際基本吻合。

（3）運(yùn)用加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測模型，得出的溧陽市降水量處于平水年的概率最大，平均周期為2.17 a，降水年際變化存在5 a和11 a這2個主周期，為區(qū)域防汛防旱、水資源綜合利用規(guī)劃提供可靠的依據(jù)。