慎晨樂(lè) 沈 衛(wèi)

(湖州市菱湖中學(xué) 浙江 湖州 313018)

在高中階段對(duì)于均質(zhì)直桿的受力平衡問(wèn)題往往采用力矩平衡結(jié)合共點(diǎn)力平衡的關(guān)系進(jìn)行定量解析.但是考慮到高中階段大多數(shù)的同學(xué)并不熟悉力矩平衡的概念及其規(guī)律，因此,在解決桿平衡的問(wèn)題時(shí)不妨采用共點(diǎn)力平衡下的三力匯交原理來(lái)進(jìn)行分析.如果均質(zhì)直桿受到3個(gè)非平行力的作用而處于平衡狀態(tài)，則這3個(gè)力必為共點(diǎn)力[1]，力的延長(zhǎng)線必然相交于同一點(diǎn).因此,對(duì)于兩端受力的均質(zhì)直桿而言，當(dāng)3個(gè)力匯交于同一點(diǎn)后，可以對(duì)力所構(gòu)成的平行四邊形進(jìn)行幾何關(guān)系的定量分析.

1 共點(diǎn)力作用下分析直桿受力的幾何方法呈現(xiàn)

當(dāng)均質(zhì)直桿兩端受到互不平行力的作用而處于平衡狀態(tài)時(shí)，依據(jù)三力匯交原理可以構(gòu)建力的平行四邊形.若平行四邊形中存在直角三角形，則可從三角函數(shù)的關(guān)系著手列方程；若平行四邊形中無(wú)直角三角形，則可從正弦定理著手列方程；當(dāng)直桿的兩端存在未知大小的力時(shí)(如桿的一端與鉸鏈連接或者與粗糙地面接觸等)，可以依據(jù)相似三角形邊長(zhǎng)的相似比相等列方程求解. 下面通過(guò)一個(gè)具體的問(wèn)題實(shí)例來(lái)加以探討.

【例1】如圖1所示，質(zhì)量分布均勻的直桿AB置于水平地面上，現(xiàn)在A端施加外力F，緩慢抬起直桿至豎直，B端始終和地面保持相對(duì)靜止，F(xiàn)的方向始終和直桿垂直，要確保直桿B端始終和地面保持相對(duì)靜止，則直桿和地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為多少？

圖1 外力F作用下的直桿AB

1.1 運(yùn)用正弦定理列方程求解

直桿AB被緩慢地提起且B端靜止不動(dòng)，顯然處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，對(duì)其受力分析發(fā)現(xiàn)受重力mg和外力F以及地面的支持力與摩擦力(可合成為一個(gè)力F′)，且這些力的方向并不平行，因此力的延長(zhǎng)線必然匯交于同一點(diǎn)，故可作受力分析圖如圖2所示.

圖2 直桿AB的受力分析圖

根據(jù)圖2，若B端始終與地面保持相對(duì)靜止，則角α不能大于B端的摩擦角，即角α的正切值滿足：tanα≤μ.

根據(jù)正弦定理，在△OCO1存在

(1)

其中OO1邊和OC邊的邊長(zhǎng)滿足

(2)

聯(lián)立表達(dá)式(1)、(2)，消去L可得

cosθsin(α+θ)=2sinα

對(duì)該式進(jìn)行整理可將之轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的表達(dá)式

1.2 從相似三角形相似比的角度構(gòu)建力的關(guān)系

既然△OCO1與直桿平衡狀態(tài)下三力所構(gòu)成的閉合三角形為相似三角形，則由邊長(zhǎng)的相似比可知

(3)

根據(jù)圖2，在△A′BO1中存在

(4)

聯(lián)立表達(dá)式(3)、(4)可得

因此，地面對(duì)直桿B端的支持力FN與摩擦力f滿足

即

同樣可得到動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足的最小值.

可見(jiàn)要解決均質(zhì)直桿在共點(diǎn)力作用下的平衡問(wèn)題，如果要避開(kāi)對(duì)力矩平衡關(guān)系的應(yīng)用，則要充分滲透對(duì)三角形幾何關(guān)系的運(yùn)用.不僅要依靠正弦定理把握非直角三角形3力之間的定量關(guān)系，還要根據(jù)邊角的相似特征(如桿的長(zhǎng)度、桿與水平面的夾角等)找尋相似三角形，依據(jù)相似比建立方程，實(shí)現(xiàn)對(duì)力大小與方向的解析.

2 基于相似三角形關(guān)系深化方法的運(yùn)用

利用三力匯交原理構(gòu)建力矢量三角形的相似三角形，將對(duì)力大小的求解依托于相似三角形相似比的討論中，并依據(jù)重力已知的條件，實(shí)現(xiàn)對(duì)直桿兩端受力大小的求解.下面再通過(guò)一個(gè)問(wèn)題的求解進(jìn)一步對(duì)該方法的運(yùn)用進(jìn)行展示與深化.

圖3 機(jī)場(chǎng)候機(jī)樓的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

分析：由對(duì)稱性可對(duì)一側(cè)的斜壁進(jìn)行受力分析，其受力分析圖如圖4所示;將鋼索與屋面看成整體，其受力分析圖如圖5所示.

圖4 斜壁的受力分析圖

圖5 鋼索與屋面整體的受力分析圖

取斜壁與地面的夾角為α，由圖5可知斜壁對(duì)鋼索的拉力FT滿足

(5)

由圖4中力的平行四邊形定則可知，存在力的矢量三角形與△ACO1為相似三角形，因此,根據(jù)邊長(zhǎng)與力的相似比關(guān)系，可構(gòu)建拉力FT與斜壁重力mg之間的關(guān)系為

(6)

取斜壁AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，由邊角的幾何關(guān)系可知O1C邊與CA邊的邊長(zhǎng)滿足

|CA|=Lsinα-Lcosαtan(α-30°)

(7)

聯(lián)立表達(dá)式(5)～(7)并消去表達(dá)式中的L與mg整理得

3tan(α-30°)=tanα

由此可知斜壁與地面的夾角α=60°，斜壁對(duì)鋼索的拉力為

依據(jù)三力匯交原理分析均質(zhì)直桿的受力平衡問(wèn)題所關(guān)聯(lián)的還是高中階段共點(diǎn)力平衡的力學(xué)知識(shí)，只是在問(wèn)題解決中對(duì)知識(shí)與方法的運(yùn)用有更高的要求，主要體現(xiàn)在：

(1)只有清晰、規(guī)范地展現(xiàn)物體的受力情況，才能從中發(fā)掘共性、形成關(guān)聯(lián)，構(gòu)建出問(wèn)題解決所需要的等式與方程.因此,要引導(dǎo)同學(xué)們正確認(rèn)識(shí)受力分析在解決力學(xué)問(wèn)題中的功能與作用，使同學(xué)們明白受力分析不僅要會(huì)畫受力分析圖，還要畫好受力分析圖(包括作圖習(xí)慣的養(yǎng)成、作圖規(guī)范的生成、作圖工具的運(yùn)用等).

(2)對(duì)三角幾何知識(shí)的運(yùn)用有更高的要求，不僅體現(xiàn)在使同學(xué)們能夠處理與直角三角形有關(guān)的力平衡問(wèn)題，更多的情況下是對(duì)非直角三角形平衡關(guān)系的定量分析.這就需要同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中注重學(xué)科間知識(shí)的遷移與結(jié)合，拓寬方法運(yùn)用的“臨界點(diǎn)”，使中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)更好地、更有效地用于對(duì)物理問(wèn)題的分析與解決.