王培良，葉秋陽(yáng)，胡開(kāi)亮，沈 剛

（湖州師范學(xué)院 工學(xué)院，浙江 湖州 313000）

0 引 言

紗線張力控制技術(shù)是紡織生產(chǎn)工藝流程中的重要環(huán)節(jié)，直接影響紗線的質(zhì)量與生產(chǎn)效率。紗線張力的控制性能會(huì)直接影響紗線的成品質(zhì)量。若紗線張力過(guò)小，則紗線容易松弛，導(dǎo)致脫圈，降低工作效率；若紗線張力過(guò)大，則紗線容易斷裂，增加斷頭率［1］。因此，為了提高紗線質(zhì)量，就要求紗線張力控制系統(tǒng)具有快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和穩(wěn)定的控制性能［2］。

針對(duì)紗線張力控制研究，許家忠等提出模糊控制結(jié)合變速積分PID控制的方法，提高了系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的適應(yīng)性［3］；趙學(xué)觀等提出模糊自適應(yīng)PID控制方法，使系統(tǒng)具有更好的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和跟蹤性能［4］；劉樂(lè)等提出了基于Hamilton理論的無(wú)張力計(jì)控制策略，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性［5］；康超等提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)控制方法，對(duì)系統(tǒng)起到動(dòng)態(tài)優(yōu)化作用［6］；張楠等提出了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)PID技術(shù)控制紗線張力，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度與魯棒性［7］。

滑?？刂剖且环N變結(jié)構(gòu)控制，具有魯棒性強(qiáng)，對(duì)模型依賴(lài)性低，對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不敏感以及物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)［8］。模糊控制是一種以模糊集合論、模糊語(yǔ)言變量及模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)控制［9］，具有容錯(cuò)能力強(qiáng)，魯棒性強(qiáng)和無(wú)需精確數(shù)學(xué)模型等特點(diǎn)。

本文針對(duì)紗線張力控制系統(tǒng)的非線性和實(shí)時(shí)性以及傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖诘亩墩穹荡蠛挖吔俣嚷葐?wèn)題，結(jié)合模糊控制和滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)，提出了一種基于改進(jìn)多冪次趨近律的滑模模糊控制方法。該方法的輸入可以是滑模面，有利于減少傳統(tǒng)模糊控制的靜差；模糊推理輸出能柔化控制作用，削減傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩瘢?0］。本文以無(wú)刷直流電機(jī)作為張力控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，建立了紗線張力控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，改進(jìn)了多冪次趨近律，設(shè)計(jì)了基于該趨近律的模糊滑模張力控制器。在MATLAB/Simulink環(huán)境中進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，證明了該方法的有效性。

1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

紗線張力控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。此系統(tǒng)由速度傳感器、控制器、張力傳感器、收卷機(jī)構(gòu)和放卷機(jī)構(gòu)5 部分組成。收、放卷機(jī)構(gòu)分別由收、放卷電機(jī)和收、放卷輥組成。收、放卷電機(jī)分別拖動(dòng)收、放卷輥，并分別與收、放卷輥直接相連。V2、V1分別為收、放卷輥線速度，l為收、放卷輥之間的紗線長(zhǎng)度。當(dāng)收、放卷輥之間存在速度差時(shí)，紗線內(nèi)部就會(huì)產(chǎn)生張力。當(dāng)V2大于V1過(guò)多時(shí)，會(huì)導(dǎo)致紗線張力過(guò)大，造成紗線斷裂；反之，會(huì)導(dǎo)致紗線張力過(guò)小，造成紗線脫圈。如果可以將收、放卷輥之間的速度差控制在一定范圍內(nèi)，則能保證紗線張力穩(wěn)定［11］。

圖1 紗線張力控制系統(tǒng)Fig.1 Yarn tension control system

無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)（BLDCM）具有調(diào)速快速、運(yùn)行穩(wěn)定、精度高等特點(diǎn)［12］。因此，將無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)作為張力控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。簡(jiǎn)化BLDCM 的數(shù)學(xué)模型，則其三相繞組的電壓平衡方程［13］為

式中：ua、ub、uc分別為定子繞組相電壓；r為相電阻；ia、ib、ic分別為定子繞組相電流；ea、eb、ec分別為定子繞組電動(dòng)勢(shì)；L為每相繞組的自感；M為每?jī)上嗬@組間互感；D為微分算子。

為了便于滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)，對(duì)式（1）加以簡(jiǎn)化。將整個(gè)電機(jī)當(dāng)作一個(gè)整體，則BLDCM的電壓平衡方程［13］為

式中：u為電機(jī)端電壓；i為相電流；r為相電阻；ke為反電勢(shì)系數(shù)；w為電機(jī)角速度。

BLDCM的轉(zhuǎn)矩平衡方程［13］為

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩，Te=kti，kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為阻尼系數(shù)。

由式（2）、（3）以及文獻(xiàn)［14］，可得電機(jī)端電壓的表達(dá)式為

紗線在卷繞過(guò)程中，受力發(fā)生形變，紗線的應(yīng)力表達(dá)式為

式中：σ為應(yīng)力；E為彈性模量；ε為應(yīng)變。

假設(shè)紗線的初始長(zhǎng)度為l，形變后的長(zhǎng)度為l0，則紗線的應(yīng)變表達(dá)式［15］為

式中：V2為收卷輥線速度；V1為放卷輥線速度。

將紗線的彈性變形視為線性彈性變形，且忽略紗線形變前后密度與橫截面積的變化，根據(jù)胡克定律，可得張力的表達(dá)式為

式中：F為紗線張力；A為紗線橫截面積。假設(shè)放線速度V1恒定不變，在張力發(fā)生波動(dòng)時(shí)，通過(guò)控制收線速度V2調(diào)節(jié)紗線張力，使其恢復(fù)到設(shè)定值［16］。

結(jié)合文獻(xiàn)［17-18］，紗線張力控制過(guò)程如圖2所示。

圖2 紗線張力控制過(guò)程Fig.2 Yarn tension control process

根據(jù)式（4）和式（7），定義紗線張力控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)方程，即

式中：g=l/(AER)；h=d+cV1/R，R為收卷輥半徑。

2 滑模模糊控制器設(shè)計(jì)

滑?？刂瓢ㄏ到y(tǒng)從任意初始狀態(tài)趨向滑模面的趨近運(yùn)動(dòng)和在滑模面上向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的滑模運(yùn)動(dòng)2個(gè)階段［19］。

2.1 滑模面

定義張力誤差e為

式中：x1d為張力設(shè)定值。

根據(jù)紗線張力控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)滑模面s，即

式中：s為滑模函數(shù)；c1、c2、c3均為滑模面的設(shè)計(jì)參數(shù)，且c1、c2、c3＞0。

2.2 趨近律

在滑模趨近運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，采用趨近律的方法可以保證系統(tǒng)趨近運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)［20］。在文獻(xiàn)［21］的基礎(chǔ)上，將多冪次趨近律改進(jìn)為

式中：k1、k2、k3、k4、α、β為趨近項(xiàng)系數(shù)；f(s)為邊界層函數(shù)；Φ為函數(shù)f(s) 的邊界層厚度；k1＞0 ，k2＞0 ，k3＞0 ，k4＞0 ，0＜α ＜1，1＜β，Φ ＞0。γ的取值采用模糊控制自適應(yīng)調(diào)節(jié)，其表達(dá)式為

式中：γ0為γ的初始值；Δγ為模糊控制輸出量。

在所提出的趨近律中，冪次項(xiàng)系數(shù)γ的大小會(huì)影響系統(tǒng)的收斂速度和抖振幅值。如果將γ設(shè)為定值，將很難適應(yīng)張力控制系統(tǒng)的非線性、實(shí)時(shí)性及突發(fā)擾動(dòng)。鑒于此，為實(shí)現(xiàn)對(duì)張力控制系統(tǒng)的最優(yōu)滑?？刂?，設(shè)計(jì)一種模糊控制方法，根據(jù)實(shí)際情況來(lái)自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)γ。

2.3 滑模模糊控制器

滑模模糊控制器結(jié)構(gòu)如圖3 所示?；Ｄ：刂破鳛閮奢斎胍惠敵?，以滑模面s以及其變化率s?作為輸入變量，以Δγ作為輸出變量。通過(guò)模糊規(guī)則，實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)趨近律參數(shù)Δγ，以適應(yīng)不同時(shí)刻的控制需求。

圖3 滑模模糊控制器Fig.3 Sliding mode fuzzy controller

Δγ參數(shù)調(diào)節(jié)的模糊規(guī)則見(jiàn)表1，該模糊規(guī)則滿(mǎn)足滑?？刂频目蛇_(dá)性條件s·s?＜0。當(dāng)s、s?均為PB/NB時(shí)，要求Δγ為PB/NB，使系統(tǒng)以較大的速度降低s·s?的值；當(dāng)s·s?＜0 時(shí)，系統(tǒng)滿(mǎn)足可達(dá)性條件，有收斂于滑模面的趨勢(shì)，則要求Δγ為ZE［10］。

表1 Δγ 參數(shù)調(diào)節(jié)的模糊規(guī)則表Tab.1 Fuzzy rule table of parameter Δγ adjustment

模糊輸入s隸屬度函數(shù)如圖4 所示，模糊輸入s?隸屬度函數(shù)與模糊輸入s隸屬度函數(shù)相同；模糊輸出Δγ隸屬度函數(shù)如圖5所示。采用加權(quán)平均法對(duì)模糊輸出Δγ進(jìn)行逆模糊化。

圖4 模糊輸入s 隸屬度函數(shù)Fig.4 Membership function of Fuzzy input s

圖5 模糊輸出Δγ 隸屬度函數(shù)Fig.5 Membership function of fuzzy input Δγ

根據(jù)式（8）、（10）和（11），設(shè)計(jì)滑模模糊控制器的控制律，即

2.4 趨近律穩(wěn)定性證明

通過(guò)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理證明趨近律的穩(wěn)定性。選擇李雅普諾夫函數(shù)為

根據(jù)式（14）～（16），可得V≥0 且V?≤0 。當(dāng)且僅當(dāng)s=0 時(shí)，V=V?=0。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，可得所提出的趨近律滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件，系統(tǒng)能在趨近律的作用下在有限時(shí)間內(nèi)從任意初始狀態(tài)到達(dá)滑模面。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證文中方法的有效性，以MATLAB/Simulink 軟件作為仿真工具，分別采用指數(shù)趨近律（趨近律z1）、多冪次趨近律（趨近律z2）、文獻(xiàn)［21］所示趨近律（趨近律z3）和文中所提出的趨近律（趨近律z4）設(shè)計(jì)控制律進(jìn)行仿真對(duì)比，滑模面均采用式（10）的形式。為了便于表述，分別標(biāo)記為控制方法1、2、3和4。

1）趨近律z1

2）趨近律z2

均為趨近律設(shè)計(jì)參數(shù)。

3）趨近律z3式中：ka、kb、kc、kd、λ1、λ2、λ3、λ4均為趨近律設(shè)計(jì)參數(shù)。

4）趨近律z4

紗線張力控制系統(tǒng)仿真參數(shù)［13］中，相電阻r=1.32 Ω，相電感L為2.8×10－3H，阻尼系數(shù)B=6.59×10－6N·m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=1.57×10－5kg·m2，反電勢(shì)系數(shù)ke=0.067 kg/m2，轉(zhuǎn)矩系數(shù)kt=0.073 N·m/A，負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=0.4 N·m，彈性模量E=1.74×1010Pa，紗線橫截面積A= 3.14×10－8m2，紗線初始長(zhǎng)度l=0.1 m。各趨近律設(shè)計(jì)參數(shù)如表2所示。

表2 各趨近律設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.2 Parameters of each approach law

圖6、7分別是不同控制方法下s、s?變化曲線。

圖6 不同控制方法下s的變化Fig.6 The change of s under different control methods

由圖6和圖7可知：各個(gè)控制方法下的系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時(shí)間分別為0.922、0.906、0.610 和0.440 s；控制方法4下系統(tǒng)的收斂時(shí)間最短，相對(duì)于其他控制方法時(shí)間上相對(duì)縮短了52.3%、51.4%和27.9%。控制方法2和控制方法1下的系統(tǒng)在一定范圍內(nèi)滑動(dòng)，產(chǎn)生了抖振現(xiàn)象。控制方法3 和控制方法4 下的系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，基本沒(méi)有產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，控制方法4降低抖振更為有效。

圖7 不同控制方法下s?的變化Fig.7 The change of s?under different control methods

圖8 是模糊控制器輸出變量Δγ變化曲線。分析圖8 可知：Δγ隨著時(shí)間先下降至－1.96 后快速上升至1.96，最后下降至穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)未到達(dá)滑模面之前，模糊控制器輸出Δγ根據(jù)s以及s?自適應(yīng)調(diào)整，用以提高收斂速度；當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)，模糊控制器輸出Δγ趨于穩(wěn)定，用以降低滑模運(yùn)動(dòng)的抖振。

圖8 模糊控制器輸出變量ΔγFig.8 The change curve of output Δγ of fuzzy controller

圖9、圖10 分別是不同控制方法下的控制器輸出信號(hào)u、紗線張力F響應(yīng)變化曲線。分析圖9 可知：4種控制方法下的控制器輸出到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間分別為2.047、1.919、1.817 和1.416 s。控制方法4所需的時(shí)間最短，率先趨于穩(wěn)定狀態(tài)，相對(duì)其他3 種方法時(shí)間上分別縮短了30.8%、26.2%和22.1%?？刂品椒?和2下的控制器輸出信號(hào)趨于穩(wěn)定時(shí)，存在一定范圍內(nèi)波動(dòng)。

圖9 不同控制方法下的控制器輸出信號(hào)uFig.9 The change curve of output signal u under different control methods

分析圖10 可知：4 種控制方法下的紗線張力輸出值到達(dá)張力設(shè)定值的時(shí)間分別為2.337、2.198、2.094 和1.575 s，控制方法4 相對(duì)其他3 種方法時(shí)間上分別縮短了32.6%、28.3%和24.8%；紗線張力響應(yīng)較快，紗線張力輸出值率先達(dá)到了張力設(shè)定值。在0～0.4 s 期間，控制方法4 的紗線張力低于方法2。但是，在此期間，Δγ的自適應(yīng)整定不斷地提升控制方法4 的收斂速度；0.4 s 之后，控制方法4 的紗線張力超過(guò)了控制方法2，直至進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。

圖10 不同控制方法下的紗線張力F 響應(yīng)Fig.10 The change curve of yarn tension F response under different control methods

仿真結(jié)果證明了所提出方法的有效性，不僅提高了收斂速度，還降低了抖振。紗線張力控制系統(tǒng)的張力輸出響應(yīng)速度和控制器輸出信號(hào)穩(wěn)定性得到了提高。

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)滑?？刂剖諗克俣嚷?、抖振導(dǎo)致的紗線張力控制系統(tǒng)輸出響應(yīng)速度慢、控制器輸出波動(dòng)大的問(wèn)題，提出一種基于改進(jìn)多冪次趨近律的滑模模糊控制方法。通過(guò)對(duì)紗線張力控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模以及仿真，驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性。基于該方法的紗線張力控制系統(tǒng)不僅能有效降低系統(tǒng)抖振，還能提高收斂速度；能快速響應(yīng)指令輸入，且提升了輸出信號(hào)的穩(wěn)定性，具有較好的控制性能。