張巧衛(wèi)

（榆林學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 榆林 719000）

0 引 言

對角矩陣作為一種特殊的矩陣，有重要的理論意義及實際應(yīng)用價值。不過，存在一類非對角矩陣與對角矩陣相似，稱之為可對角化的矩陣，因此，關(guān)于矩陣的可對角化問題是矩陣理論中的一個基本問題［1］。近年來，可對角化在量子信息的量子相干理論中有著廣泛的應(yīng)用［2-5］。矩陣理論中熟知的一個結(jié)果是：n階方陣是可對角化的當且僅當它有n個線性無關(guān)的特征向量。文獻［6］中利用矩陣可以對角化的判定以及如何求矩陣的線性無關(guān)的特征向量完全可以歸納為矩陣乘法的原理，使得可以同步求解矩陣的特征值與特征向量，從而得出矩陣可對角化更為直接的簡單判定；文獻［7］證明了域上的有限維向量空間上的線性算子可對角化當且僅當它的極小多項式是域上的互異一次因式之積，并利用線性算子的特征值的初等對稱多項式給出了上述結(jié)論的另一個證明。2 個可對角化的矩陣的同時對角化問題是在研究穩(wěn)定平衡的“最小振動”力學問題時發(fā)現(xiàn)的，后來有學者考慮了相似的矩陣是否可以同時對角化的問題。一個著名的結(jié)論是：2個可對角化的矩陣可經(jīng)一個相似變換同時對角化當且僅當它們可交換。

Hilbert空間上有界線性算子的對角化問題是算子理論關(guān)注的重要課題。已知的主要結(jié)論有：正規(guī)緊算子可以對角化[8]，即它在一個正規(guī)正交基下可以表示為一個對角矩陣。但是，目前尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于多個線性算子的可同時對角化的相關(guān)結(jié)論。本文研究復(fù)數(shù)域上有限維Hilbert空間上的多個線性算子在同一正規(guī)正交基下的同時對角化問題，并給出所獲結(jié)論在量子相干理論中的一個應(yīng)用。

1 多個算子的同時對角化

定理1設(shè)T1,T2,…,Tm∈B(H)都是正規(guī)算子，則算子組{T1,T2,…,Tm}是可同時對角化的，當且僅當它是交換組，即其中的算子兩兩交換。

證明不妨設(shè)T1,T2,…,Tm都不是數(shù)乘算子，必要性由式（3）可知。

用歸納法證明充分性。

當m=2 時，設(shè){T1,T2}是正規(guī)算子構(gòu)成的交換組，則由引理1知{T1,T2}是可同時對角化的。

再由命題4 知：算子組{T1,T2,…,Tm}?B(H)是可同時對角化的。于是證明了充分性對任意m個正規(guī)算子也成立。證畢。

2 多個量子態(tài)的同時非相干性

量子相干性資源理論由自由態(tài)、資源和自由操作所構(gòu)成。自由態(tài)由不相干量子態(tài)表示，資源態(tài)由相干量子態(tài)表示，自由操作由不相干量子運算表示。作為量子力學的獨有特性之一，量子相干是量子理論的重要資源，量化量子態(tài)的相干性［9-10］通常被視為度量量子態(tài)的疊加程度。量子相干性已被廣泛應(yīng)用于納米熱力學［11-12］、量子算法［13-16］，以及相干性蒸餾［17］等多個領(lǐng)域，并在量化波粒二象性的方面發(fā)揮了作用［18-20］。因此，討論是否存在正規(guī)正交基使得一組量子態(tài)可以同時對角化的問題，對量子相干態(tài)的刻畫和度量研究是十分有意義的。