張 超,周曉俊,2,凌林本

（1.北京航天控制儀器研究所,北京 100039;2.北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,北京 100191）

0 引言

擺式積分陀螺加速度計(jì)是慣性制導(dǎo)平臺(tái)系統(tǒng)中不可缺少的核心測(cè)量?jī)x表,其結(jié)構(gòu)類似于一個(gè)沿自轉(zhuǎn)軸方向附加偏心質(zhì)量的二自由度陀螺儀,具有陀螺儀和擺的雙重特性,是一種利用陀螺力矩進(jìn)行反饋的擺式加速度計(jì)［1］。由于擺式積分陀螺加速度計(jì)存在以二次項(xiàng)誤差為主的非線性誤差項(xiàng),制導(dǎo)系統(tǒng)誤差模型中未對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償,實(shí)際飛行結(jié)果分析顯示,存在制導(dǎo)工具誤差偏大、誤差模型不完善造成“天地不一致”等問(wèn)題。

在擺式積分陀螺加速度計(jì)的誤差模型中,二次項(xiàng)誤差主要是由浮子組件的不等慣量和慣量積引起的。其中,不等慣量引起的非線性誤差項(xiàng)與內(nèi)環(huán)零位偏角相關(guān),可以通過(guò)在電氣上減小內(nèi)環(huán)零位偏角抑制該項(xiàng)誤差。所以,慣量積是引起非線性誤差項(xiàng)的主要因素。慣量積是由結(jié)構(gòu)決定的,工程上難以避免,必須在精確測(cè)試的基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)償。

慣量積測(cè)試屬于慣性參數(shù)測(cè)量范疇,但國(guó)內(nèi)外報(bào)道多以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)心位置測(cè)試為主。目前,該方面設(shè)備主要應(yīng)用于空間飛行器部件、汽車動(dòng)力部件、發(fā)動(dòng)機(jī)部件等外形規(guī)則的大型物體測(cè)量過(guò)程中。關(guān)于慣量積測(cè)試方法和測(cè)試?yán)碚摰难芯?國(guó)內(nèi)外未見(jiàn)報(bào)道。

針對(duì)慣量積量級(jí)?。?0-9kg·m2～10-8kg·m2）,常規(guī)手段測(cè)試難度大,本文提出了一種慣量積測(cè)試的方法。通過(guò)浮子組件高速旋轉(zhuǎn)激發(fā)慣量積產(chǎn)生離心力矩,并設(shè)計(jì)再平衡回路產(chǎn)生再平衡力矩,運(yùn)用力矩平衡的方法使浮子組件處于平衡狀態(tài),根據(jù)力矩電流的大小即可得到浮子組件慣量積產(chǎn)生的離心力矩的大小。

1 慣量積測(cè)試原理

擺式積分陀螺加速度計(jì)的功能是測(cè)量沿外框架軸的視加速度。當(dāng)沿外框架軸有視加速度輸入時(shí),擺式積分陀螺加速度計(jì)的轉(zhuǎn)子將繞外框架軸進(jìn)動(dòng),其進(jìn)動(dòng)角速度與輸入的視加速度成正比。擺式積分陀螺加速度計(jì)浮子組件為近似圓柱體,如圖1所示。oxz為與浮子組件固聯(lián)的坐標(biāo)系,質(zhì)心m偏離浮子軸線的距離為l。浮子組件通常采取對(duì)稱設(shè)計(jì),慣量積主要是由實(shí)際零件加工、裝配中的誤差導(dǎo)致的,如圓周對(duì)稱位置存在微小質(zhì)量偏差m′時(shí)會(huì)產(chǎn)生不影響擺性的慣量積Jxz

圖1 浮子組件慣量積示意圖Fig.1 Diagram of floater assembly inertia product

Jxz=2m′b2sinθ0cosθ0（1）

式（1）中,b為質(zhì)量偏差m′到原點(diǎn)o的距離,θ0為質(zhì)量偏差m′與oz軸的夾角。

浮子組件慣量積是陀螺加速度計(jì)產(chǎn)生二次項(xiàng)誤差的重要因素。雖然慣量積量級(jí)小,約為10-9kg·m2～10-8kg·m2,但是對(duì)儀表精度影響顯著,10-8kg·m2的慣量積產(chǎn)生的儀表非線性誤差項(xiàng)為10-5量級(jí)。精確測(cè)量慣量積并進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化調(diào)整是消除儀表二次項(xiàng)誤差的基礎(chǔ)。

陀螺加速度計(jì)浮子組件慣量積小,精確測(cè)試難度大,利用角度傳感器等電磁元件,通過(guò)借助高速旋轉(zhuǎn)條件,放大慣量積產(chǎn)生的離心力矩,通過(guò)測(cè)試離心力矩大小,實(shí)現(xiàn)微小慣量積的精確測(cè)試。測(cè)試基本原理為:在浮子組件存在慣量積的情況下,當(dāng)浮子組件繞輸入軸x以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),在輸出軸y上會(huì)產(chǎn)生離心力矩

通過(guò)再平衡回路產(chǎn)生大小相等、方向相反的再平衡力矩使浮子組件處于平衡狀態(tài),此時(shí)該離心力矩正比于再平衡回路的力矩電流。通過(guò)測(cè)量力矩電流即可得到離心力矩,進(jìn)而得到慣量積Jxz的值。慣量積的測(cè)試示意圖如圖2所示,其工程實(shí)現(xiàn)主要采用高精度速率轉(zhuǎn)臺(tái),被測(cè)浮子組件采用氣浮方式懸浮支撐,通過(guò)高精度工裝固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上,并實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)軸與浮子軸線的對(duì)準(zhǔn)。

圖2 慣量積測(cè)試示意圖Fig.2 Diagram of inertia product measurement

2 再平衡回路設(shè)計(jì)

再平衡回路廣泛應(yīng)用于慣性儀表中,使儀表工作于閉環(huán)狀態(tài)。通過(guò)產(chǎn)生再平衡力矩,使儀表輸出軸上的力矩之和為零,從而保持儀表輸出軸相對(duì)于殼體始終處于靜止?fàn)顟B(tài),并通過(guò)力矩電流大小獲得儀表輸入值［2-4］。

按施加電流的形式,再平衡回路可以分為模擬再平衡回路和脈沖再平衡回路。模擬再平衡回路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn),力矩電流是連續(xù)變化的模擬量,通過(guò)I/F電路將模擬的電流信號(hào)轉(zhuǎn)換成脈沖信號(hào)輸出給導(dǎo)航計(jì)算機(jī)。脈沖再平衡回路結(jié)構(gòu)復(fù)雜,脈沖信號(hào)由直流信號(hào)和三角波信號(hào)比較而成,施加的力矩電流是幅值一定、周期一定、寬度可調(diào)的脈沖信號(hào)［5-7］。隨著DSP和FPGA等電子技術(shù)的不斷發(fā)展,產(chǎn)生了一種全新的數(shù)字式再平衡回路,脈沖信號(hào)的產(chǎn)生和控制算法集中于數(shù)字芯片中,能直接實(shí)現(xiàn)脈沖加矩和數(shù)字輸出［8-10］?；谌珨?shù)字式再平衡回路的優(yōu)勢(shì),采用以DSP為核心的全數(shù)字式再平衡回路方案。

2.1 再平衡回路工作原理

當(dāng)浮子繞輸入軸x轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于慣量積的存在,會(huì)產(chǎn)生一個(gè)繞輸出軸y的離心力矩,使浮子繞輸出軸y轉(zhuǎn)動(dòng)而偏離零位,角度傳感器檢測(cè)浮子角偏移并轉(zhuǎn)變成載波信號(hào),經(jīng)過(guò)前置放大、帶通濾波、相敏解調(diào)和低通濾波等環(huán)節(jié)后,得到正比于浮子偏轉(zhuǎn)角的電壓信號(hào)。該電壓信號(hào)經(jīng)過(guò)A/D轉(zhuǎn)換后送入數(shù)字處理器,經(jīng)過(guò)控制算法產(chǎn)生控制量,輸出調(diào)寬的脈沖波,作用于H開(kāi)關(guān)和恒流源。給力矩器施加電流,力矩器產(chǎn)生的電磁力矩恰好與慣量積產(chǎn)生的離心力矩平衡,從而使浮子組件始終保持在零位附近,如圖3所示。數(shù)字控制器輸出的調(diào)寬脈沖波的占空比反映了慣量積產(chǎn)生的繞輸出軸的離心力矩的大小。

圖3 再平衡回路工作原理圖Fig.3 Diagram of rebalance loop operation principle

整個(gè)再平衡回路由信號(hào)預(yù)處理電路、數(shù)字控制電路和力矩電流發(fā)生器組成。其中,信號(hào)預(yù)處理電路包括前置放大、帶通濾波、相敏解調(diào)和低通濾波,這部分電路的作用主要是對(duì)傳感器輸出的信號(hào)進(jìn)行放大、解調(diào)和濾波,并且使信號(hào)幅值位于A/D轉(zhuǎn)換的量程范圍內(nèi)。數(shù)字控制網(wǎng)絡(luò)的核心是DSP,主要功能是進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換、控制器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)和PWM波輸出。力矩電流發(fā)生器包括恒流源和H開(kāi)關(guān)兩部分,主要功能是供給力矩器調(diào)寬的脈沖電流信號(hào)產(chǎn)生再平衡力矩,使浮子始終處于零位附近。

2.2 再平衡回路模型建立

由2.1節(jié)可知,再平衡回路主要由三部分組成,下面對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行建模。浮子角運(yùn)動(dòng)與外加力矩之間的微分方程為

式（3）中,M為浮子上的外加力矩,C為阻尼系數(shù),K為彈性系數(shù),Jy為浮子相對(duì)于輸出軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,β為浮子偏轉(zhuǎn)角。

對(duì)于本文研究的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),彈性系數(shù)為零。由于采用氣浮軸承,阻尼系數(shù)近似為零,因此式（3）在初始狀態(tài)為零的條件下,經(jīng)過(guò)Laplace變換后,動(dòng)力學(xué)傳遞函數(shù)為

式（4）中,Jy=9×10-5kg·m2。

回路中,傳感器的靈敏度為Ks=34V/rad,前置放大、帶通濾波、相敏解調(diào)簡(jiǎn)化為比例環(huán)節(jié)K1=40,數(shù)字控制器輸出的電壓轉(zhuǎn)電流系數(shù)為KVI=0.025A/V,力矩器系數(shù)為KM=2.45×10-4N·m/A,低通濾波器傳遞函數(shù)為Gf（s）

再平衡回路的框圖如圖4所示,M為慣量積產(chǎn)生的繞輸出軸的離心力矩,Mq為再平衡回路產(chǎn)生的平衡力矩,Gc（s）為控制器,I為加到力矩器的電流。

圖4 再平衡回路的框圖Fig.4 Block diagram of rebalance loop

不加控制器時(shí),系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性Fig.5 Diagram of open-loop frequency characteristics

由圖5可知,系統(tǒng)中頻段相位滯后較大,導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)量過(guò)大,且系統(tǒng)截止頻率較低,系統(tǒng)響應(yīng)較慢。因此,需要設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性和靜態(tài)指標(biāo)。

2.3 控制器設(shè)計(jì)

PID控制器是一種線性控制器,它根據(jù)給定值r（t）與實(shí)際輸出值y（t）構(gòu)成偏差e（t）,將偏差的比例（P）、積分（I）和微分（D）通過(guò)線性組合構(gòu)成控制量,對(duì)受控對(duì)象進(jìn)行控制。其控制規(guī)律為

式（7）中,e（t）為輸入的誤差信號(hào),Kp為比例系數(shù),Ti為積分時(shí)間常數(shù),Td為微分時(shí)間常數(shù),u（t）為控制器輸出。

傳遞函數(shù)形式為

對(duì)式（7）做離散化處理就可以得到位置式數(shù)字PID控制算法,即以一系列的采樣時(shí)刻點(diǎn)kT代表連續(xù)時(shí)間t,以矩形法數(shù)值積分近似代替積分,以一階向后差分近似代替微分,可得到其k采樣時(shí)刻的離散PID表達(dá)式

式（9）中,T為采樣時(shí)間。

根據(jù)式（9）應(yīng)用遞推原理,可得到k-1個(gè)采樣時(shí)刻的輸出

式（9）與式（10）相減,經(jīng)整理后,可以得到增量式PID控制算法公式

式（12）中,Ki=Kp/Ti,Kd=KpTd。

由再平衡回路原理可知,再平衡回路不僅是鎖定回路,而且是測(cè)量回路。作為鎖定回路,應(yīng)具有足夠的跟蹤能力,即能夠輸出足夠大的力矩電流使浮子維持在零位附近;作為測(cè)量回路,應(yīng)使輸出的力矩電流正確反映輸入力矩。為滿足再平衡回路的要求,必須提高系統(tǒng)截止頻率,增加系統(tǒng)相位裕度,在控制器中需要加入微分環(huán)節(jié);為使浮子偏轉(zhuǎn)角度在穩(wěn)態(tài)時(shí)為零,需要在控制器中加入積分環(huán)節(jié)。選取增量式PID參數(shù):Kp=7.45、Ki=22.9、Kd=0.394、T=5×10-4s。

根據(jù)增量式PID控制律以及控制思想,設(shè)計(jì)控制流程圖如圖6所示。

圖6 增量式PID控制流程圖Fig.6 Flowchart of incremental PID control

3 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證再平衡回路的性能,對(duì)設(shè)計(jì)的電路進(jìn)行系統(tǒng)仿真,系統(tǒng)采樣頻率為2kHz。加入控制器后,閉環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布如圖7所示,閉環(huán)極點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi),系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖7 閉環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖Fig.7 Zero-pole distribution diagram of closed-loop system

開(kāi)環(huán)頻率特性如圖8所示,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)截止頻率為12.7Hz,相角裕度為69°,幅值裕度為27.3dB。

圖8 加入控制器后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性Fig.8 Diagram of open-loop frequency characteristics with controller

系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性如圖9所示。由圖9可知,閉環(huán)初始值為0dB,所以在階躍信號(hào)作用下,系統(tǒng)沒(méi)有靜差;幅頻特性曲線峰值較小,系統(tǒng)階躍響應(yīng)過(guò)程的超調(diào)量小,同時(shí)系統(tǒng)帶寬為17.7Hz,系統(tǒng)具有較快的響應(yīng)。

圖9 系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性Fig.9 Diagram of closed-loop frequency characteristics

在輸入最大離心力矩5×10-5N·m的條件下進(jìn)行仿真,DSP輸出的PWM占空比曲線如圖10所示。由圖10可知,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間為0.15s,超調(diào)量為15.7%,系統(tǒng)響應(yīng)較快且過(guò)渡過(guò)程比較平穩(wěn)。力矩電流大小曲線如圖11所示。由圖11可知,再平衡回路能提供足夠大的力矩電流。

圖10 PWM占空比曲線Fig.10 Curve of PWM duty ratio

通過(guò)采樣電阻對(duì)力矩電流進(jìn)行采樣,采樣電阻選擇精密無(wú)感電阻,電阻大小為5Ω,精度為千分之一,設(shè)計(jì)的恒流源大小為253.7mA。采樣電阻兩端的電壓值與其對(duì)應(yīng)的占空比如表1所示。通過(guò)對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理可得,力矩電流發(fā)生器的零偏電流為0.164mA,力矩電流非線性度小于0.5%,力矩電流的對(duì)稱性小于0.2%。通過(guò)采樣電壓值與理論值相比,可得采樣電壓的最大誤差小于1mV,對(duì)應(yīng)力矩電流的誤差為0.2mA。在轉(zhuǎn)速為300r/min的條件下,可以滿足慣量積測(cè)試精度10-9kg·m2的要求。

表1 采樣電阻的電壓值與對(duì)應(yīng)的占空比Table1 Voltage value of sampling resistance and its corresponding duty ratio

4 結(jié)論

本文提出了一種通過(guò)高速旋轉(zhuǎn)激發(fā)慣量積產(chǎn)生離心力矩的測(cè)試方法,并設(shè)計(jì)了全數(shù)字式再平衡回路來(lái)測(cè)量離心力矩。通過(guò)仿真分析,所設(shè)計(jì)的再平衡回路不僅能提供足夠的力矩電流使浮子組件始終處于零位附近,而且系統(tǒng)響應(yīng)快,過(guò)渡過(guò)程比較平穩(wěn),輸出的力矩電流能正確反映慣量積產(chǎn)生的離心力矩,慣量積測(cè)試精度優(yōu)于10-9kg·m2。通過(guò)精確測(cè)量慣量積并進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化調(diào)整,為擺式積分陀螺加速度計(jì)精度提高打下基礎(chǔ)。