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        雙極直覺模糊超圖*

        2022-07-28 07:48:24龔澍高煒
        關(guān)鍵詞:定義

        龔澍, 高煒

        (1.廣東科技學(xué)院 計算機科學(xué)學(xué)院,廣東 東莞 523083;2.云南師范大學(xué) 信息學(xué)院,云南 昆明 650500)

        圖是結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)表示的有效模型,用頂點之間的邊來刻畫數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián);而超圖作為圖的擴展,在數(shù)據(jù)表示中起著更重要的作用,應(yīng)用范圍也更加廣泛.對于不確定結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù),模糊圖和模糊超圖是廣泛而有效的建模手段.模糊圖近年來已成為數(shù)學(xué)和計算機領(lǐng)域的熱門研究課題[1-6],尤其是在雙極框架[7]中.然而到目前為止,只有少數(shù)文獻考慮了超圖結(jié)構(gòu)中的模糊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu).本文將有關(guān)直覺模糊超圖[8]的概念進行擴展,將其推廣到雙極直覺模糊超圖和雙極直覺模糊有向超圖框架,并確定了此類超圖的一些基本特征;且給出的關(guān)于雙極直覺模糊超圖的相關(guān)定義和性質(zhì)可以直接推廣到雙極畢達哥拉斯模糊超圖.

        1 雙極直覺模糊超圖

        在超圖框架下,H=(V,E)(或者記為H=(V,A,B))是雙極直覺模糊超圖,如果下列條件成立:

        (1)V={v1,v2,…,vn}是非空有限頂點集合;

        雙極直覺模糊集A是初級的,如果它的每個隸屬度函數(shù)在支集上都是單值的;雙極直覺模糊超圖是初級的,如果對于每條超邊它的正負極直覺模糊關(guān)系都是初級的.雙極直覺模糊超圖稱為簡單超圖,若任何兩條超邊對應(yīng)的頂點集合相互不包含,即ei?ej?ei=ej;稱為支集簡單超圖,若ei?ej,supp(ei)=supp(ej)?ei=ej;稱為強支集簡單,若supp(ei)=supp(ej)?ei=ej.

        對于滿足αP+βP≤1和αN+βN≥-1的αP、βP∈[0,1]和αN、βN∈[-1,0],超邊e∈E的(αP,αN,βP,βN)-層次超邊定義為

        H(αP,αN,βP,βN)=(V,E(αP,αN,βP,βN))稱為雙極直覺模糊超圖H的(αP,αN,βP,βN)-層次超圖,其中E(αP,αN,βP,βN)={(e1)(αP,αN,βP,βN),(e2)(αP,αN,βP,βN),…,(em)(αP,αN,βP,βN)}.

        滿足下列條件

        (2)若

        雙極直覺模糊超圖H′=(V′,E′)=(V′,A′,B′)稱為雙極直覺模糊超圖H=(V,E)=(V,A,B)的部分子圖(記為H′?H),若下列條件成立:

        (1)supp(A′)?supp(A)且supp(B′)?supp(B);

        設(shè)H1=(V1,A1,B1)和H2=(V2,A2,B2)是兩個雙極直覺模糊超圖,其中

        稱H1和H2它們是同態(tài)的,若存在同態(tài)映射Ψ:V1→V2滿足如下兩個條件:

        (1)對任意v∈V1滿足

        稱H1和H2是弱同構(gòu)的,若存在雙射同態(tài)滿足Ψ:V1→V2,對任意v∈V1滿足

        (1)對任意v∈V1有

        雙極直覺模糊超圖H的階(Order)和尺寸(Size)分別定義為

        顯然,兩個同構(gòu)的雙極直覺模糊超圖有相同的階和尺寸,但反過來不成立.此外,根據(jù)定義可知,任意兩個弱同構(gòu)的雙極直覺模糊超圖有相同的階,而任意兩個一致弱同構(gòu)的雙極直覺模糊超圖有相同的尺寸,但反過來都不成立.

        雙極直覺模糊超圖H中,頂點v的度表示為

        若H1和H2是同構(gòu)的,Ψ是它們的同構(gòu)映射,如果v1∈V(H1),v2∈V(H2)滿足Ψ(v1)=v2,則有d(Ψ(v1))=d(v2).

        由于雙極直覺模糊超圖之間的同構(gòu)關(guān)系是一種等價關(guān)系,滿足自反、對稱和傳遞性,因此可以根據(jù)同構(gòu)關(guān)系對雙極直覺模糊超圖進行分類.此外,雙極直覺模糊超圖之間的弱同構(gòu)關(guān)系是一種偏序關(guān)系.

        雙極直覺模糊超圖中長度為t的雙極直覺模糊超路P定義為由不同頂點vi和不同超邊ei構(gòu)成的交錯序列v1,e1,v2,e2,…,vt,et,vt+1,滿足下列條件:

        (2)對任意i∈{1,…,t},有vi,vi+1∈ei.

        由此,雙極直覺模糊超圖是連通的當(dāng)且僅當(dāng)對任意

        強雙極直覺模糊超圖是指對所有超邊ei都滿足

        的超圖.而完全雙極直覺模糊超圖是指對所有V的子集ei={vi1,vi2,…,vi|ei|},上述四個式子都成立的超圖.對于兩個同構(gòu)的雙極直覺模糊超圖H1和H2:

        ?H1是連通的當(dāng)且僅當(dāng)H2是連通的;

        ?H1是強的當(dāng)且僅當(dāng)H2是強的;

        ?H1是完全的當(dāng)且僅當(dāng)H2是完全的.

        如果對任意兩條超邊ei和ej有下面兩個條件成立, 則雙極直覺模糊超圖稱為線性雙極直覺模糊超圖:

        (1)supp(ei)?supp(ej)?i=j;

        (2)|supp(ei)∩supp(ej)|≤1.

        雙極直覺模糊超圖的2-section記為[H]2=(V,A,[B]2),它也是一個雙極直覺模糊超圖,其頂點集與H一致,超邊集定義為{vivj|vi,vj∈ek∈E(H)},即超邊是二元頂點集合,兩個頂點一同存在于H的某一條超邊中.[H]2的邊隸屬度函數(shù)定義為

        雙極直覺模糊超圖H=(V,A,B)的對偶圖HD=(VD,AD,BD)定義如下:

        ?HD的頂點集即為H的超邊集,即把H的每一條超邊看成一個頂點,H中超邊的隸屬度函數(shù)值即為HD中頂點的隸屬度函數(shù)值.

        ?對于H中的每個頂點v,記Ev?E是H中包含頂點v的超邊集合,它對應(yīng)HD中的一條超邊,且該超邊在HD中的隸屬度函數(shù)表示為

        顯然,兩個同構(gòu)的超圖,它們的對偶也同構(gòu).易知,[HD]2=L(H),其中L(H)表示超圖H的線圖,即H中每條超邊看成一個頂點,兩個頂點相鄰當(dāng)且僅當(dāng)在H中對應(yīng)的兩條超邊有共同頂點.此外,線性雙極直覺模糊超圖的對偶也是線性的.

        2 雙極直覺模糊有向超圖

        將雙極直覺模糊超圖的概念擴展到雙極直覺模糊有向超圖,其本質(zhì)是將每條超邊的頂點集分成兩個子集:起點集和終點集.

        (1)V={v1,v2,…,vn}是非空有限頂點集合;

        設(shè)有序?qū)π蛄?/p>

        滿足下列條件

        (2)若

        (1)supp(A′)?supp(A)且supp(B′)?supp(B);

        (2)若

        稱它們是同態(tài)的,若存在同態(tài)映射Ψ:V1→V2滿足如下兩個條件:

        (1)對任意v∈V1滿足

        (1)對任意v∈V1有

        兩個同構(gòu)的雙極直覺模糊有向超圖有相同的階和尺寸;兩個弱同構(gòu)的雙極直覺模糊有向超圖有相同的階;兩個一致弱同構(gòu)的雙極直覺模糊有向超圖有相同的尺寸,但這些結(jié)果反過來都不成立.

        由于雙極直覺模糊有向超圖之間的同構(gòu)關(guān)系也是一種等價關(guān)系,滿足自反、對稱和傳遞性,同樣可以用于雙極直覺模糊有向超圖分類.此外,雙極直覺模糊有向超圖之間的弱同構(gòu)關(guān)系是一種偏序關(guān)系.

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