張文豹，王夢陽，薛向堯，邵明振，王 光

（中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春 130033）

0 引言

非負(fù)矩陣分解算法（NMF）是一種基于局部特征學(xué)習(xí)整體的矩陣分解算法，由于其分解前后矩陣非負(fù)的性質(zhì)，使得分解結(jié)果更具物理意義[1]；同時(shí)算法處理后的數(shù)據(jù)具有天然的稀疏屬性，更能體現(xiàn)龐大數(shù)據(jù)低維描述的本質(zhì)[2-3]，因而在信號(hào)處理、語音識(shí)別、圖像工程、計(jì)算機(jī)視覺等方面應(yīng)用廣泛。

雖然，非負(fù)矩陣分解算法本身具有一定的稀疏屬性，但在實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域，受背景環(huán)境因素的影響，稀疏屬性并不表現(xiàn)得十分明顯，很大程度依賴于原始數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)形式?；诖耍琀oyer[4]將稀疏編碼的思想引入到非負(fù)矩陣分解算法中，優(yōu)化其損失函數(shù)，增強(qiáng)其數(shù)據(jù)表達(dá)形式，使結(jié)果更為稀疏。隨著研究的不斷深入，稀疏非負(fù)矩陣分解算法（Sparse Non-negative Matrix Factorization，SNMF）應(yīng)運(yùn)而生，并在不同領(lǐng)域得到了飛速發(fā)展。Rizwan[5]采用稀疏非負(fù)矩陣分解并結(jié)合穩(wěn)健主成分分析算法，實(shí)現(xiàn)了無監(jiān)督去混響單通道語音信號(hào)的增強(qiáng)與分離。楊博等[6]采用稀疏非負(fù)矩陣分解與梅爾頻率譜提取相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)了4 類低空目標(biāo)信息的識(shí)別。曾蕭[7]提出了基于NSNMF 算法的故障檢測模型，通過與支持向量機(jī)算法結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了多故障的模式分類?？梢钥闯?，不同的學(xué)者針對不同的研究對象，已將算法在不同領(lǐng)域推展開來。但針對算法實(shí)現(xiàn)方式上仍具有一定的改善空間，且在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷領(lǐng)域，通常結(jié)合模式識(shí)別算法，對故障進(jìn)行學(xué)習(xí)分類。實(shí)際工況下的振動(dòng)信號(hào)受噪聲干擾，有效特征信息通常難以解耦分離。

綜上，本文分析稀疏非負(fù)矩陣分解算法損失函數(shù)的實(shí)現(xiàn)方式，采用基于L1范數(shù)的稀疏非負(fù)矩陣分解模型，通過引入正則化參數(shù)控制其稀疏屬性及重構(gòu)誤差，有效增強(qiáng)分離后故障源特征信息，完成耦合信號(hào)的解耦分離，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)械的復(fù)合故障診斷。

1 SNMF算法模型

非負(fù)矩陣分解算法的定義[8]如下：對初始非負(fù)矩陣V=(v1,…,vn)∈Rm×n+，總能夠解出非負(fù)矩陣W∈Rm×r+和H=(h1,…,hn)∈Rr×n+，使其滿足：

式中：參數(shù)m、n、r分別為矩陣的維數(shù)、樣本個(gè)數(shù)和矩陣的秩。

由于算法分解得到非負(fù)矩陣W和H，則存在3 種施加稀疏性約束項(xiàng)假設(shè)：約束矩陣W或H，同時(shí)約束矩陣W和H。通過分析，在復(fù)合故障信號(hào)的解耦分離中，分解得到的矩陣W通常含有故障源信號(hào)的特征信息，如果對其稀疏化處理，則會(huì)產(chǎn)生部分特征的缺失，有效故障信息不能被完全表達(dá)。因此，本文將采用基于L1范數(shù)的稀疏度測量函數(shù)，將其約束在矩陣H中，構(gòu)成稀疏非負(fù)矩陣分解目標(biāo)函數(shù)模型如下：

式中：λ為正則化參數(shù)，可以控制稀疏程度及重構(gòu)誤差?；谑剑?）的迭代更新規(guī)則如下：

通過式（3）和式（4）反復(fù)迭代矩陣W和H，直至目標(biāo)函數(shù)收斂，輸出矩陣W和H。

2 基于SNMF算法的復(fù)合故障信號(hào)分離方法

通過上述分析，針對傳感器采集到的復(fù)合故障源信號(hào)，本文提出了基于稀疏非負(fù)矩陣分解的機(jī)械復(fù)合故障信號(hào)分離方法，其流程如圖1 所示，具體方法步驟如下：

圖1 復(fù)合故障診斷方法流程Fig.1 Flow chart of method about compound fault diagnosis

（1）對傳感器采集的初始信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，通過變換域分析，得到表示特征的時(shí)頻分布；

（2）對分解得到的時(shí)頻特征分布，采用改進(jìn)SNMF算法進(jìn)行降維處理，獲取矩陣W和矩陣H；

（3）將步驟（2）獲取的矩陣W和H轉(zhuǎn)換到時(shí)域中重構(gòu)，得到分解后的重構(gòu)波形；

（4）對重構(gòu)后的時(shí)域波形進(jìn)行包絡(luò)頻譜分析，提取解耦后信號(hào)的頻譜特征信息，完成故障診斷。

3 仿真信號(hào)分析

當(dāng)軸承發(fā)生故障時(shí)，會(huì)產(chǎn)生帶有沖擊成分的周期性信號(hào)。為驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，根據(jù)產(chǎn)生信號(hào)的特點(diǎn)，可構(gòu)建數(shù)學(xué)模型模擬軸承出現(xiàn)缺陷時(shí)的振動(dòng)信號(hào)如下：

式中：g= 0.1，為阻尼系數(shù)；s1(t)和s2(t)為復(fù)合源信號(hào)，分別取值：fn= 5 000 Hz和3 000 Hz；特征頻率f= 1/T，為74 Hz和182 Hz。

設(shè)信號(hào)采樣頻率fs= 100 kHz，隨機(jī)采樣0.5 s時(shí)間片段作為分析數(shù)據(jù)，通過式（6）隨機(jī)線性混合得到復(fù)合源信號(hào)S(t)，歸一化處理后其時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖2所示。

圖2 仿真信號(hào)的時(shí)域波形和包絡(luò)頻譜Fig.2 Waveform and envelope spectrum of simulated signals

根據(jù)本文所提出方法的流程步驟，對仿真復(fù)合源信號(hào)進(jìn)行分析驗(yàn)證。首先對復(fù)合源信號(hào)S(t)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，通過變換域分析，得到表征特征信息的時(shí)頻分布；其次采用稀疏非負(fù)矩陣分解算法對時(shí)頻分布的能量值進(jìn)行稀疏分解降維處理；然后將稀疏分解得到的特征分量在時(shí)域中重構(gòu)源信號(hào)；最后對解耦后的重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)頻譜分析，其包絡(luò)頻譜作歸一化處理后如圖3所示。

圖3 仿真信號(hào)的分離信號(hào)包絡(luò)頻譜Fig.3 Envelope spectrum of the simulated separated signals

由解耦后的重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)頻譜圖中能夠看出，經(jīng)過本文方法處理后，復(fù)合源信號(hào)S(t)中的兩種特征成分182 Hz 與74 Hz 可以得到有效分離。因此，基于以上仿真分析可以得出如下結(jié)論：本文所提出的方法可以有效地從混合信號(hào)中解耦分離得到源信號(hào)，在其包絡(luò)頻譜中也能提取出源信號(hào)特征頻率，驗(yàn)證了該方法的有效性。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

仿真信號(hào)的驗(yàn)證分析說明了方法的有效性，下面采用實(shí)際采集到的多故障信號(hào)進(jìn)一步驗(yàn)證所提出方法的特征分離效果。選取型號(hào)為NTN N204 的圓柱滾子軸承（參數(shù)見表1）為研究對象，在其外圈和滾動(dòng)體分別加工微小缺陷。將電機(jī)轉(zhuǎn)速設(shè)為1 300 r/min，采樣頻率為100 kHz，采樣時(shí)間為10 s。用加速度傳感器在軸承座的豎直方向和水平方向分別采集信號(hào)。根據(jù)軸承特征頻率計(jì)算公式得到滾動(dòng)體故障特征頻率fb= 101.4 Hz，外圈故障特征頻率fo= 86.2 Hz。

表1 軸承NTN N204參數(shù)Tab.1 Structure parameters of bearing NTN N204

將傳感器采集到的原始復(fù)合故障信號(hào)，隨機(jī)截取0.5 s 數(shù)據(jù)片段作分析，其歸一化后的時(shí)域波形和包絡(luò)頻譜圖如圖4所示。

圖4 信號(hào)時(shí)域圖和包絡(luò)頻譜Fig.4 Waveform and envelope spectrum of signal

時(shí)域波形圖中明顯出現(xiàn)了沖擊成分，表明該軸承已出現(xiàn)故障。頻域包絡(luò)譜中，外圈缺陷特征可以提取出來，其他成分被噪聲淹沒，難以準(zhǔn)確做出診斷。

根據(jù)本文所提出方法的流程步驟，對初始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析驗(yàn)證。首先對故障源信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，通過變換域分析，得到表征特征信息的時(shí)頻分布；其次采用稀疏非負(fù)矩陣分解算法對時(shí)頻分布的能量值進(jìn)行稀疏分解降維處理；然后將稀疏分解得到的特征分量在時(shí)域中重構(gòu)源信號(hào)；最后對解耦后的重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)頻譜分析，其包絡(luò)頻譜作歸一化處理后如圖5所示。

圖5 分離信號(hào)頻譜Fig.5 Spectrum of separated signals

可以看出，解耦后的信號(hào)存在兩種特征成分，通過提取識(shí)別分別對應(yīng)了滾動(dòng)軸承中兩種部件（滾動(dòng)體與外圈）的特征頻率，且滾動(dòng)體出現(xiàn)故障時(shí)的邊頻帶現(xiàn)象比較明顯，外圈與滾動(dòng)體的高次諧波成分也被明顯地提取出來，與理論相吻合。因此，通過實(shí)驗(yàn)分析表明，該方法對復(fù)合故障源信號(hào)可以進(jìn)行有效分離，其分離重構(gòu)后信號(hào)的包絡(luò)頻譜中也能夠提取出各自故障源特征頻率，驗(yàn)證了本文所提出方法在機(jī)械復(fù)合故障診斷中的有效性。

5 結(jié)束語

在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷領(lǐng)域，振動(dòng)信號(hào)通常蘊(yùn)藏著機(jī)械設(shè)備運(yùn)行的豐富信息，對其進(jìn)行監(jiān)測分析可以感知設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)。但在復(fù)雜工況下受環(huán)境噪聲干擾，采集到的信號(hào)特征信息較微弱且相互耦合，很難進(jìn)行有效地解耦分離并提取。針對上述問題，本文提出了基于稀疏非負(fù)矩陣分解的機(jī)械復(fù)合故障信號(hào)分離方法。采用基于L1范數(shù)的稀疏度測量函數(shù)的非負(fù)矩陣分解算法模型，通過引入正則化參數(shù)，控制稀疏程度及重構(gòu)誤差，在完成數(shù)據(jù)降維分解的基礎(chǔ)上，有效增強(qiáng)解耦后故障源的特征信息，實(shí)現(xiàn)了特征信息的成功分離。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可以將復(fù)合故障信號(hào)成功分離，在頻譜中提取故障特征信息，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械復(fù)合故障診斷。