左衛(wèi)兵， 劉夢(mèng)柯

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言

為了能更好地理解自然語(yǔ)言的語(yǔ)義及發(fā)展人類推理的形式理論, NOVK將經(jīng)典型理論推廣,提出了模糊型理論。模糊型理論是一種高階模糊邏輯,其與經(jīng)典型理論的最大區(qū)別在于真值由二值擴(kuò)展為多值。隨后, NOVK提出了EQ-代數(shù),對(duì)EQ-代數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)闡述[1]。眾多學(xué)者研究了EQ-代數(shù)的子類及其相關(guān)性質(zhì)[2-5]。

濾子在研究邏輯代數(shù)與相關(guān)的邏輯系統(tǒng)完備性中起著非常重要的作用。從邏輯觀點(diǎn)來看,濾子與邏輯系統(tǒng)的可證公式密切相關(guān), 濾子也被稱為演繹系統(tǒng)。目前,在EQ-代數(shù)中各種特殊濾子已經(jīng)被引入,如固執(zhí)前濾子、蘊(yùn)涵前濾子、正蘊(yùn)涵前濾子等[6-7]?；谀：枷? EQ-代數(shù)上模糊濾子理論也得到發(fā)展,模糊前濾子、模糊蘊(yùn)涵前濾子、模糊正蘊(yùn)涵前濾子[8-10]等概念的提出, 豐富了EQ-代數(shù)上的濾子理論。

受剩余格上廣義模糊濾子相關(guān)工作[11-14]的啟發(fā),本文在EQ-代數(shù)上提出(α,β]-模糊前濾子的概念,進(jìn)一步定義了(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子和(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子,得到了這些廣義模糊前濾子的等價(jià)刻畫、性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]一個(gè)(2,2,2,0)型代數(shù)E=〈E,∧,?,～,1〉,其中?x,y,z,s∈E滿足

1)〈E,∧,1〉是一個(gè)交換冪等幺半群(即有最大元1的∧半格);

2)〈E,?,1〉是一個(gè)交換幺半群,其中?是保序的(x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x∧y=x);

3)x～x=1；

4)((x∧y)～z)?(s～x)≤(z～(s∧y))；

5)(x～y)?(z～s)≤(x～z)～(y～s)；

6)(x∧y∧z)～x≤(x∧y)～x；

7)(x∧y)～x≤(x∧y∧z)～(x∧z)；

8)x?y≤x～y，

則E是一個(gè)EQ-代數(shù)。

定理1[6]E是一個(gè)EQ-代數(shù),?x,y,z∈E,有下列性質(zhì)成立：

1)x≤1～x=1→x≤y→x;

2)x→y≤(y→z)→(x→z);

3)x→y≤(z→x)→(z→y);

4)x→y≤(x∧z)→(y∧z);

5)如果x≤y,則z→x≤z→y,y→z≤x→z；

6)x?y≤x∧y≤x,y。

定義2[6]若E=〈E,∧,?,～,1〉是一個(gè)EQ-代數(shù),?≠F?E,如果F滿足下列條件，對(duì)?x,y,z∈E,有

L1)1∈F;

L2)如果x∈F,x→y∈F,則有y∈F，

則稱F是E的前濾子。

如果它同時(shí)滿足

L3)如果x→y∈F,則(x?z)→(y?z)∈F，

則稱F為濾子。

定義3[6]前濾子F如果滿足

L4)對(duì)?x,y,z∈E,有x→(y→z)∈F,x→y∈F,那么x→z∈F，

稱F為正蘊(yùn)涵前濾子。

如果它同時(shí)滿足L3),那么F叫做正蘊(yùn)涵濾子。

定義4[6]若E=〈E,∧,?,～,1〉是一個(gè)EQ-代數(shù),?≠F?E,如果F滿足L1)以及對(duì)?x,y,z∈E,有

L5)如果z→((x→y)→x)∈F,z∈F,則有x∈F，

則稱F是E的蘊(yùn)涵前濾子。

如果它同時(shí)滿足L3),那么F叫做蘊(yùn)涵濾子。

設(shè)E是EQ-代數(shù),μ:E→[0,1]是一個(gè)映射,則稱μ為E上的一個(gè)模糊集。

2 EQ-代數(shù)上的(α,β]-模糊前濾子

定義5若E是一個(gè)EQ-代數(shù),α,β∈[0,1]且α<β，如果其模糊集μ滿足下列條件，對(duì)?x,y∈E,有

F1)μ(1)∨α≥μ(x)∧β;

F2)μ(y)∨α≥μ(x)∧μ(x→y)∧β，

則稱μ為EQ-代數(shù)的(α,β]-模糊前濾子。

若它同時(shí)滿足

F3)?x,y,z∈E,μ(x→y)∨α≥μ((x?z)→(y?z))∧β，

則稱其為(α,β]-模糊濾子。

例1設(shè)E=({0,a,b,c,1},∧,?,～,1),其中0≤a,b≤c≤1,運(yùn)算“?”,“～”及“→”分別定義為

0abc1～0abc1→0abc100000001ba00011111a0a0aab00bbb,ab11aaba11bb,ab1b11baa111,c0abccc0ab1cc0ab1110abc110abc110abc1

則E是一個(gè)EQ-代數(shù)[7]。

設(shè)模糊集μ有如下形式:μ(0)=r1,μ(a)=r2,μ(b)=r3,μ(c)=r4,μ(1)=r5,其中0

設(shè)μ是EQ-代數(shù)上的模糊集,t∈(0,1],集合μt={x∈t|μ(x)≥t}稱為μ的水平集。

定理2EQ-代數(shù)上的模糊集μ是(α,β]-模糊前濾子,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于?t∈(α,β],非空集合μt是E的前濾子。

證明(必要性)若x∈μt,則μ(x)≥t,μ(1)∨α≥μ(x)∧β≥t∧β=t,所以μ(1)≥t,從而1∈μt;設(shè)x,x→y∈μt,則μ(x),μ(x→y)≥t,μ(y)∨α≥μ(x)∧μ(x→y)∧β≥t∧β=t,有μ(y)≥t,即y∈μt,所以μt是E的前濾子。

(充分性)?t0∈(α,β],非空集合μt是E的前濾子。令t0=μ(x)∧β,μt0是E的前濾子,有1∈μt0,則μ(1)∨α≥μ(1)≥t0=μ(x)∧β;令t1=μ(x)∧μ(x→y)∧β,所以μ(x)≥t1,即x∈μt1,μ(x→y)≥t1,即x→y∈μt1,因μt1是E的前濾子,所以y∈μt1,因此有μ(y)∨α≥μ(y)≥t1=μ(x)∧μ(x→y)∧β。所以μ是(α,β]-模糊前濾子。

定理3EQ-代數(shù)上的模糊集μ是(α,β]-模糊前濾子, 有下列性質(zhì)成立:

1)?x,y∈E,x≤y蘊(yùn)涵μ(y)∨α≥μ(x)∧β;

2)?x,y,z∈E,μ(x→z)∨α≥μ(x→y)∧μ(y→z)∧β。

證明1)x≤y有x→y=1,從而μ(x→y)=μ(1)。由F1)可知μ(1)∨α≥μ(x)∧β,即μ(x→y)∨α≥μ(x)∧β。由μ(y)∨α≥μ(x)∧μ(x→y)∧β,得μ(y)∨α≥(μ(x)∧μ(x→y)∧β)∨α=(μ(x)∨α)∧(μ(x→y)∨α)∧(β∨α)≥(μ(x)∨α)∧(μ(x)∧β)∧β=μ(x)∧β,即μ(y)∨α≥μ(x)∧β。

2)x→y≤(y→z)→(x→z),則μ((y→z)→(x→z))∨α≥μ(x→y)∧β。μ是(α,β]-模糊前濾子,所以μ(x→z)∨α≥μ(y→z)∧μ((y→z)→(x→z))∧β≥μ(y→z)∧μ(x→y)∧β∧β=μ(y→z)∧μ(x→y)∧β。

3 EQ-代數(shù)上的(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子

定義6若E是一個(gè)EQ-代數(shù), 如果其模糊集μ滿足下列條件，對(duì)?x,y,z∈E, 有

FF1)?x∈E,μ(1)∨α≥μ(x)∧β;

FF2)?x,y∈E,μ(y)∨α≥μ(x)∧μ(x→y)∧β;

FF3)?x,y∈E,μ(x→z)∨α≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β,

則稱μ為EQ-代數(shù)的(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子。

若同時(shí)滿足F3),則稱其為(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵濾子。

例2設(shè)E=({0,a,b,c,1},∧,?,～,1),其中0

0abc1～0abc1→0abc100000001ba00011111a0a0aab00bbb,ab11aaba11bb,ab1b11baa111,c0abccc0ab1cc0ab1110abc110abc110abc1

則E是一個(gè)EQ-代數(shù)[7]。

模糊集μ形式如下:μ(0)=r1,μ(a)=r2,μ(b)=μ(c)=r3,μ(1)=r4，其中0

定理4EQ-代數(shù)上的模糊集μ是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于?t∈(α,β],非空集合μt是E的正蘊(yùn)涵前濾子。

證明(必要性) 由定理2知只需證L3)。若x→(y→z),x→y∈μt,則μ(x→(y→z)),μ(x→y)≥t,從而μ(x→z)∨α≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β≥t∧β=t,即μ(x→z)≥t,所以x→z∈μt,故μt是E的正蘊(yùn)涵前濾子。

(充分性) 由定理2知只需證FF3)。?t∈(α,β],則對(duì)于?x,y,z∈E

1)若μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤α，有μ(x→z)∨α≥α≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β,即FF3)成立;

2)若μ(x→(y→z))∧μ(x→y)>α，令t=μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β,則μ(x→(y→z))≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β=t,μ(x→y)≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β=t,所以x→(y→z)∈μt,x→y∈μt,又因μt是E的正蘊(yùn)涵前濾子得x→z∈μt,所以μ(x→z)∨α≥μ(x→z)≥t=μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β, 所以μ是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子。

定理5設(shè)μ和ν是E上的兩個(gè)(α,β]-模糊前濾子,μ?ν且(μ(1)∨α)∧β=(ν(1)∨α)∧β,如果μ是E上的(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子, 則ν也是E上的(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子。

證明由μ?ν得

ν(x∧(x→y)→y)∨α≥μ(x∧(x→y)→y)∨α≥μ(x∧(x→y)→(x→y))∧μ(x∧(x→y)→x)∧β,

由x∧(x→y)≤x,x∧(x→y)≤x→y,得x∧(x→y)→x=1,x∧(x→y)→(x→y)=1，所以

μ(x∧(x→y)→x)=μ(1),μ(x∧(x→y)→(x→y))=μ(1),

因此

ν(x∧(x→y)→y)∨α≥μ(x∧(x→y)→y)∨α≥μ(1)∧β,

從而

ν(x∧(x→y)→y)∨α=(μ(1)∧β)∨α=(μ(1)∨α)∧(β∨α)=(μ(1)∨α)∧β=(ν(1)∨α)∧β。

另有x→(y→z)≤x∧y→y∧(y→z),x→y≤x→x∧y,所以

ν(x∧y→y∧(y→z))∨α≥ν(x→(y→z))∧β,ν(x→x∧y)∨α≥ν(x→y)∧β,

因而可得

(ν(x∧y→y∧(y→z))∧ν(x→x∧y))∨α≥ν(x→(y→z))∧ν(x→y)∧β,

從而

((ν(x∧y→y∧(y→z))∧ν(x→x∧y))∨α)∧β=

((ν(x∧y→y∧(y→z))∧ν(x→x∧y))∧β)∨(α∧β)≥ν(x→(y→z))∧ν(x→y)∧β,

由定理3的2)可得

ν(x→y∧(y→z))∨α≥ν(x∧y→y∧(y→z))∧ν(x→x∧y)∧β,

從而

ν(x→y∧(y→z))∨α≥(ν(x∧y→y∧(y→z))∧ν(x→x∧y)∧β)∨α≥

ν(x→(y→z))∧ν(x→y)∧β;ν(x→z)∨α≥ν(x→y∧(y→z))∧ν(y∧(y→z)→z)∧β,

從而

ν(x→z)∨α≥(ν(x→y∧(y→z))∧ν(y∧(y→z)→z)∧β)∨α=

(ν(x→y∧(y→z))∨α)∧(ν(y∧(y→z)→z)∨α)∧(β∨α),

再由ν(x∧(x→y)→y)∨α=(ν(1)∨α)∧β，得ν(y∧(y→z)→z)∨α=(ν(1)∨α)∧β,所以

ν(x→z)∨α≥(ν(x→y∧(y→z))∨α)∧((ν(1)∨α)∧β)∧β≥ν(x→y∧(y→z))∧(ν(1)∨α)∧β,

再由x→y≤1,得ν(1)∨α≥ν(x→y)∧β,因此

ν(x→z)∨α≥ν(x→(y→z))∧ν(x→y)∧β。

即FF3)成立，故ν是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子。

定理6設(shè)μ是E上的(α,β]-模糊前濾子, 則μ是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子，當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈E,μ(x→y)∨α≥μ(x→(x→y))∧β。

證明已知x→(x→y)≤1,由定理3的1)可得μ(1)∨α≥μ(x→(x→y))∧β,μ是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子, 則

μ(x→y)∨α≥μ(x→(x→y))∧μ(x→x)∧β=μ(x→(x→y))∧μ(1)∧β,

所以

μ(x→y)∨α≥(μ(x→(x→y))∧μ(1)∧β)∨α=

(μ(x→(x→y))∨α)∧(μ(1)∨α)∧β≥μ(x→(x→y))∧β。

反之需證FF3)。已知

x→(y→z)≤((y→z)→(x→z))→(x→(x→z)),x→y≤(y→z)→(x→z),

則由定理3的1)得

μ((y→z)→(x→z))∨α≥μ(x→y)∧β,μ(((y→z)→(x→z))→(x→(x→z)))∨α≥μ(x→(y→z))∧β,

所以

(μ((y→z)→(x→z))∧μ(((y→z)→(x→z))→(x→(x→z))))∨α≥μ(x→y)∧μ(x→(y→z))∧β,

從而

((μ((y→z)→(x→z))∧μ(((y→z)→(x→z))→(x→(x→z))))∨α)∧β=

((μ((y→z)→(x→z))∧μ(((y→z)→(x→z))→(x→(x→z))))∧β)∨(α∧β)≥

μ(x→y)∧μ(x→(y→z))∧β。

另由μ是(α,β]-模糊前濾子,得

(μ(x→(x→z))∨α)∨α=μ(x→(x→z))∨α≥μ(x→y)∧μ(x→(y→z))∧β,

所以

(μ(x→(x→z))∨α)∧β=(μ(x→(x→z))∧β)∨(α∧β)≥μ(x→y)∧μ(x→(y→z))∧β,

因此

μ(x→z)∨α≥(μ(x→(x→z))∧β)∨α≥μ(x→y)∧μ(x→(y→z))∧β,

所以μ是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子。

定義7若μ是E中的(α,β]-模糊前濾子, 若它滿足對(duì)于?x,y,z∈E,μ(x→(y→z))=μ(y→(x→z)),則稱μ具有弱交換性。

定理7設(shè)μ是E上滿足弱交換性的(α,β]-模糊前濾子, 則μ是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,當(dāng)且僅當(dāng)?x,y,z∈E,μ((x→y)→(x→z))∨α≥μ(x→(y→z))∧β。

證明已知μ滿足弱交換性且是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子, 則

μ((x→y)→(x→y))=μ(x→((x→y)→y))=μ(1);(x→y)→y≤(y→z)→((x→y)→z),

故

x→((x→y)→y)≤x→((y→z)→((x→y)→z)),

所以

μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))∨α≥μ(x→((x→y)→y))∧β=μ(1)∧β。

另外

μ(x→((x→y)→z))∨α≥μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))∧μ(x→(y→z))∧β,

所以

μ((x→y)→(x→z))∨α=μ(x→((x→y)→z))∨α≥

μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))∧μ(x→(y→z))∧β,

從而

μ((x→y)→(x→z))∨α≥(μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))∧μ(x→(y→z))∧β)∨α=

(μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))∨α)∧(μ(x→(y→z))∨α)∧(α∨β)≥

(μ(1)∧β)∧(μ(x→(y→z))∨α)∧β≥μ(1)∧β∧μ(x→(y→z))=μ(x→(y→z))∧β。

反之只需證FF3)。已知μ是(α,β]-模糊前濾子,則μ(x→z)∨α≥μ(x→y)∧μ((x→y)→(x→z))∧β,故

μ(x→z)∨α≥(μ(x→y)∧μ((x→y)→(x→z))∧β)∨α=

(μ(x→y)∨α)∧(μ((x→y)→(x→z))∨α)∧β≥μ(x→y)∧μ(x→(y→z))∧β,

所以μ是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子。

4 EQ-代數(shù)上的(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子

定義8若E是一個(gè)EQ-代數(shù), 如果其模糊集μ滿足下列條件，對(duì)?x,y,z∈E, 有

IF1)?x∈E,μ(1)∨α≥μ(x)∧β;

IF2)?x,y,z∈E,μ(x)∨α≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)∧β,

則稱μ為EQ-代數(shù)的(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子。

若同時(shí)滿足F3),則稱其為(α,β]-模糊蘊(yùn)涵濾子。

例3設(shè)E=({0,a,b,c,1},∧,?,～,1),其中0

0abc1～0abc1→0abc100000001ba00011111a0a0aab00bbb,ab11aaba11bb,ab1b11baa111,c0abccc0ab1cc0ab1110abc110abc110abc1

則E是一個(gè)EQ-代數(shù)[7]。

模糊集μ形式如下：μ(0)=r1,μ(a)=r2,μ(b)=r3,μ(c)=r4,μ(1)=r5,其中0

則可驗(yàn)證μ為EQ-代數(shù)上的(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子。

定理8EQ-代數(shù)上的模糊集μ是(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于?t∈(α,β],非空集合μt是E的蘊(yùn)涵前濾子。

證明(必要性) 若x∈μt,則μ(x)≥t,μ(1)∨α≥μ(x)∧β≥t∧β=t,所以μ(1)≥t,從而1∈μt;若z→((x→y)→x),z∈μt,則μ(z→((x→y)→x)),μ(z)≥t,從而μ(x)∨α≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)∧β≥t∧β=t,即μ(x)≥t,故x∈μt,所以μt是E的蘊(yùn)涵前濾子。

(充分性) ?t1∈(α,β],?x∈E,令t1=μ(x)∧β,μt是E的蘊(yùn)涵前濾子,所以1∈μt1,則μ(1)≥t1,從而μ(1)∨α≥μ(1)≥t1=μ(x)∧β;?t2∈(α,β],?x,y,z∈E,令t2=μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)∧β,則μ(z→((x→y)→x))≥t2,μ(z)≥t2,因此z→((x→y)→x)∈μt2,z∈μt2,故x∈μt2。所以

μ(x)∨α≥μ(x)≥t2=μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)∧β,

所以μ是(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子。

定理9EQ-代數(shù)上的模糊集μ是(α,β]-模糊前濾子,若對(duì)于?x,y∈E,x≤y,則μ(y)∨α≥μ(x)∧β。

證明已知x≤y,則有x→y=1,y≤1→y=(y→y)→y,由定理1的5)可知x→(y→y)→y≥x→y=1,所以x→(y→y)→y=1,故

μ(y)∨α≥μ(x→((y→y)→y))∧μ(x)∧β=μ(1)∧μ(x)∧β,

由此可得

μ(y)∨α≥(μ(1)∧μ(x)∧β)∨α=(μ(1)∨α)∧(μ(x)∨α)∧β≥

(μ(x)∧β)∧(μ(x)∨α)∧β=μ(x)∧β。

定理10設(shè)μ是E上的(α,β]-模糊前濾子, 則μ是(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子，當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈E,μ(x)∨α≥μ((x→y)→x)∧β。

證明已知μ(x)∨α≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)∧β。令z=1,得

μ(x)∨α≥μ(1→((x→y)→x))∧μ(1)∧β,(x→y)→x≤1→((x→y)→x),

則μ(1→((x→y)→x))∨α≥μ((x→y)→x)∧β,因此

μ(x)∨α≥(μ(1→((x→y)→x))∧μ(1)∧β)∨α=(μ(1→((x→y)→x))∨α)∧(μ(1)∨α)∧β≥

μ((x→y)→x)∧β∧(μ(1)∨α)∧β=μ((x→y)→x)∧β∧(μ(1)∨α)。

又因?yàn)?x→y)→x≤1,所以μ(1)∨α≥μ((x→y)→x)∧β,從而可得μ(x)∨α≥μ((x→y)→x)∧β。

反之需證IF2)。已知μ是(α,β]-模糊前濾子,所以μ((x→y)→x)∨α≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)∧β,由μ(x)∨α≥μ((x→y)→x)∧β,得

μ(x)∨α≥(μ((x→y)→x)∧β)∨α=(μ((x→y)→x)∨α)∧(α∨β),

故

μ(x)∨α≥(μ((x→y)→x)∨α)∧β≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)∧β,

因此μ是(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子。

定理11設(shè)μ和ν是E上的兩個(gè)(α,β]-模糊前濾子,μ?ν且(μ(1)∨α)∧β=(ν(1)∨α)∧β,如果μ是E上滿足弱交換性的(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子, 則ν也是E上的(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子。

證明設(shè)z=(x→y)→x,已知z≤1,x≤1→x,由定理15)可得x≤1→x≤z→x,所以(z→x)→y≤x→y,z=(x→y)→x≤((z→x)→y)→x,故z→(((z→x)→y)→x)=1,則μ(z→(((z→x)→y)→x))=μ(1),由弱交換性得μ(((z→x)→y)→(z→x))=μ(1)。因?yàn)棣淌?α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子, 則由定理10得

μ(1)∧β=μ(((z→x)→y)→(z→x))∧β≤μ(z→x)∨α,

故(μ(1)∧β)∨α≤μ(z→x)∨α,從而

(ν(1)∨α)∧β=(μ(1)∨α)∧β=(μ(1)∧β)∨(α∧β)≤μ(z→x)∨α≤ν(z→x)∨α。

又因ν是(α,β]-模糊前濾子, 所以有ν(x)∨α≥ν(z→x)∧ν(z)∧β,故

ν(x)∨α≥(ν(z→x)∧ν(z)∧β)∨α=(ν(z→x)∨α)∧(ν(z)∨α)∧(β∨α)≥

((ν(1)∨α)∧β)∧(ν(z)∨α)∧β≥(ν(z)∧β)∧(ν(z)∨α)∧β≥

(ν(z)∧β)∧ν(z)∧β=ν(z)∧β,

即ν(x)∨α≥ν(z)∧β=ν((x→y)→x)∧β。最后由定理10可得,ν是(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子。

定理12每個(gè)(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子是(α,β]-模糊前濾子。

證明已知y≤1→y,所以x→y≤x→(1→y)由定理9得

μ(x→((y→1)→y))∨α=μ(x→(1→y))∨α≥μ(x→y)∧β,

由(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子的定義得,μ(y)∨α≥μ(x→((y→1)→y))∧μ(x)∧β,則

μ(y)∨α≥(μ(x→((y→1)→y))∧μ(x)∧β)∨α=

(μ(x→((y→1)→y))∨α)∧(μ(x)∨α)∧(β∨α)≥μ(x→y)∧β∧(μ(x)∨α)∧β≥μ(x→y)∧μ(x)∧β,

即F2)。

定理13每個(gè)(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子。

證明由定理12知只需證FF3)。已知x∧(x→y)≤x,由定理15)得,x→y≤x∧(x→y)→y,再由x∧(x→y)≤x→y,得x∧(x→y)≤x∧(x→y)→y,故(x∧(x→y)→y)→y≤(x∧(x→y))→y,因此((x∧(x→y)→y)→y)→((x∧(x→y))→y)=1。由定理10可得

μ(x∧(x→y)→y)∨α≥μ(((x∧(x→y)→y)→y)→(x∧(x→y)→y))∧β=μ(1)∧β，

x→(y→z)≤x∧y→(y∧(y→z)),x→y≤x→(x∧y)。

故

μ(x∧y→(y∧(y→z)))∨α≥μ(x→(y→z))∧β,μ(x→(x∧y))∨α≥μ(x→y)∧β,

因此可得

(μ(x∧y→(y∧(y→z)))∧μ(x→(x∧y)))∨α≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β,

則

((μ(x∧y→(y∧(y→z)))∧μ(x→(x∧y)))∨α)∧β≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β,

所以

((μ(x∧y→(y∧(y→z)))∧μ(x→(x∧y)))∨α)∧β=

((μ(x∧y→(y∧(y→z)))∧μ(x→(x∧y)))∧β)∨(α∧β)=

((μ(x∧y→(y∧(y→z)))∧μ(x→(x∧y)))∧β)∨α。

再由定理3的2)知

μ(x→(y∧(y→z)))∨α≥μ(x∧y→(y∧(y→z)))∧μ(x→(x∧y))∧β，

故

μ(x→(y∧(y→z)))∨α≥(μ(x∧y→(y∧(y→z)))∧μ(x→(x∧y))∧β)∨α≥

μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β,

又可知μ(y∧(y→z)→z)∨α≥μ(1)∧β,所以

(μ(x→(y∧(y→z)))∧μ(y∧(y→z)→z))∨α≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧μ(1)∧β,

從而

((μ(x→(y∧(y→z)))∧μ(y∧(y→z)→z))∨α)∧β≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧μ(1)∧β,

((μ(x→(y∧(y→z)))∧μ(y∧(y→z)→z))∨α)∧β=(μ(x→(y∧(y→z))∧μ(y∧(y→z)→z)β∨(α∧β)。

由定理3的2)知

μ(x→z)∨α≥μ(x→(y∧(y→z)))∧μ(y∧(y→z)→z)∧β,

所以

μ(x→z)∨α≥(μ(x→(y∧(y→z)))∧μ(y∧(y→z)→z)∧β)∨α≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧μ(1)∧β,

進(jìn)而有

μ(x→z)∨α≥(μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧μ(1)∧β)∨α=

(μ(x→(y→z)∨α))∧(μ(x→y)∨α)∧(μ(1)∨α)∧β≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧(μ(x→y)∧β)∧β,

即

μ(x→z)∨α≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y)∧β,

因此μ是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子。

5 總結(jié)

本文在EQ-代數(shù)的基礎(chǔ)上, 提出了(α,β]-模糊前濾子, (α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子以及(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子的概念, 研究了這三類模糊前濾子的性質(zhì), 得到了它們的等價(jià)刻畫, 討論了三者之間的關(guān)系, 得到了每個(gè)(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子是(α,β]-模糊前濾子, 以及每個(gè)(α,β]-模糊蘊(yùn)涵前濾子是(α,β]-模糊正蘊(yùn)涵前濾子的結(jié)論, 對(duì)于在EQ-代數(shù)上的其他濾子研究具有積極的參考價(jià)值。