王體富，周宗紅

(昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，昆明 650000)

隨著對深部地下資源的需求以及地下空間的開發(fā)越來越大，諸多地下工程都面臨著巖體開挖的問題，如公路隧道以及地下礦產(chǎn)資源的開發(fā)等，都需要掌握巖體受載后產(chǎn)生破壞的一系列力學(xué)問題，以此作為巖體工程的理論依據(jù)。巖石內(nèi)部的細觀損傷最終導(dǎo)致巖石整體上的宏觀破壞，因此，采用脆性巖石宏-細觀損傷相結(jié)合的方法研究其失穩(wěn)破壞具有重要意義。目前，許多學(xué)者基于損傷力學(xué)對巖體失穩(wěn)破壞進行了深入的研究，其成果得到了普遍的認可。曹文貴等[1]在損傷力學(xué)的基礎(chǔ)上對巖石的損傷進行了重新定義，建立了圍壓下巖石損傷統(tǒng)計模型。朱其志等[2]基于熱動力學(xué)理論和均質(zhì)化方法從細觀損傷力學(xué)的方面得到了花崗巖的非彈性應(yīng)變和損傷演化的模型。楊強等[3]考慮到了巖體的損傷和塑性的耦合作用，推導(dǎo)出了在關(guān)聯(lián)流動法則下巖體塑性損傷本構(gòu)方程。袁小平等[4]基于細觀力學(xué)的角度，研究了巖石微裂紋擴展的彈塑性損傷本構(gòu)模型。杜修力等[5]通過巖體受載時真實應(yīng)力的概念和應(yīng)變等效假設(shè)，建立了巖石材料的三維彈塑性損傷本構(gòu)方程，并在后續(xù)的實驗中得到了驗證。此外，有學(xué)者基于線彈性斷裂力學(xué)來研究脆性巖石內(nèi)部微裂紋對其承載力的影響，并取得了很大的成果。任利等[6]通過單個線性裂紋受到壓縮荷載的剪切斷裂條件，明確了巖石裂紋受到壓縮荷載時張破裂紋剪切斷裂韌性的物理意義以及求解方法。趙均海等[7]基于雙剪統(tǒng)一強度理論得到了不同屈服準則和不同材料下的斷裂因子，并且適用于不同的受力情況，為充分發(fā)揮材料性能提供了理論支持。

基于細觀力學(xué)研究巖石受載后微裂紋的擴展、貫通直至巖石失穩(wěn)破壞有著重要的意義。在巖石斷裂力學(xué)中，將巖體的裂隙分為Ⅰ型裂紋(張拉型裂紋)、Ⅱ型裂紋(滑開型裂紋)、Ⅲ型裂紋(撕裂型裂紋)。并且?guī)r石內(nèi)部的裂紋并非只有一種單一類型，而是普遍存在各種裂紋相互作用的復(fù)合型裂紋。李曉照等[8]基于斷裂力學(xué)的理論，研究了巖石中存在的張拉裂紋對于巖石破壞產(chǎn)生的重要影響，將巖石的裂紋擴展、貫通引入到巖石宏觀破壞中，得到了脆性巖石的蠕變失效特性的宏-細觀力學(xué)模型，但其只考慮了巖石內(nèi)部存在的張拉裂紋，因此其模型存在一定的局限性。

在大多數(shù)巖土工程中，巖石內(nèi)部的微裂紋擴展、貫通是在壓剪復(fù)合應(yīng)力下形成的[9]，且Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋是最為普遍的[10-12]，單一裂紋的研究并不能很好地反映巖石內(nèi)部裂紋對脆性巖石造成宏觀破壞的影響。復(fù)合型裂紋的擴展、貫通才是巖石破壞最為關(guān)鍵的影響因素之一。因此，基于Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋來研究巖石的失穩(wěn)破壞有著更深的意義。鄧宗才等[13]依據(jù)斷裂力學(xué)得出復(fù)合裂紋最大拉應(yīng)變斷裂準則，但該準則較適用于混凝土材料，因此存在一定的局限性。除此之外，尹光志等[14]通過三點彎曲、四點彎曲的實驗對Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋進行了研究，得出了其斷裂判據(jù)。以上研究都是針對Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的失穩(wěn)，并沒有體現(xiàn)出Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的擴展、貫通對巖石產(chǎn)生宏觀破壞的影響。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，將Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的強度因子作了變換，得到了受裂紋初始斷裂角和Ⅰ型裂紋參數(shù)影響的Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋強度因子表達式。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出了含有Ⅰ型、Ⅱ型裂紋參數(shù)影響的應(yīng)力與裂紋擴展的關(guān)系式σ-l，再結(jié)合損傷-應(yīng)變關(guān)系推導(dǎo)出含Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋參數(shù)影響的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式σ-ε。并在此基礎(chǔ)上研究了Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的各種參數(shù)對于脆性巖石受壓產(chǎn)生失穩(wěn)破壞的影響。

1 理論模型

圖1 三軸壓應(yīng)力作用下巖石微裂紋擴展模型Fig.1 crack propagation model of rock under triaxial compressive stress

在三軸壓應(yīng)力作用下微裂紋表面產(chǎn)生一個正應(yīng)力σn和剪應(yīng)力τ，其表達式為：

(1)

(2)

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)理論，應(yīng)力強度因子Ke要達到巖石材料本身的斷裂韌度KIc時初始裂紋擴展才會發(fā)生。在此，本文忽略應(yīng)力強度因子在將要達到巖石材料斷裂韌度時發(fā)生的亞臨界裂紋擴展，認為只有在應(yīng)力強度因子達到巖石材料的斷裂韌度時裂紋才會發(fā)生擴展。在拉剪復(fù)合應(yīng)力作用下Ⅰ型裂紋應(yīng)力強度因子KⅠ和Ⅱ型裂紋應(yīng)力強度因子KⅡ表達式為[19]：

(3)

(4)

1.1 軸向應(yīng)力與裂紋擴展之間的關(guān)系

在脆性巖石斷裂力學(xué)中，依據(jù)最大周向拉應(yīng)力準則得出了在一般情況下裂紋的失穩(wěn)準則：

(5)

某種意義上可以將Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋轉(zhuǎn)化成一個等效的純Ⅰ型裂紋，其失穩(wěn)準則為：

Ke=KIc

將式(3)、(4)、(5)聯(lián)立起來，得到Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋和Ⅰ型裂紋之間應(yīng)力強度因子的關(guān)系為：

(6)

脆性巖石初始微裂紋擴展后，對于純Ⅰ型裂紋，考慮到翼型裂紋長度l，可以得到Ⅰ型裂紋應(yīng)力強度因子與裂紋長度之間的關(guān)系為[19-21]：

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)，考慮裂紋長度l，得到Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋應(yīng)力強度因子表達式：

(8)

當應(yīng)力強度因子達到巖石材料斷裂韌度時，裂紋開始擴展，根據(jù)(8)式可以得到巖石應(yīng)力狀態(tài)與裂紋擴展長度之間的關(guān)系為：

(9)

式中，

X1=(1-cos2β)(1+cosθ0)(A1c1+A1c2)+3sinθ0sin2β(A1c1+A1c2)

式中，β—裂紋角，(°)。

1.2 軸向應(yīng)變與軸向應(yīng)力之間的關(guān)系

在工程實際中，巖石材料的強度與其自身的內(nèi)部損傷機制以及流變特性是密切相關(guān)的。由于流變特性使巖石內(nèi)部產(chǎn)生微裂隙，并且隨著時間的推移，會導(dǎo)致裂紋的擴展，相互貫通，內(nèi)部損傷進一步加大，從而使巖石的強度和彈性模量降低，對于此類效應(yīng)的巖石材料，可以定義損傷演化方程為[22]：

D=1-e-mε

(10)

式中，D-損傷因子，m-實驗待定參數(shù)，ε-軸向應(yīng)變。

基于細觀微裂紋擴展的損傷定義為[20]：

(11)

聯(lián)立式(10)、(11)得到宏觀損傷應(yīng)變與細觀微裂紋擴展長度的表達式：

(12)

聯(lián)立式(12)、(9)，得到考慮了細觀微裂紋擴展的Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋巖石材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表達式：

(13)

式中，

Y1=(1-cos2β)(1+cosθ0)(A1J1+A1J2)+3sinθ0sin2β(A1J1+A1J2)；

2 結(jié)果與討論

基于以上理論，得到本文模型的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，并通過大理巖的常規(guī)三軸實驗結(jié)果來驗證本文研究的合理性。此外，著重研究了巖體內(nèi)部的初始損傷、裂紋間摩擦系數(shù)以及翼型裂紋長度對巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響，其中具體參數(shù)選取如下：

在巖石受壓過程中，認為達到裂紋臨界應(yīng)力σc時翼型裂紋才開始擴展，臨界應(yīng)力與裂紋間摩擦系數(shù)和裂紋尺寸的關(guān)系為[7]：

(14)

2.1 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

基于(13)式(D0取0.032)，得到了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。大理巖在高地應(yīng)力的情況下會表現(xiàn)出脆性向延性轉(zhuǎn)化，本文模型在一定圍壓范圍內(nèi)充分表現(xiàn)出了這一特點。圖2中，巖石應(yīng)力起初有一個上升，在到達應(yīng)力峰值后巖石應(yīng)力開始下降，并且隨著圍壓的增大，巖石的承載力也增大。本文通過一種均勻化思維對巖石的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進行簡化，無法準確地描述巖石應(yīng)變的局部化失效，是以全局化整體失效來進行巖石破壞的分析，進而研究Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋參數(shù)對巖石承載力的影響。因此，該模型得出的應(yīng)力-應(yīng)變曲線趨勢與圖3常規(guī)三軸實驗結(jié)果相似，并且在數(shù)值上有一定的可比性，表明了該模型具有一定的合理性。

圖2 不同圍壓下的模型軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.2 Axial stress-strain curve of the model under different confining pressure

圖3 常規(guī)三軸實驗全過程應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.3 stress-strain relationship curve in the whole process of conventional triaxial experiment

2.2 裂紋參數(shù)對巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

2.2.1 裂紋初始損傷對巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

在自然狀態(tài)下，巖石受到地應(yīng)力等諸多因素的影響，其內(nèi)部會產(chǎn)生初始損傷，這些初始裂紋損傷對于巖石的承載能力有著較大的影響。

在圖4中可以看出，在圍壓一定時，當軸壓在210 MPa以下時，初始損傷對于巖石承載能力的影響并不大，而隨著壓力的增加初始損傷對于巖石承載能力的影響逐漸明顯，這是由于在微裂紋的發(fā)展過程中巖石受壓達到臨界應(yīng)力時，裂紋才能產(chǎn)生失穩(wěn)破壞，在此之前，巖石承載能力受初始損傷的影響很小。圖5中，在相同初始損傷量時，圍壓越大巖石的峰值應(yīng)力越大。相同圍壓條件下，巖石的峰值應(yīng)力隨著初始損傷的增大而減小，在圍壓為30 MPa時，當初始損傷量為0.01的巖石峰值應(yīng)力約為299 MPa，初始損傷量為0.07的巖石峰值應(yīng)力約為101 MPa，相比減小了約66.2%，并且圍壓越大，巖石應(yīng)力峰值受初始損傷量的影響越敏感，因此在深埋巖體工程中，應(yīng)適當減少工程擾動對于巖體承載能力的破壞。

圖4 圍壓30 MPa下不同初始損傷對巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響Fig.4 Effect of different initial damage on the stress-strain relationship of rock under confining pressure 30 MPa

圖5 不同圍壓下初始損傷對峰值應(yīng)力的影響Fig.5 Effect of initial damage on peak stress under different confining pressure

2.2.2 初始裂紋尺寸對巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

基于(13)式，在圍壓50 MPa條件下，分析不同裂紋尺寸對于巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。通過圖6可以看出巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系隨初始裂紋尺寸的變化而變化，在相同的應(yīng)變條件下隨著初始裂紋尺寸的增大巖石的承載能力降低。裂紋尺寸為1 mm時應(yīng)力峰值約為400 MPa，當裂紋尺寸為5 mm時應(yīng)力峰值只有約320 MPa，應(yīng)力峰值下降了約20%。

圖6 圍壓50 MPa下初始裂紋尺寸對巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響Fig.6 Effect of initial crack size on stress-strain relationship of rock under confining pressure 50 MPa

2.2.3 裂紋間摩擦系數(shù)對巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

基于(13)式，在圍壓50 MPa條件下，分析裂紋間不同摩擦系數(shù)對于巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。通過圖7可以看出，在相同應(yīng)變量的情況下，隨著裂紋間摩擦系數(shù)的增大，軸向應(yīng)力也隨即增大。裂紋間摩擦系數(shù)為0.5時，應(yīng)力峰值約為549 MPa，當裂紋間摩擦系數(shù)為0.1時，應(yīng)力峰值達到了約342 MPa，應(yīng)力峰值下降了約37.7%。由此可見，裂紋間摩擦系數(shù)的降低，使得提高巖石的承載能力也大幅降低。此外，對比文獻[7]模型，在不同的裂紋尺寸以及不同裂紋間摩擦系數(shù)條件下本文模型得出的巖石承載能力都相對較小，這也印證了相較于考慮單一的純Ⅰ型裂紋(文獻[7])，巖石承載能力受Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋參數(shù)的影響較大。

圖7 圍壓50 MPa下裂紋間摩擦系數(shù)對軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響Fig.7 effect of friction coefficient between cracks on axial stress-strain relationship under confining pressure 50 MPa

2.2.4 翼型裂紋長度對巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

基于(9)式得到了圖8巖石在不同圍壓下裂紋的擴展與軸壓的關(guān)系。從中可以看出在相同的軸壓下，隨著圍壓的增加，裂紋的擴展變得困難，由此可見，圍壓在一定程度上遏制了裂紋的擴展。并且，在圍壓相同時，隨著裂紋的擴展軸向應(yīng)力先呈現(xiàn)出上升的趨勢，到達應(yīng)力峰值后，隨著裂紋進一步的擴展，軸向應(yīng)力逐漸減小，出現(xiàn)這種情況是因為巖石受壓之初裂紋開始萌生，隨著應(yīng)力逐漸增加，裂紋開始進一步擴展、貫通，到達應(yīng)力峰值后，巖石內(nèi)部損傷加大，巖石承載能力下降，直至破壞。

圖8 不同圍壓下翼型裂紋長度與軸壓的關(guān)系Fig.8 relationship between crack length and axial pressure of airfoil under different confining pressure

3 結(jié)論

本文基于損傷力學(xué)和巖石斷裂力學(xué)研究了脆性巖石內(nèi)部Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的擴展、貫通對于巖石承載能力的影響，將巖石受載后的宏細觀表征結(jié)合起來，推導(dǎo)出了脆性巖石受Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋參數(shù)影響的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式。在考慮到裂紋開裂角的前提下，研究了巖石的破壞受裂紋尺寸、裂紋間摩擦系數(shù)以及翼型裂紋長度的影響，對于從細觀機制方面研究巖石受壓產(chǎn)生失穩(wěn)破壞提供了一定的參考。具體結(jié)論如下：

1)細觀裂紋在巖石達到起裂應(yīng)力時開始擴展，擴展到一定程度后，巖石應(yīng)力達到峰值，隨著裂紋的繼續(xù)擴展、貫通，巖石的應(yīng)力下降。此外，不同的圍壓導(dǎo)致巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線有所不同，隨著圍壓的增大，巖石的承載能力上升，從細觀機制的角度可以解釋為圍壓的增大限制了裂紋的發(fā)展，宏觀上表現(xiàn)為巖石的承載能力增大。

2)在相同圍壓下，隨著圍壓增大，裂紋的長度減小，驗證了增大圍壓能夠遏制巖石內(nèi)部裂紋的擴展、貫通。巖石的承載能力隨著內(nèi)部的裂紋尺寸的增大而減小，其中裂紋尺寸從1 mm增加到5 mm時應(yīng)力峰值下降約20%。此外，裂紋間的摩擦系數(shù)也有著較大的影響，在相同圍壓下，裂紋間摩擦系數(shù)從0.5下降到0.1時，應(yīng)力峰值下降了約37.7%。裂紋間摩擦系數(shù)減小，大大降低了巖石的承載能力。