陳敬仝，劉 鍇，吳 坤，張國睿，左亞麗，鄭興榮

(隴東學院 電氣工程學院，甘肅 慶陽 745000)

1 引言

氫原子是所有元素中結構最簡單的原子，由一個帶負電的電子和一個帶正電的質子組成，是一個簡單的兩體系統(tǒng)，同時也是物理學中唯一有解析解的實例[1，2].因此，氫原子在量子力學建立過程及實際應用中有著重要地位，對整個現(xiàn)代量子理論體系的形成起到了舉足輕重的作用.所以對氫原子的研究，尤其是本征方程、波函數、電子云及其在空間各點的分布概率有深刻透徹的理解和掌握是必不可少的.隨著大數據、云計算和人工智能的發(fā)展，量子信息發(fā)展較快，我國在量子計算、量子通信和人工智能等尖端科技領域的領先優(yōu)勢[3]，已經向著量子化發(fā)展，因此對量子特性的研究勢在必得.而氫原子作為現(xiàn)代物理學中唯一有解析解的實例，在許多領域具有重要的作用，如強子物理學、粒子物理學、量子化學、量子力學和材料物理等[4-7].尤其在量子力學里，沒有比氫原子問題更簡單、更實用，而又有解析解的案例了.另外，運用氫原子及其特性推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對.所以，氫原子問題是個很重要的問題，對其相關特性的進一步研究至關重要[8-11].

近幾年對于氫原子及其電子的相關特性研究，已趨于白熱化[12-19].球諧函數作為氫原子拉普拉斯本征方程的角向解，其本身及其相關特性的研究很多[13-16]，而徑向波函數作為氫原子拉普拉斯本征方程的徑向解，近年來卻少有研究，或者單純的只是理論研究[20-24].如2008年陳鋼[20]討論了氫原子徑向波函數的“初等”解法，2019年盧欣[21]等人利用變分法得到了氫原子的徑向波函數和能級，1994年劉力[22]等人利用徑向波函數的振蕩性質研究了氫原子徑向波函數，1999年魏志勇[23]嚴格證明了氫原子徑向波函數正交歸一性，1989年喀興林[24]等人研究了氫原子徑向函數的階梯算符，基于此，本文在得到氫原子波函數解析解的基礎上，單獨對波函數徑向波函數做了理論推導，并利用MATLAB軟件獨立、詳細地繪制了氫原子徑向波函數及其電子空間分布概率的二維圖.這種將氫原子徑向波函數及其電子空間分布情況形象逼真顯示出來的方法，對研究整個氫原子及其軌道的可視化結果具有引導和輔助作用，更對整個量子力學的學習具有重要的指導意義.

2 氫原子徑向波函數及其薛定諤方程

對任一氫原子，以原子核為坐標原點，則氫原子的電子受原子核吸引的勢能為

(1)

其中：r是電子到核的距離，Z為氫原子核電荷量，es是電子的電荷量，與e的關系為

(2)

(3)

在球坐標系下，式(3)可表示為

(4)

基于數理方法，利用分離變量法[25]求解式(4)，整理可得

(5)

式中：R(r)僅是r的函數，Y(θ，φ)僅是θ和φ的函數.此方程的左邊僅與r有關，右邊僅與θ，φ有關，而r，θ和φ都是獨立變量，所以只有當等式兩邊都等于同一個常數時，等式(5)才能成立.以λ表示這個常數，則(5)式分離為兩個方程：

(6)

(7)

(6)式稱為氫原子波函數的徑向本征方程，(7)式稱為氫原子波函數的角向本征方程，其特性的研究已在前期工作中完成[14].

在前期的工作中[14]，已知

λ=l(l+1)，l=0，1，2，….

代入徑向方程(6)式，得

(8)

當E>0時，對于E的任何值，方程(8)都有滿足波函數條件的解，即氫原子體系的能量具有連續(xù)譜，這使得電子可以離開原子核而運動到無限遠處，即可以發(fā)生電離.當E<0時，E具有分立譜，電子的狀態(tài)是束縛態(tài).

借助合流超幾何方程，使用合流超幾何級數截斷為合流超幾何多項式，才能滿足波函數有界條件[4，25]，則記

β=l+1+nr=n，l=0，1，…，n=1，2，….

(9)

其中：nr為徑向量子數，n為總量子數或主量子數.因為nr和l都是正整數或零，所以n=1，2，3….將(9)式代入能量本征值公式中，可得為

(10)

由此可見，在粒子能量小于零的情況下，即在束縛態(tài)下只有當粒子能量取(10)式所給出的分立值時，波函數才有滿足有限性條件的解.

結合能量本征值，合流超幾何方程及其條件，得到氫原子的徑向波函數為

(11)

(12)

由氫原子體系波函數的歸一化條件

=1

及球諧函數Ylm(θ，φ)的歸一化條件[15]，可知Rnl(r)的歸一化條件為

(13)

將(11)式代入上式，可以算出徑向波函數的歸一化因子為

根據徑向波函數公式(11)，我們得到前面幾個徑向波函數Rnl的表達式：

……

3 數值仿真

氫原子波函數的徑向分布有幾種表示方法：(1)徑向波函數圖，即波函數的徑向部分Rnl對r作圖；(2)徑向波函數幾率密度圖，即Rnl2對r作圖；(3)電子云的徑向分布圖，即徑向分布函數D=r2Rnl2對r作圖.下面通過MATLAB軟件對其數值仿真，并加以討論、分析.

3.1 徑向波函數及其幾率密度的數值仿真與討論

結合式(11)和前面幾個徑向波函數的表達式，利用MATLAB軟件，對氫原子的徑向波函數及其幾率密度進行數值計算，得到了16組徑向波函數及其幾率密度的仿真圖，如圖1和圖2所示.

圖1 氫原子的徑向波函數的二維仿真圖

由圖1和圖2可以看出，當r發(fā)生變化時，徑向波函數及其幾率密度也隨之發(fā)生改變.當主量子數n越大時，原子軌道的最可幾徑向距離越大，則原子軌道的擴散程度越大；對單原子而言，當主量子數n相同時，角量子數l對原子軌道的徑向分布影響不大，僅隨角量子數l的增大，最可幾徑向距離稍有減小.

3.2 徑向分布函數的數值仿真與討論

盡管在量子力學中電子并無嚴格的軌道概念而只能給出位置的分布概率，但對于氫原子基態(tài)，量子力學給出的最可幾半徑r=a0(Bohr半徑)可由數值仿真圖的峰值給出.對于不同的主量子數n，角量子數l的值可以看出電子徑向分布有不同的峰值，其代表了電子在此處出現(xiàn)的概率較大.

基于此，利用MATLAB軟件，對氫原子的徑向分布函數進行數值計算，得到了16組電子云的徑向分布概率仿真圖，如圖3所示.

通過圖3我們發(fā)現(xiàn)，曲線最高點的位置是D最大的球殼，且曲線波峰的數目等于n-l；任意兩個及其以上波峰的圖形中，兩個相鄰波峰之間必有一個零點，以零點的r為半徑可作一球面，在此球面上電子云密度等于零，稱為節(jié)面，且節(jié)面的數目等于n-l-1.如，圖3中，圖形(4)對于n=3，l=0態(tài)的氫原子在徑向分布上有3-0-1=2個節(jié)面，圖形(5)對于n=3，l=1態(tài)的氫原子在徑向分布上有3-1-1=1個節(jié)面，圖形(11)對于n=5，l=0態(tài)的氫原子在徑向分布上有5-0-1=4個節(jié)面.

圖3 氫原子徑向分布函數的二維仿真圖

總之，圖中的峰值位置代表電子在此處出現(xiàn)的概率較大.這和舊量子力中的軌道概念有吻合之處.

3.3 能級簡并的數值計算與討論

電子的能級對m簡并，即En與m無關，這是由于勢場是中心力場(勢能僅與r有關，而與n，φ無關)；能級對l簡并，即En與l無關，則是庫侖場所特有的.在堿金屬原子中，價電子的勢場也是中心力場，由于核體積較大，不是嚴格的庫侖場.這樣，價電子的能級Enl僅對m簡并，對l則沒有簡并.

4 結論

本文在所學量子力學知識和數學物理方法的基礎上，確定出氫原子體系的薛定諤本征方程及其徑向和角向本征方程，通過分離變量法重點得出氫原子徑向波函數的解析解.在以上工作的基礎上，根據氫原子波函數的統(tǒng)計意義推導出了氫原子的徑向波函數，并用MATLAB軟件仿真繪制出氫原子徑向波函數及其幾率密度，電子空間分布函數的立體圖，得到了可視化的結果.結果表明，當r發(fā)生變化時，徑向分布幾率密度也隨之發(fā)生改變.當主量子數n越大時，原子軌道的最可幾徑向距離越大，則原子軌道的擴散程度越大；對單原子而言，當主量子數n相同時，角量子數l對原子軌道的徑向分布影響不大，僅隨角量子數l的增大，最可幾徑向距離稍有減小.分布函數曲線最高點的位置是D最大的球殼，且曲線波峰的數目等于n-l；任意兩個及其以上波峰的圖形中，任意兩個相鄰波峰之間必有一個零點，且節(jié)面的數目等于n-l-1.這種可視化的結果與理論推導的結果完全吻合，這對量子力學的學習具有重要的指導意義.