高子藝，林昊晟，鐘 奕，王梓旭，李宇軒，桂 容，譚佐軍

(華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

雙穩(wěn)系統(tǒng)是一類(lèi)有代表性的非線(xiàn)性系統(tǒng)，其本身的動(dòng)力學(xué)行為并不復(fù)雜，但當(dāng)系統(tǒng)中存在如噪聲、混沌等隨機(jī)力時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為將變得復(fù)雜. 例如，生物系統(tǒng)中的基因開(kāi)關(guān)受到內(nèi)部噪聲和外界環(huán)境噪聲等隨機(jī)因素的影響時(shí)，開(kāi)關(guān)時(shí)列、開(kāi)關(guān)時(shí)長(zhǎng)等是隨機(jī)的，即存在豐富的隨機(jī)現(xiàn)象. 1981年，意大利學(xué)者Benzi等人提出的隨機(jī)共振理論表明：雙穩(wěn)系統(tǒng)、弱周期信號(hào)和噪聲三者之間的協(xié)同作用能夠增強(qiáng)微弱信號(hào)的檢測(cè)能力，該理論改變了傳統(tǒng)噪聲有害的觀點(diǎn)[1-4].

目前，隨機(jī)共振被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域中[5-11]. 在實(shí)際系統(tǒng)中，除了各種噪聲干擾外，還會(huì)遇到混沌干擾的情況，如海洋雷達(dá)回波[12]、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)[13]等. 當(dāng)背景干擾是混沌信號(hào)時(shí)，雙穩(wěn)系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的行為與背景干擾是噪聲的情況類(lèi)似[14]. 除了理論計(jì)算、數(shù)值模擬外，采用非線(xiàn)性電路直觀展示及驗(yàn)證非線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，已經(jīng)成為研究非線(xiàn)性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的重要手段[15-17].

本實(shí)驗(yàn)通過(guò)搭建非線(xiàn)性雙穩(wěn)電路來(lái)模擬實(shí)際的雙穩(wěn)系統(tǒng)，利用洛倫茲(Lorenz)系統(tǒng)[18-19]產(chǎn)生的混沌信號(hào)作為隨機(jī)力來(lái)模擬隨機(jī)因素，基于LabVIEW平臺(tái)展示了隨機(jī)跳轉(zhuǎn)、混沌共振和非線(xiàn)性混沌現(xiàn)象.

1 數(shù)學(xué)模型

通過(guò)非線(xiàn)性雙穩(wěn)電路來(lái)模擬雙穩(wěn)系統(tǒng)，采用如下雙穩(wěn)系統(tǒng)模型

(1)

式(1)描述粒子在雙穩(wěn)系統(tǒng)中的狀態(tài).其中，x表示粒子的位置(也可以表示電學(xué)中的電壓或者電流等)，a和b分別為系統(tǒng)線(xiàn)性和非線(xiàn)性系數(shù).立方非線(xiàn)性雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)為

U(x)=-0.5ax2+0.25bx4.

(2)

如圖1所示，系統(tǒng)具有對(duì)稱(chēng)的雙勢(shì)阱.以力學(xué)為例，式(1)描述了經(jīng)典粒子在雙勢(shì)阱中的過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng).如果沒(méi)有外力驅(qū)動(dòng)，粒子最終會(huì)穩(wěn)定在其中1個(gè)勢(shì)阱中的最低點(diǎn)位置.

圖1 雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)

在上述雙穩(wěn)系統(tǒng)中加入隨機(jī)力，受隨機(jī)力驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)系統(tǒng)模型為

(3)

其中，ξ(t)為隨機(jī)力，可以是噪聲，也可以是其他偽隨機(jī)信號(hào)，如混沌信號(hào)等.k為隨機(jī)力強(qiáng)度.在隨機(jī)力作用下，粒子會(huì)在其中1個(gè)勢(shì)阱中振蕩.如果隨機(jī)力足夠大，粒子就會(huì)逃逸出當(dāng)前勢(shì)阱而進(jìn)入另一個(gè)勢(shì)阱，在2個(gè)勢(shì)阱中來(lái)回跳轉(zhuǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)隨機(jī)跳轉(zhuǎn).

輸入系統(tǒng)的隨機(jī)力ξ(t)由Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生，Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為[18]

(4)

(5)

(6)

其中，u,v,w為系統(tǒng)變量.Lorenz系統(tǒng)描述的是大氣運(yùn)動(dòng)，u正比于大氣對(duì)流運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度，v正比于上升流和下降流之間的溫度差異，w正比于垂直方向的溫度變化.μ，λ和δ為系統(tǒng)參量，μ為與空氣黏度和熱傳導(dǎo)有關(guān)的常量，λ為與引起對(duì)流和湍流有關(guān)的常量，δ為與對(duì)流縱橫比有關(guān)的外形因數(shù)參量.

本文實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)力都使用Lorenz系統(tǒng)的u變量，則式(3)可寫(xiě)為

(7)

此外，基于噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)共振廣泛應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)中，在式(7)中加入微弱信號(hào)也可以實(shí)現(xiàn)類(lèi)似于隨機(jī)共振的現(xiàn)象，該現(xiàn)象被稱(chēng)為混沌共振.

(8)

其中，Acos (2πft)表示弱周期信號(hào)，本身不足以驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生跳轉(zhuǎn)；A和f分別表示弱周期信號(hào)的振幅和頻率.

2 實(shí)驗(yàn)裝置

模型中的乘法及立方運(yùn)算利用模擬乘法器來(lái)實(shí)現(xiàn)，求和及積分運(yùn)算利用運(yùn)算放大器來(lái)實(shí)現(xiàn)，這樣Lorenz系統(tǒng)及立方雙穩(wěn)系統(tǒng)可以用模擬電路來(lái)實(shí)現(xiàn).

圖2為使用電路仿真軟件Multisim設(shè)計(jì)的模塊化混沌共振電路. 整個(gè)電路的設(shè)計(jì)包含3個(gè)模塊：Lorenz系統(tǒng)、信號(hào)輸入電路模塊和雙穩(wěn)系統(tǒng). 由Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌信號(hào)，由信號(hào)輸入電路實(shí)現(xiàn)將混沌信號(hào)或由混沌信號(hào)和弱周期信號(hào)疊加而成的混合信號(hào)輸入到雙穩(wěn)系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)跳轉(zhuǎn)或者混沌共振.

(a)Lorenz系統(tǒng)

考慮到Lorenz系統(tǒng)的變量強(qiáng)度會(huì)超過(guò)電路正常工作范圍，所以利用電路實(shí)現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)時(shí)，不能直接應(yīng)用模型[式(4)～(6)]，需要對(duì)模型中的系統(tǒng)變量進(jìn)行適當(dāng)比例的壓縮. 將壓縮比例設(shè)定為10，即(u,v,w)→(10u,10v,10w)，則Lorenz系統(tǒng)方程變換為

(9)

(10)

(11)

同時(shí)對(duì)Lorenz系統(tǒng)時(shí)間尺度t進(jìn)行壓縮，壓縮尺度設(shè)定為103,即t→103t.此外，Lorenz混沌系統(tǒng)參量設(shè)為典型值μ=10，λ=28，δ=8/3.則式(9)～(11)變換為

(12)

(13)

(14)

如圖2中Lorenz系統(tǒng)模塊所示，系統(tǒng)變量的方程為

(15)

(16)

(17)

在圖2仿真電路的基礎(chǔ)上，利用模擬乘法器AD633JN、運(yùn)算放大器AD712JN和AD713JN、電容、電阻等電子元器件可以實(shí)現(xiàn)硬件電路. 弱周期信號(hào)的產(chǎn)生以及信號(hào)的采集顯示和處理由LabVIEW軟硬件平臺(tái)圖形化編程實(shí)現(xiàn). 這樣去掉了函數(shù)信號(hào)發(fā)生器和示波器，使得整個(gè)儀器裝置小型化，便于攜帶，同時(shí)可以實(shí)時(shí)處理數(shù)據(jù).

圖3為整體實(shí)驗(yàn)裝置圖. 整體實(shí)驗(yàn)裝置由電源、電路板、NI-9215數(shù)據(jù)采集卡、NI-9263模擬信號(hào)輸出卡以及電腦組成. 電路由±15 V直流開(kāi)關(guān)電源供電，電路上半部分為雙穩(wěn)系統(tǒng)，下半部分為L(zhǎng)orenz系統(tǒng). 弱周期信號(hào)通過(guò)NI-9263的模擬信號(hào)輸出卡產(chǎn)生，觀測(cè)信號(hào)由NI-9215數(shù)據(jù)采集卡采集(采樣率為105Hz). 基于LabVIEW開(kāi)發(fā)平臺(tái)設(shè)計(jì)的圖形化程序如圖4所示.

圖3 整體裝置圖

圖4 LabVIEW開(kāi)發(fā)平臺(tái)程序設(shè)計(jì)圖

3 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及數(shù)據(jù)分析

3.1 蝴蝶吸引子

基于Lorenz系統(tǒng)電路，可以觀察混沌現(xiàn)象. 將混沌信號(hào)的u和w端接入NI-9215數(shù)據(jù)采集卡，基于LabVIEW開(kāi)發(fā)平臺(tái)圖形化編程可以顯示u和w的時(shí)序圖以及李薩如圖(又稱(chēng)為相圖).如圖5所示，左側(cè)為u和w的時(shí)序圖，可以發(fā)現(xiàn)非周期性的混沌信號(hào)表現(xiàn)出不可預(yù)測(cè)、類(lèi)似隨機(jī)性的特點(diǎn)；右側(cè)為相圖，顯示出蝴蝶形狀，這就是著名的Lorenz蝴蝶吸引子. 調(diào)節(jié)電阻Rμ，Rλ和Rδ的阻值，改變Lorenz系統(tǒng)參量μ，λ和δ，可以實(shí)時(shí)觀察吸引子的變化.

圖5 混沌信號(hào)和Lorenz蝴蝶吸引子

3.2 隨機(jī)跳轉(zhuǎn)

圖6 系統(tǒng)的勢(shì)阱、隨機(jī)跳轉(zhuǎn)和穩(wěn)態(tài)概率密度分布

對(duì)于閾值kc的測(cè)量，先調(diào)節(jié)電阻Rk，使得系統(tǒng)處于隨機(jī)跳轉(zhuǎn)狀態(tài)；然后不斷增加Rk，當(dāng)粒子正好不發(fā)生隨機(jī)跳轉(zhuǎn)時(shí)，記錄此時(shí)的Rk(本實(shí)驗(yàn)電路實(shí)測(cè)Rk約為4.21 kΩ)，即可測(cè)得閾值kc約為2.38.

圖7和圖8給出了2種情況：kkc時(shí)的實(shí)測(cè)結(jié)果.

(a)勢(shì)函數(shù)

(a)穩(wěn)態(tài)概率密度分布

圖7表示混沌信號(hào)的強(qiáng)度較低時(shí)的情況，時(shí)序圖和概率密度分布圖表明粒子在單勢(shì)阱中隨機(jī)振蕩.圖8為混沌信號(hào)強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí)的情況，從時(shí)序圖可以看出粒子在2個(gè)勢(shì)阱之間隨機(jī)跳轉(zhuǎn).由于勢(shì)阱是對(duì)稱(chēng)的，因此穩(wěn)態(tài)概率密度分布也近似對(duì)稱(chēng).

3.3 混沌共振

在系統(tǒng)中加入弱周期信號(hào)[式(8)]，可以得到與隨機(jī)共振類(lèi)似的現(xiàn)象，即混沌共振.這里的弱周期信號(hào)強(qiáng)度不足以單獨(dú)驅(qū)動(dòng)粒子進(jìn)行勢(shì)阱之間的跳轉(zhuǎn).固定周期信號(hào)的頻率f=10 Hz，測(cè)得此電路的振幅閾值A(chǔ)c≈1.95 V.當(dāng)A>Ac時(shí)，周期信號(hào)可以直接驅(qū)動(dòng)粒子在雙勢(shì)阱中來(lái)回振蕩.當(dāng)周期信號(hào)較弱(A=0.3 V)時(shí)，如圖9所示，調(diào)節(jié)電阻Rk，增強(qiáng)混沌信號(hào)強(qiáng)度k，由于混沌信號(hào)的振幅遠(yuǎn)大于弱周期信號(hào)，混合之后的信號(hào)中難以分辨出弱周期信號(hào)(圖9左上)，頻譜(圖9右上)也顯示出10 Hz的周期信號(hào)淹沒(méi)在混沌信號(hào)頻譜中. 將混合信號(hào)輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)，得到的輸出信號(hào)顯示出周期性(圖9左下黃色). 對(duì)比輸入的弱周期信號(hào)(圖9左下白色)和輸出信號(hào)，兩者同頻且相位基本保持一致. 頻譜圖顯示輸出信號(hào)的主頻為10 Hz.

由于勢(shì)阱間的跳轉(zhuǎn)很快，輸出波形類(lèi)似于方波，所以頻譜圖上也存在較強(qiáng)的高次諧波，例如30 Hz，50 Hz和70 Hz(圖9右下). 相比較原始的弱周期信號(hào)，輸出信號(hào)振幅大大增強(qiáng). 這表明混沌共振可以將弱周期信號(hào)從強(qiáng)的背景混沌信號(hào)中檢測(cè)出來(lái).

圖9 混沌共振現(xiàn)象的輸入、輸出信號(hào)和對(duì)應(yīng)的頻譜

使用信噪比來(lái)評(píng)估系統(tǒng)輸出信號(hào)對(duì)微弱信號(hào)的放大能力.本文通過(guò)信號(hào)功率Psignal比上噪聲功率Pnoise的對(duì)數(shù)來(lái)計(jì)算信噪比，即

(18)

信號(hào)功率定義為

Psignal=|Y(f)|2,

(19)

其中，|Y(f)|為經(jīng)過(guò)快速傅里葉變換后得到弱周期信號(hào)頻率對(duì)應(yīng)的幅值.噪聲功率定義為

(20)

其中，M=5.式(20)的含義為以弱周期信號(hào)頻率為中心的附近頻率的平均功率，也就是背景噪聲功率.

利用LabVIEW導(dǎo)出實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，可計(jì)算出混沌共振輸出信號(hào)的信噪比，如圖10所示.

(a)A=0.3 V,f=10 Hz

圖10(a)為固定弱周期信號(hào)A=0.3 V，f=10 Hz，得到信噪比RSNR隨混沌信號(hào)強(qiáng)度k變化的實(shí)測(cè)曲線(xiàn).隨著混沌信號(hào)強(qiáng)度增加，信噪比先是緩慢增加，在k≈2.08處出現(xiàn)明顯減小后急劇增加，之后再減小.圖10(b)則是固定混沌信號(hào)強(qiáng)度k=2.22，得到信噪比RSNR隨弱周期信號(hào)強(qiáng)度A變化的實(shí)測(cè)曲線(xiàn).隨著弱周期信號(hào)強(qiáng)度增加，信噪比先是顯著降低，再急劇增加，之后保持平穩(wěn).

從圖10可以看出在信噪比急劇增加之前出現(xiàn)了跳變情況. 跳變點(diǎn)的時(shí)序及對(duì)應(yīng)頻譜如圖11和圖12所示.

(a)時(shí)序圖

(a)時(shí)序圖

從圖11和圖12可以看出，混合輸入信號(hào)可以驅(qū)動(dòng)粒子發(fā)生跳轉(zhuǎn)，但輸出信號(hào)與弱周期信號(hào)不同步. 顯然輸出信號(hào)存在比弱周期信號(hào)頻率更低的頻率成分. 從頻譜圖上可看出由于比10 Hz更低的頻率成分占主導(dǎo)，所以信噪比會(huì)顯著減小. 混合輸入信號(hào)強(qiáng)度在跳變點(diǎn)處于臨界狀態(tài)，當(dāng)混合輸入信號(hào)強(qiáng)度小于臨界強(qiáng)度時(shí)，不能驅(qū)動(dòng)粒子跳轉(zhuǎn)；當(dāng)大于臨界強(qiáng)度時(shí)，則可以實(shí)現(xiàn)混沌共振.

4 結(jié)束語(yǔ)

基于混沌共振理論，利用Multisim軟件模塊化設(shè)計(jì)仿真電路進(jìn)而搭建了實(shí)際電路，用LabVIEW開(kāi)發(fā)平臺(tái)實(shí)時(shí)展示Lorenz系統(tǒng)、隨機(jī)跳轉(zhuǎn)和混沌共振. 隨機(jī)共振顛覆了人們長(zhǎng)期以來(lái)認(rèn)為“噪聲有害”的觀念，能將噪聲變廢為寶，為弱信號(hào)探測(cè)提供了新的思路. 本裝置有利于對(duì)經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行深入分析與研究，同時(shí)也可觀察研究非線(xiàn)性混沌現(xiàn)象，加深學(xué)生對(duì)混沌信號(hào)的認(rèn)識(shí)與理解，提高學(xué)生模塊化設(shè)計(jì)和搭建電路的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性科研思維.