李冬至,劉忠菊,伍豪佳,梁祿業(yè),李博琛,趙 騫

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 先進制造學(xué)院，廣東 揭陽 522000；2.沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

泰伯效應(yīng)(Talbot effect)由Henry Fox Talbot于1836年首次觀察到[1]. 當平面波入射到周期性衍射光柵時，在遠離光柵平面周期規(guī)則的距離處,光柵圖像重復(fù)出現(xiàn)，也稱為自成像或無透鏡成像[2-3]. 在光學(xué)領(lǐng)域，自成像一直是圖像處理[3-4]、空間濾波器[5]和光學(xué)測量[6]的熱點，在多個研究領(lǐng)域中都有應(yīng)用，例如聲學(xué)[7]、電子顯微鏡[8]、等離子體[9]、X射線[10]和玻色-愛因斯坦凝聚[11].

泰伯效應(yīng)是一種衍射效應(yīng)，周期規(guī)則的距離稱為泰伯長度，重復(fù)出現(xiàn)的圖像稱為泰伯正像. 此外，在泰伯長度的1/2處，也會出現(xiàn)泰伯負像，即相移了1/2個周期[12](光柵周期寬度橫向移動了1/2). 隨著探測器位置變化，當所成的像為正像或負像時，圖像最清晰且對比度出現(xiàn)極大值，每2個正像間距或負像間距即為泰伯距離[13]，而圖像最不清晰且對比度處于極小值時，則處于正像與負像兩者中間. 另外，相鄰正像和負像之間也會有自成像現(xiàn)象，在泰伯距離1/4處，自成像大小減半，并間隔1/2個光柵周期出現(xiàn)，對比度也相應(yīng)降低，在泰伯距離1/8處，圖像的周期和大小再次減半，對比度更低，最終形成地毯狀圖案(Talbot carpet)[14]. 因此，當對所成的像進行對比度分析時，由于存在周期性的特點，測量正像或負像對比度極大值所對應(yīng)的探測器位置之間的間隔，即可以得到1/2個泰伯距離的長度. 根據(jù)衍射理論可知，泰伯距離與光柵常量和光的波長有關(guān). 若已知入射光的波長，通過實驗圖像對比度曲線可測得平均泰伯距離，進而求出光柵常量.

1 實驗原理

根據(jù)菲涅耳衍射理論可知，對于具有周期性結(jié)構(gòu)的物體，可給出透過率函數(shù). 以圖1所示一維周期性光柵為例，設(shè)其透過率函數(shù)為

(1)

其中，n取整數(shù)，Cn表示各平面波分量的相對振幅與相位分布，d為光柵常量，x為平行光柵的觀察平面到原點的坐標距離.

(2)

觀察屏上的光場可以表示為

(3)

式(3)是卷積運算形式，通過傅里葉變換并應(yīng)用卷積定理，得

(4)

其中，

式(4)用到了編碼脈沖信號的傅里葉變換式以及相似性定理，代入式(2)得

(5)

(6)

(7)

因此，泰伯相鄰正像與負像間距(泰伯距離的1/2)為Δs=d2/λ.如果已知波長λ，則可求得光柵常量為

(8)

2 實驗設(shè)計與實現(xiàn)

由式(7)可知，泰伯距離與光柵常量之間存在聯(lián)系，使用平行光源照射光柵，沿光軸方向移動相機，記錄所成的光柵圖像.分析獲得的圖像，得出泰伯距離與光柵常量之間的具體數(shù)值關(guān)系，更換不同線數(shù)光柵進行測量，計算出平均值，驗證實驗的可靠性.

本實驗光源要求為單色平行光源，即單色平面波，若以單色球面波照射周期性結(jié)構(gòu)的物體時，泰伯距離Δz滿足

(9)

其中，R為球面波在泰伯像處的半徑，只有R?Δz(單色平面波)時，泰伯距離才為等間距，計算得到的平均泰伯距離才有意義.此外，非相干光源照明不會影響實驗，因為信號來源于衍射光線干涉的結(jié)果，故本實驗可在普通照明環(huán)境下進行.

如圖2所示，氦氖激光器(λ=632.8 nm)發(fā)出的激光經(jīng)擴束鏡后變?yōu)槠叫泄?，再?jīng)過濾光片去除雜散光的影響，將其照射到光柵，在沿光柵向后的方向不斷移動探測相機，探測相機就會接收到周期性變化的圖像，再利用LabVIEW軟件在計算機屏幕上進行即時顯示，并對接收到的圖像中心400×400像素點區(qū)域?qū)崟r計算光強二階中心矩，將其作為對比度(當采集像素點數(shù)足夠多，像素光強的二階中心矩等價于方差[16])來表示所統(tǒng)計圖像區(qū)域內(nèi)的同質(zhì)性[17](像素視覺的顯著性或平滑性)：

(10)

其中，M2為二階矩，N為輸入圖像像素個數(shù)，xi為第i個像素點的光強值，μ為總體像素光強的均值.以此統(tǒng)計數(shù)值來表征圖像對比度，從而形成對比度-探測相機位置曲線.

實驗中采用LabVIEW軟件的逐點尋峰函數(shù)實時記錄每個對比度峰對應(yīng)該處探測相機移動的位置，每2個峰之間的距離就是泰伯正負像間距. 當探測相機移動距離逐漸增大時，接收到的信號強度受周圍雜散光的影響增大，從而會導(dǎo)致圖像信噪比降低. 因此，根據(jù)絲杠導(dǎo)軌的長度只選取從測量開始的幾個峰值的間距，再取平均值作為泰伯正負像間距，以此確定對比度隨探測器移動變化曲線的峰值，分析每個峰之間的距離并求出正負像的平均間隔Δs，代入式(8)，得到光柵常量.

圖2 實驗原理光路示意圖

圖像獲取、控制探測相機移動、計算二階矩、自動尋峰和結(jié)果計算均由LaVIEW軟件編寫程序完成，全程自動化采集處理，從而去除了人為因素的干擾.

為實現(xiàn)相機沿光軸方向移動，利用步進電機來控制探測相機移動. 采用的步進電機上的絲杠螺距為4 mm，在非細分的情況下，1個脈沖對應(yīng)轉(zhuǎn)動1.8°，驅(qū)動器采用4細分，由于每個脈沖對應(yīng)行進距離為0.005 mm，故20個脈沖對應(yīng)的行進距離為0.1 mm，為實時分析圖像位置提供了探測相機移動距離的數(shù)據(jù)參考.

標識為10線的待測光柵，理論上的光柵常量d=0.1 mm，但實驗得到的光柵常量測量值與標識值存在較大偏差，這可能是低線數(shù)光柵的生產(chǎn)精度不高和使用過程中的損耗造成的. 利用實驗室現(xiàn)有的機器視覺綜合測量系統(tǒng)測量此光柵，具體步驟為：

1)將標準板置于機器視覺綜合測量系統(tǒng)中，標準板上2個相鄰點間的距離為0.1 mm (標準距離).

2)對標準板圖像進行拍攝，計算0.1 mm所對應(yīng)的像素點個數(shù)，從而得到單個像素點所對應(yīng)的長度約為0.015 82 mm.

3)將待測光柵置于儀器中，拍攝圖像，并選取多個光柵線對進行計算(選取拍攝清晰的連續(xù)48個光柵線對)，得出對應(yīng)的像素點個數(shù)為299.

因此，該10線光柵的d≈0.098 5 mm，與標識值確有偏差.

3 數(shù)據(jù)測量與分析

3.1 實驗測量10線光柵的光柵常量

圖3所示為LabVIEW軟件操作界面，左側(cè)為實驗實時圖像及橫向光強分布圖，右側(cè)為400×400像素中心矩所得到的對比度-探測相機位置曲線，可以觀察到曲線除了5個主峰外，在1個泰伯距離內(nèi)還存在一些很有規(guī)律的次峰，這些次峰是由衍射和干涉形成的周期子圖像造成的. 通過確定對比度主峰的位置，可以確定泰伯距離，由于測量精度等原因，這些子圖像成像時的對比度峰顯現(xiàn)效果較差，但對實驗的最終結(jié)果沒有影響.

通過以上方法得到的測量結(jié)果如表1所示. 根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)求得平均相鄰峰值為15.326 mm，代入式(8)，計算可得光柵常量d1=(0.098 4±0.000 2) mm. 利用機器視覺系統(tǒng)測量得到該光柵的光柵常量為0.098 5 mm. 經(jīng)比較，2種不同方法得到的結(jié)果非常接近,證明了該實驗方法的有效性.

表1 10線光柵的測量結(jié)果

3.2 實驗測量25線光柵的光柵常量

為進一步驗證實驗方法的可靠性，對標識為25線光柵的光柵常量進行測量，測量結(jié)果如表2所示. 根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)求得平均相鄰峰值為2.531 mm，代入式(8)，計算可得光柵常量d2=(0.040 0±0.000 2) mm，得到的結(jié)果與利用機器視覺系統(tǒng)測量得到的光柵常量(0.039 9 mm)接近，進一步證明了該實驗方法的有效性.

表2 25線光柵的測量結(jié)果

4 結(jié) 論

基于泰伯效應(yīng)測量光柵常量的方法和裝置，可實現(xiàn)實時監(jiān)控和自動化采集測量，裝置結(jié)構(gòu)簡單、測量結(jié)果誤差小、準確度高，且與機器視覺系統(tǒng)的測量結(jié)果接近，證明本文實驗方法的有效性. 該實驗裝置既可用于物理光學(xué)實驗教學(xué)，又可用于對光柵或其他周期性物體的質(zhì)量檢測. 另外，本實驗還能夠幫助學(xué)生掌握自動化測量的實驗思路和方法，并加強學(xué)生對泰伯效應(yīng)實驗過程的理解.