趙文鵬 劉 昆

中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣州 510006

0 引 言

控制力矩陀螺(CMG-Control Moment Gyro)是航天器姿態(tài)控制的一類執(zhí)行機(jī)構(gòu)，對(duì)航天器姿態(tài)控制和保持航天器長(zhǎng)期穩(wěn)定運(yùn)行起到關(guān)鍵作用。CMG以其機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、輸出力矩大等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用到航天器上，“天宮一號(hào)”和“天宮二號(hào)”即選用了CMG作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)[1-2]。

CMG由高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和框架伺服系統(tǒng)組成，框架伺服系統(tǒng)的控制精度影響整個(gè)CMG系統(tǒng)的輸出力矩精度。CMG框架伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速一般很低，系統(tǒng)中存在的轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)嚴(yán)重影響了其控制精度[3-4]。當(dāng)框架電機(jī)驅(qū)動(dòng)框架低速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí), 沿框架軸方向主要會(huì)受到3種干擾力矩：摩擦力矩、阻尼力矩、以及高速轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的高頻干擾力矩。相關(guān)學(xué)者對(duì)CMG伺服系統(tǒng)的控制算法做出了很多研究。文獻(xiàn)[5]通過(guò)建立干擾力矩觀測(cè)器抑制了摩擦力矩等干擾力矩的影響，但抑制效果比較有限。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模控制器來(lái)抑制干擾力矩，在一般轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)工作性能得到了一定的提升，但在低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)控制效果并不明顯。文獻(xiàn)[8]通過(guò)自抗擾控制(ADRC-Auto Disturbance Rejection Control)有效抑制了系統(tǒng)中干擾力矩的影響，在1rad/s的轉(zhuǎn)速設(shè)定下具有較好的仿真效果，同時(shí)提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。傳統(tǒng)的ADRC是非線性的，并且存在較多待整定的參數(shù)，在控制器設(shè)計(jì)上存在較大困難，不便于工程應(yīng)用[9]。為了減少ADRC的整定參數(shù)，簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)，高志強(qiáng)提出了線性自抗擾控制器(LADRC-Linear Auto Disturbance Rejection Control)，引入了頻域中帶寬的概念，將控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)與控制器帶寬聯(lián)系起來(lái)，給出了LADRC的參數(shù)整定公式，對(duì)于實(shí)際的工程應(yīng)用具有重要的意義[10]。

在CMG框架伺服系統(tǒng)的干擾力矩中，由動(dòng)不平衡引起的高頻干擾力矩的幅值與高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的平方成正比，頻率與高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速同頻，是一種大幅值高頻干擾力矩，對(duì)CMG框架控制精度帶來(lái)了較大影響。相關(guān)文獻(xiàn)[11]指出，傳統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)于常值外界擾動(dòng)能夠?qū)崿F(xiàn)漸近跟蹤，對(duì)于CMG框架伺服系統(tǒng)中存在的周期性擾動(dòng)無(wú)法完全估計(jì)，從而產(chǎn)生轉(zhuǎn)速波動(dòng)。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文建立了CMG框架伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，針對(duì)轉(zhuǎn)速環(huán)設(shè)計(jì)了LADRC控制器，并利用CMG框架伺服系統(tǒng)中存在的由高速轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的周期性擾動(dòng)的先驗(yàn)信息，改進(jìn)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，適當(dāng)增加擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器階數(shù)來(lái)提高系統(tǒng)跟蹤性能。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的LADRC對(duì)于周期性擾動(dòng)抑制效果顯著，提高了CMG框架伺服系統(tǒng)的低速控制精度。

1 CMG框架伺服系統(tǒng)建模及擾動(dòng)分析

1.1 CMG框架伺服系統(tǒng)建模

CMG框架電機(jī)通常采用永磁同步電機(jī)(PMSM)，而永磁同步電機(jī)具有非線性、多變量、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，在建立數(shù)學(xué)模型前，通常做如下假設(shè)[12]：

1)轉(zhuǎn)子永磁磁場(chǎng)在空間的分布與定子電樞繞組中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)嚴(yán)格按正弦規(guī)律變化；

2)永磁體材料電導(dǎo)率為0，永磁體內(nèi)部磁導(dǎo)率與空氣相同；

3)忽略定、轉(zhuǎn)子鐵芯磁阻，不計(jì)磁滯損耗和渦流損耗的影響；

4)定子繞組三相嚴(yán)格對(duì)稱分布；

5)轉(zhuǎn)子上無(wú)阻尼繞組。

根據(jù)以上假設(shè)，采用id=0的矢量控制，可以建立兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(dq坐標(biāo)系)下的PMSM數(shù)學(xué)模型，如下所示：

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

Te=1.5npψfiq

(1)

運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

d/q軸電流方程：

(3)

式(1)～(3)中，相關(guān)變量含義如表1所示。

表1 PMSM數(shù)學(xué)模型參數(shù)

矢量控制原理如圖1所示，采用了電流內(nèi)環(huán)和轉(zhuǎn)速外環(huán)的雙閉環(huán)控制[13]。

圖1 矢量控制原理框圖

1.2 CMG框架伺服系統(tǒng)擾動(dòng)分析

CMG框架伺服系統(tǒng)的擾動(dòng)包括了摩擦力矩，阻尼力矩，齒槽效應(yīng)和磁通畸變引起的脈動(dòng)力矩以及轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的高頻擾動(dòng)力矩。其中齒槽效應(yīng)和磁通畸變引起的脈動(dòng)力矩可通過(guò)電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)和磁通補(bǔ)償?shù)姆绞礁纳?。摩擦力矩造成框架伺服系統(tǒng)產(chǎn)生低速爬行以及極限環(huán)振蕩等，可通過(guò)分析摩擦產(chǎn)生的機(jī)理，建立摩擦力模型進(jìn)行前饋補(bǔ)償解決[14]。

由于制造工藝等原因，陀螺房?jī)?nèi)的高速轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布并不完全均勻，其在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)偶不平衡力矩，使得高速轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)主軸相交于質(zhì)心，但與其幾何中心不重合，會(huì)在如圖2所示沿框架軸xg方向上產(chǎn)生一個(gè)力矩分量，從而對(duì)框架施加擾動(dòng)力矩，嚴(yán)重影響了CMG框架伺服系統(tǒng)的控制精度[15]。相關(guān)學(xué)者發(fā)現(xiàn)CMG中偶不平衡力矩沿框架軸方向的力矩分量為[16]

T0=-JrΩ2ArsinΩt

(4)

式中,Jr為高速轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ar為一個(gè)常系數(shù)；Ω為高速轉(zhuǎn)子的角速度。

圖2 CMG坐標(biāo)系

CMG框架電機(jī)運(yùn)行轉(zhuǎn)速很低，而轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的擾動(dòng)為大幅值高頻擾動(dòng)，頻率遠(yuǎn)超CMG框架伺服系統(tǒng)的帶寬，常規(guī)的控制器控制效果不佳。在框架伺服系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，高速轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)運(yùn)行，轉(zhuǎn)速基本不變，根據(jù)式(4)，動(dòng)不平衡引起的干擾頻率也基本不變。因此，本文根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起固定頻率擾動(dòng)的模態(tài)信息，對(duì)LESO重新進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2 LADRC原理

傳統(tǒng)的ADRC由跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和非線性誤差反饋控制律三部分組成。跟蹤微分器通過(guò)安排過(guò)渡過(guò)程，解決了傳統(tǒng)PID控制器響應(yīng)速度和超調(diào)之間的矛盾。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器將系統(tǒng)未建模部分和未知擾動(dòng)歸結(jié)為“總擾動(dòng)”，替代誤差積分反饋?zhàn)饔?，不僅能夠抑制常值干擾，對(duì)于一些隨機(jī)干擾也能有很好的抑制效果[17]。ADRC并不依賴于被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，只需要知道被控對(duì)象的階數(shù)和系統(tǒng)輸入矩陣的大概數(shù)值即可。但是因?yàn)榭刂破髟O(shè)計(jì)復(fù)雜，參數(shù)整定無(wú)實(shí)際物理意義上的指導(dǎo)，所以傳統(tǒng)的ADRC難以應(yīng)用于工程實(shí)際中。由于轉(zhuǎn)速作為系統(tǒng)最終輸出，大部分?jǐn)_動(dòng)都發(fā)生在轉(zhuǎn)速環(huán)中，為便于工程應(yīng)用，只將轉(zhuǎn)速控制算法改為L(zhǎng)ADRC，電流環(huán)保留原PI控制。

線性跟蹤微分器(LTD)：

(5)

式中,v*為給定值；v1為v*的跟蹤信號(hào)；v2為v1的微分信號(hào)；r為跟蹤微分器的跟蹤快慢因子，r越大，跟蹤速度越快，但是r過(guò)大也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)。

線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)：

(6)

式中，y為輸出值；z1為y的觀測(cè)值；e為觀測(cè)誤差；z2為擴(kuò)張擾動(dòng)的估計(jì)值；β1和β2為狀態(tài)反饋的增益系數(shù)，增益越大，觀測(cè)器對(duì)輸出和擾動(dòng)跟蹤能力越強(qiáng)。

線性誤差反饋控制律(LSEF)：

u=k1(v1-z1)-z2/b

(7)

式中，k1為反饋控制系數(shù)， LADRC速度控制原理框圖如圖3所示。

圖3 LADRC原理框圖

3 改進(jìn)LADRC的PMSM速度控制器設(shè)計(jì)

在PMSM系統(tǒng)中，速度環(huán)控制器選用一階的LADRC，根據(jù)式(1)～(2)選擇狀態(tài)量為[x1,x2]T=[ωr,-(TL+Tf+Dωr)/J]，輸入量u=iq。得到狀態(tài)方程為

(8)

根據(jù)(6)式得到LESO的矩陣形式

(9)

則根據(jù)式(8)～(9)可以得到誤差狀態(tài)方程

(10)

(11)

根據(jù)式(11)可對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，則

(12)

根據(jù)重構(gòu)后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)LESO如下

(13)

根據(jù)式(13)可知LESO的特征方程為

(14)

通過(guò)帶寬法來(lái)整定LESO的增益系數(shù)，由式(14)可得整定公式為

(15)

式中，ωo為L(zhǎng)ESO的帶寬。

4 改進(jìn)LADRC的穩(wěn)定性證明

根據(jù)式(12)((13)可得到狀態(tài)重構(gòu)后的LESO誤差方程

(16)

為了使觀測(cè)誤差趨近于0，矩陣Ae′必須具有Hurwitz性，即保證特征方程|sI-Ae′|的特征根具有負(fù)實(shí)部，利用觀測(cè)器帶寬的概念可選取特征方程為：

(17)

(18)

則特征方程為

(19)

根據(jù)式(16)、(18)和(19)可以得到

(20)

(21)

(22)

(23)

現(xiàn)令

(24)

(25)

則式(22)和(23)合寫為

(26)

在式(26)中假設(shè)右邊只有第1項(xiàng)，則根據(jù)式(25)一定能保證A2的Hurwitz性[18]，即保證觀測(cè)器觀測(cè)誤差漸近趨近于0。而第二項(xiàng)的h1為擴(kuò)張狀態(tài)不含周期性干擾項(xiàng)x22的微分量，是誤差的有界函數(shù)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，可認(rèn)為h1=0，則證得

(27)

5 仿真校驗(yàn)

本次設(shè)計(jì)通過(guò)Simulink建立了基于LADRC的速度控制的CMG低速框架伺服系統(tǒng)模型，采用國(guó)防科技大學(xué)研制的磁懸浮控制力矩陀螺作為研究對(duì)象，其框架電機(jī)的參數(shù)如表2所示[19]。

表2 框架電機(jī)參數(shù)

設(shè)計(jì)線性跟蹤微分器的快慢因子r=1000，控制力矩陀螺框架電機(jī)轉(zhuǎn)速一般不超過(guò)3r/s，則控制器帶寬要大于3Hz，為保留一定的裕度，綜合選取控制器帶寬ωc=150rad/s，得到控制器增益k1=150。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，控制器帶寬ωc與觀測(cè)器帶寬ωo的關(guān)系一般為ωo=3～5ωc，則選擇LESO帶寬ωo=500rad/s。假定陀螺房?jī)?nèi)高速轉(zhuǎn)子保持穩(wěn)態(tài)運(yùn)行速度為Ω=10000r/min，則根據(jù)式(10)，假設(shè)動(dòng)不平衡引起的擾動(dòng)力矩為T0=sinΩt，則根據(jù)整定公式(15)可設(shè)計(jì)LESO增益系數(shù)。

本文通過(guò)比較傳統(tǒng)的LADRC速度控制器與所設(shè)計(jì)的改進(jìn)的LADRC速度控制器，研究高速轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的擾動(dòng)力矩對(duì)于CMG框架低速性能的影響以及系統(tǒng)性能的變化。分別設(shè)定轉(zhuǎn)速給定值為0.1rad/s和1rad/s，圖4～5顯示了傳統(tǒng)的LADRC在穩(wěn)態(tài)時(shí)存在周期性變化的穩(wěn)態(tài)誤差和理論分析一致。傳統(tǒng)的LADRC只能對(duì)常值擾動(dòng)漸近收斂到0，無(wú)法抑制周期性變化的擾動(dòng)。而改進(jìn)的LADRC基本完全抑制了由轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的周期性擾動(dòng)。由圖6可以看出傳統(tǒng)的LADRC估計(jì)誤差在上界為0.05rad/s，下界為-0.05rad/s的領(lǐng)域內(nèi)周期性變化，而改進(jìn)的LADRC估計(jì)誤差在穩(wěn)態(tài)時(shí)能夠收斂到0。

圖4 1rad/s給定下轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線

圖5 0.1rad/s給定下轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線

圖6 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)下穩(wěn)態(tài)誤差曲線

航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)給定的CMG框架伺服電機(jī)的參考速度指令帶寬不高于3Hz，則設(shè)定轉(zhuǎn)速給定值頻率為3Hz，幅值為1rad/s的正弦給定指令。圖7可以看出傳統(tǒng)的LADRC速度周期性波動(dòng)明顯，由轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的擾動(dòng)力矩使得框架角速度以0.05rad/s幅度波動(dòng)。相較而言，改進(jìn)的LADRC下框架角速度幾乎無(wú)波動(dòng)，轉(zhuǎn)速跟蹤誤差幅值約為0.02rad/s，相位滯后小于0.02rad。干擾抑制效果明顯，轉(zhuǎn)速控制性能得到改善。

圖7 正弦給定指令下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

除了CMG高速轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的周期性擾動(dòng)外，轉(zhuǎn)換到dq坐標(biāo)系后，系統(tǒng)一般還受到6次、12次以上的諧波干擾，為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)對(duì)多源外界干擾的抑制效果，現(xiàn)同時(shí)加入CMG高速轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的周期性干擾和6次、12次的諧波干擾，并在0.1s時(shí)突加1N·m的負(fù)載。圖8可以看出在周期性干擾和諧波干擾的1rad/s給定下，改進(jìn)的LADRC不僅對(duì)周期性干擾抑制效果明顯，對(duì)于諧波干擾也有一定的抑制效果。在突加1N·m的負(fù)載后，改進(jìn)的LADRC轉(zhuǎn)速下降約0.025rad/s，即下降2.5%，由于所設(shè)計(jì)的改進(jìn)LADRC與傳統(tǒng)LADRC控制器帶寬一致，調(diào)節(jié)時(shí)間約為0.03s，和傳統(tǒng)LADRC相比基本不變。

圖8 多源干擾下1rad/s的轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線

仿真結(jié)果表明，通過(guò)改進(jìn)的LADRC速度控制解決了傳統(tǒng)LADRC控制器受CMG高速轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡產(chǎn)生的周期性擾動(dòng)力矩而引起的轉(zhuǎn)速波動(dòng)，穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差顯著降低，系統(tǒng)跟蹤性能得到進(jìn)一步提升，對(duì)于多源外界干擾也有較好的抑制效果。

6 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)LADRC難以抑制CMG轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的周期性擾動(dòng)的問(wèn)題，將周期性擾動(dòng)模態(tài)信息引入LESO進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)，從而對(duì)這種周期性擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)估計(jì)與補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)改進(jìn)的LADRC基本消除了由CMG轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡引起的周期性擾動(dòng)，同時(shí)對(duì)多源外界干擾也有較好的抑制性能，從而提高了速度跟蹤精度，使系統(tǒng)低速控制精度進(jìn)一步提高。