賈晨輝 駱無意 柳嘉潤 呂新廣 李新明 鞏慶海 張 雋

北京航天自動控制研究所，宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854

0 引言

可重復(fù)使用運載火箭是近年來新興的一項航天飛行控制技術(shù)。美國當(dāng)?shù)貢r間2015年12月21日晚，特斯拉公司創(chuàng)始人埃隆·馬斯克創(chuàng)辦的太空探索技術(shù)公司(以下簡稱SpaceX)發(fā)射的“獵鷹9”火箭在佛羅里達州卡納維拉爾角成功實現(xiàn)第一節(jié)火箭軟著陸，從而開創(chuàng)了火箭從太空直接垂直回收的歷史[1]。近年來，火箭的垂直回收技術(shù)受到了國內(nèi)外多個高校、研究機構(gòu)的廣泛關(guān)注，該技術(shù)不僅極大降低了火箭的發(fā)射成本，使火箭具備了可重復(fù)使用的能力，而且可以使火箭帶回更多的飛行數(shù)據(jù)供研究人員參考、分析，為提升后續(xù)火箭的各項性能提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

“孔雀”系列飛行器為一款可重復(fù)使用的垂直起降技術(shù)驗證平臺，可用于驗證運載火箭垂直回收、非程序制導(dǎo)及智能飛行控制等各項關(guān)鍵技術(shù)[2]。。該飛行器目前已服役3年，參加了多次飛行驗證試驗，實現(xiàn)了多項關(guān)鍵技術(shù)的突破。

為支持航空航天飛行器的飛行控制研究，各研究機構(gòu)建立了多種飛行器的數(shù)學(xué)模型供航空航天研究人員或愛好者進行控制仿真研究。如NASA公布了F-18 HARV戰(zhàn)斗機數(shù)學(xué)模型[3]，以及一些學(xué)者公布了一系列超音速飛行器的數(shù)學(xué)模型[4-5]等。但由于運載火箭垂直回收技術(shù)研究剛剛起步，目前鮮有對外發(fā)布的可重復(fù)使用運載火箭數(shù)學(xué)模型供航天工作者進行運載火箭垂直回收等技術(shù)的控制仿真分析與研究工作。

本文建立孔雀飛行器的數(shù)學(xué)模型用于為垂直起降飛行器控制技術(shù)研究人員提供一套可進行控制仿真研究的被控對象模型，該數(shù)學(xué)模型根據(jù)孔雀飛行器的設(shè)計過程及飛行試驗過程的參數(shù)建立，作為孔雀飛行試驗前的數(shù)學(xué)仿真和半實物仿真依據(jù)，實現(xiàn)孔雀飛行器各項控制算法的驗證，亦可作為可重復(fù)使用運載火箭飛行控制仿真研究的被控對象模型使用。

1 符號說明與基本假設(shè)

1.1 符號說明

孔雀飛行器模型的常用符號如表1所示。

1.2 基本假設(shè)

1)飛行器為剛體，忽略彈性振動；

2)平坦靜止大地，忽略地球曲率和地球轉(zhuǎn)動的影響；

3)忽略燃油消耗導(dǎo)致的轉(zhuǎn)動慣量、慣性積、質(zhì)心位置變化；

4)忽略發(fā)動機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動導(dǎo)致的陀螺效應(yīng)；

5)忽略發(fā)動機擺動角加速度導(dǎo)致的附加力矩。

2 被控對象模型

2.1 孔雀飛行器外形

孔雀飛行器外形及主要艙段如圖1所示。本文中所介紹的模型為不包含涵道風(fēng)扇與柵格舵(僅計算二者重量)的飛行器模型。

表1 孔雀飛行器模型的常用符號

圖1 孔雀飛行器外形圖

2.2 坐標(biāo)系

采用俄羅斯體制的“北-天-東”坐標(biāo)系，定義符合右手定則的空間直角坐標(biāo)系，其定義見參考文獻[6]。

地面系與箭體系之間的關(guān)系可以用俯仰角φ、偏航角ψ和滾轉(zhuǎn)角γ這3個姿態(tài)角來確定。姿態(tài)角按照從地面系到箭體系為3-2-1的轉(zhuǎn)序定義。

2.3 被控對象模型

2.3.1 風(fēng)模型

(1)

考慮飛行器處于水平定常風(fēng)場中，即僅考慮水平方向的風(fēng)。風(fēng)向角θw定義為：按右手定則，從地面系OdXd軸開始，繞OdYd軸轉(zhuǎn)動到風(fēng)速矢量的角度。地面系下的風(fēng)速按式(2)計算：

(2)

在一次仿真中風(fēng)向角θw為常數(shù)。

風(fēng)速大小vw設(shè)置為隨高度變化的仿真量，其表達式為：

vw=kwindyvw1≤vw≤vw2

(3)

其中，kwind為風(fēng)速相對于高度變化的比例系數(shù)；vw1，vw2為仿真中風(fēng)速的上下限幅值。

(4)

2.3.2 飛行器運動方程

飛行器運動方程的狀態(tài)為：地面系位置[x,y,z]T；地面系速度[vx,vy,vz]T；姿態(tài)角[φ,ψ,γ]T；箭體軸轉(zhuǎn)動角速度[ωx,ωy,ωz]T；此外，發(fā)動機耗油導(dǎo)致質(zhì)量變化。微分方程如式(4)所示，其中：

(5)

式中，Tt→d為箭體系到地面系的轉(zhuǎn)換矩陣；[FA,FN,FZ]T為氣動力在箭體系下的分量表示；[Pxt,1,Pyt,1,Pzt,1]T；[Pxt,2,Pyt,2,Pzt,2]T分別為1號、2號發(fā)動機推力矢量在箭體系的分量表示；mg為重力；Qeng,1，Qeng,2分別為1號、2號發(fā)動機的耗油率，單位為kg/s。

氣動力矩、推力力矩等的合外力矩在箭體系的分量[Mxt,Myt,Mzt]T可表示為：

(6)

式中，[L,M,N]T為箭體系下的氣動力矩；[lx,1,ly,1,lz,1]T，[lx,2,ly,2,lz,2]T分別為1號、2號發(fā)動機轉(zhuǎn)軸在箭體系相對于飛行器質(zhì)心的坐標(biāo)；?表示矢量的叉乘，其定義為：

(7)

飛行器地速大小v按下式計算：

(8)

地面系下的空速按下式計算：

(9)

箭體系下的空速按下式計算：

(10)

空速大小按下列2式計算均可：

(11)

(12)

飛行器攻角α和側(cè)滑角β根據(jù)下2式計算：

(13)

(14)

其中，α∈[-π，π]。

2.3.3 氣動特性

氣動力和力矩需要計算相應(yīng)的氣動系數(shù)。記：

CA,CN,CZ,Cmx,Cmy和Cmz分別為軸向力系數(shù)、法向力系數(shù)、側(cè)向力系數(shù)、滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、偏航力矩系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)，正方向為其所在(或所繞)箭體系坐標(biāo)軸的正方向。

氣動系數(shù)是空速、攻角和側(cè)滑角非線性函數(shù)，其標(biāo)稱值以多維數(shù)表的形式給出：

Ck=Ck(u,α,-β) (k=A,N,Z,mx,my,mz)

箭體系下氣動力為：

Fk=qSrefCk(k=A,N,Z)

(15)

氣動力矩系數(shù)的參考點為飛行器頂點。因此，箭體系下繞質(zhì)心的氣動力矩為：

(16)

式中，Sref為氣動參考面積;Lref為氣動參考長度;Xcg為質(zhì)心位置，從飛行器頂點向下為正；q為動壓：

(17)

其中，ρ為大氣密度;u為空速大小。計算時，氣動力系數(shù)、氣動力矩系數(shù)、質(zhì)心位置和大氣密度均應(yīng)考慮偏差。

2.3.4 發(fā)動機推力矢量

發(fā)動機的擺動由伺服電機驅(qū)動實現(xiàn)。每臺發(fā)動機由4個電機驅(qū)動(可等效為2個舵機)，每臺發(fā)動機的2個舵機互不耦合，分別在正交的2個方向產(chǎn)生擺角，控制發(fā)動機向任意方向偏轉(zhuǎn)。2臺發(fā)動機呈“一”字形安裝。每臺發(fā)動機有俯仰、偏航2個轉(zhuǎn)軸。其后視圖如圖2所示。

圖2 孔雀飛行器發(fā)動機安裝與擺角定義示意圖

結(jié)合發(fā)動機擺角的定義，2臺發(fā)動機的推力矢量分別為：

(18)

其中，δins為安裝角，即擺角為零時發(fā)動機推力線與箭體軸線夾角，以使得推力線由平行于箭體X軸偏向質(zhì)心方向。

2.4 執(zhí)行機構(gòu)模型

2.4.1 發(fā)動機推力變化的動態(tài)特性

“孔雀”飛行器發(fā)動機采用JETCAT P550 Pro，發(fā)動機推力變化特性可表示為如下形式：

PC=f(PWMeng)

(19)

其中推力指令是發(fā)動機控制PWM信號PWMeng的函數(shù)，由數(shù)表插值得到，PWMeng是一個正整數(shù)。若某一自變量的值超出插值表，則以數(shù)表邊界值代替。

根據(jù)地面測試數(shù)據(jù)，將發(fā)動機動態(tài)特性簡化為一個二階線性環(huán)節(jié)，用于計算實際推力。

(20)

式中，PC為推力指令;P為發(fā)動機實際推力大小;Keng為發(fā)動機穩(wěn)態(tài)增益;ωeng為發(fā)動機自然頻率；ξeng為發(fā)動機阻尼比。

2.4.2 驅(qū)動發(fā)動機擺動的伺服電機動態(tài)特性

將電動舵機的動態(tài)特性簡化為二階傳遞函數(shù)、間隙特性與零位的串聯(lián)。

二階傳遞函數(shù)特性如下：

(21)

式中，δ*C(s)為擺角指令;δ*TF(s)為經(jīng)過傳遞函數(shù)后的舵機擺角。下標(biāo)*表示1,2,3,4。Kδ為伺服穩(wěn)態(tài)增益，ωδ為伺服自然頻率，ξδ為伺服阻尼比。

3 模型參數(shù)

本文所列各飛行器相關(guān)參數(shù)來源于設(shè)計過程中的計算數(shù)值或根據(jù)飛行試驗數(shù)據(jù)所測得的值。

3.1 飛行器總體參數(shù)

孔雀飛行器模型參數(shù)見表2：

表2 孔雀飛行器總體參數(shù)標(biāo)稱值

3.2 氣動系數(shù)

分別在起落架收起上升段、無柵格舵起落架收起下降段2種狀態(tài)下，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)進行擬合。飛行器在上升段與下降段，在起落架收起與起落架放下的狀態(tài)下，其氣動特性均有不同。受篇幅限制，本文未列出模型仿真過程中所采用的氣動參數(shù)，對此部分感興趣的讀者可通過作者郵箱進行索取。

3.3 發(fā)動機參數(shù)

發(fā)動機參數(shù)的標(biāo)稱值見表3。

表3 發(fā)動機參數(shù)標(biāo)稱值

3.4 伺服電機參數(shù)

伺服電機參數(shù)的標(biāo)稱值見表4。其中伺服間隙半寬度大小為通過試驗實測。

4 控制仿真實例

本仿真實例采用一套制導(dǎo)控制律對模型進行控制，目標(biāo)為將“孔雀”飛行器由起點(0m,0m,0m)起飛，在終點(40m,0m,0m)處著陸，在飛行過程中以上升速度(Y向速度)10m/s經(jīng)過交班點(40m,320m,0m)，在經(jīng)過交班點之后開始減速上升，至最高點后進行加速下降，當(dāng)速度達到-7m/s時進行減速下降直至著陸。受篇幅限制，本文未列出模型仿真過程中所采用的制導(dǎo)與控制算法，對此部分感興趣的讀者可通過作者郵箱進行索取。

表4 伺服電機參數(shù)標(biāo)稱值

飛行器運動方程與制導(dǎo)控制律均通過MFC環(huán)境進行編程，對于模型中的微分方程，采用固定步長的四階龍格-庫塔法進行數(shù)值積分。仿真開始時間為ts=0.0s，積分步長為Δt=0.001s,控制周期ΔtC=0.01s。圖3～4分別為仿真過程中飛行器的位置、速度曲線?？梢姲凑账O(shè)定的制導(dǎo)控制律，可完成飛行器按照預(yù)定軌跡在47.32s左右飛至交班點，并垂直降落至指定位置。圖5～6為真實飛行試驗中采用相同的制導(dǎo)控制律得出的真實飛行試驗曲線。從曲線的趨勢可以看出，該模型能夠較為相似地反映實際飛行控制狀態(tài)。

圖3 飛行控制仿真位置速度曲線

圖4 飛行控制仿真姿態(tài)曲線

圖5 實際飛行試驗中飛行器位置速度曲線

圖6 實際飛行試驗中飛行器姿態(tài)曲線

5 結(jié)論

本文介紹了“孔雀”飛行器垂直起降飛行驗證平臺的數(shù)學(xué)模型，以微分方程的形式描述了該模型的運動學(xué)方程、氣動特性和發(fā)動機及伺服機構(gòu)等執(zhí)行機構(gòu)特性，并基于本模型采用一套制導(dǎo)控制律進行了飛行控制半實物仿真。該數(shù)學(xué)模型可作為被控對象用于運載火箭垂直回收技術(shù)等飛行控制技術(shù)的仿真研究。