柴玉陽(yáng)，杜紹君，李鳳明

（哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

引言

矩形板作為一種典型的結(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于飛行器、船舶、海洋平臺(tái)以及高速列車(chē)等結(jié)構(gòu)中。為了避免矩形板結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下的不利振動(dòng)影響，開(kāi)展矩形板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的理論和實(shí)驗(yàn)研究具有重要的實(shí)際意義。

目前很多學(xué)者針對(duì)矩形板的振動(dòng)特性開(kāi)展了大量的理論研究。Leissa［1］系統(tǒng)地研究了多種簡(jiǎn)單邊界（自由、簡(jiǎn)支和固支）組合情況下矩形板的振動(dòng)特性，研究發(fā)現(xiàn)對(duì)于6 種對(duì)邊簡(jiǎn)支情況的矩形板可以獲得精確的固有振動(dòng)特征方程。Liew 等［2］利用瑞利-里茨法分析了不同邊界條件下厚矩形板的振動(dòng)特性?；谖⒎智蠓e法，Li 等［3］研究了正交各向異性板的非線性振動(dòng)特性。Aksu 等［4］基于有限差分法研究了中心開(kāi)口矩形板的振動(dòng)特性。Jin 等［5］提出了一種三維改進(jìn)的傅里葉余弦級(jí)數(shù)方法，對(duì)一般邊界條件下功能梯度矩形板的振動(dòng)特性進(jìn)行求解。王嘉偉等［6］通過(guò)構(gòu)建單層和多層復(fù)合材料層合板的動(dòng)態(tài)特性簡(jiǎn)化模型，計(jì)算了復(fù)合材料層合板的固有頻率和振型。利用瑞利-里茨法，李國(guó)榮等［7］研究了典型邊界條件下加筋矩形板的振動(dòng)特性，分析了加筋位置及高度對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。馬牛靜等［8］研究了具有初始應(yīng)力加筋板的非線性振動(dòng)特性。鮑四元等［9］提出了一種各向異性矩形板和環(huán)扇形板在彈性約束下橫向自由振動(dòng)的通用解法。張俊等［10］利用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)作為位移容許函數(shù)，研究了多開(kāi)口彈性約束矩形板的振動(dòng)特性。

有關(guān)矩形板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的實(shí)驗(yàn)研究也吸引著很多學(xué)者的關(guān)注。Shuyu［11］提出了一種解析方法計(jì)算自由邊界矩形薄板的振動(dòng)特性，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)構(gòu)的固有頻率，驗(yàn)證了所提解析方法的正確性。Pagani 等［12］基于理論和實(shí)驗(yàn)的方法研究了復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性?？紤]結(jié)構(gòu)的幾何大變形，Amabili［13］研究了不同邊界條件下矩形薄板的非線性振動(dòng)特性，并利用實(shí)驗(yàn)測(cè)試獲得了與理論分析一致的頻響曲線，驗(yàn)證了理論計(jì)算的有效性。付江松等［14］通過(guò)搭建四邊自由矩形薄板橫向振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，獲得矩形板的二維駐波實(shí)驗(yàn)圖和固有頻率，驗(yàn)證了所提理論模型的正確性。

基于以上分析可知，目前針對(duì)矩形板振動(dòng)特性的研究多局限于自由、簡(jiǎn)支和固支等經(jīng)典邊界，對(duì)于彈性約束等邊界條件需配置不同的位移函數(shù)，缺乏統(tǒng)一的分析模型。此外，由于模擬彈性邊界的復(fù)雜性，鮮有針對(duì)彈性邊界約束矩形板振動(dòng)特性相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究。雖然有限元法可以處理彈性約束結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題，但不利于對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)分析。因此，本文基于瑞利-里茨法，通過(guò)Gram-Schmidt 法構(gòu)造特征正交多項(xiàng)式表示位移函數(shù)，建立彈性邊界矩形板的振動(dòng)方程，求解其固有頻率和振型。矩形板的彈性邊界采用均布彈簧模擬，通過(guò)調(diào)節(jié)邊界彈簧的剛度，彈性邊界約束可以模擬自由、簡(jiǎn)支及固支等任意邊界條件。基于本文所提方法獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率并與有限元及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文理論模型的正確性。此外，設(shè)計(jì)一系列實(shí)驗(yàn)研究彈性-簡(jiǎn)支、彈性-固支等不同邊界組合條件下矩形板的自由振動(dòng)特性，詳細(xì)分析調(diào)整不同邊界彈簧剛度對(duì)矩形板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。

1 理論模型

1.1 彈性邊界約束矩形板

圖1 為彈性邊界約束矩形板結(jié)構(gòu)示意圖。矩形板的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b和h。彈性邊界由一系列均布彈簧模擬，其中包括三組均勻分布的平動(dòng)彈簧和一組均勻分布的旋轉(zhuǎn)彈簧。單位長(zhǎng)度平動(dòng)彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度分別用ku，kv，kw和kθ來(lái)表示。沿y=0 旋轉(zhuǎn)彈簧剛度為kθy0，平動(dòng)彈簧剛度為kuy0，kvy0和kwy0。相似地，y=b，x=0 和x=a的均布彈簧剛度用kθyb，kuyb，kvyb，kwyb，kθx0，kux0，kvx0，kwx0，kθxa，kuxa，kvxa和kwxa來(lái)表示。

圖1 彈性邊界約束矩形板示意圖Fig.1 Schematic diagram of the rectangular plate constrained by elastic boundary constraints

基于經(jīng)典薄板理論，各向同性矩形板結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)可表示為：

式中u和v表示結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)沿x和y方向的位移；w為橫向位移；u0和v0為中性層的面內(nèi)位移；ξ=x/a和η=y/b為薄板無(wú)量綱的長(zhǎng)度和寬度變量。

薄板結(jié)構(gòu)的應(yīng)變-位移關(guān)系式如下：

式中εx和εy為線應(yīng)變；γxy為切應(yīng)變；ε0為膜應(yīng)變向量；κ為彎曲曲率向量，分別表示為：

結(jié)構(gòu)的本構(gòu)方程可以表示為：

式中σ為與應(yīng)變對(duì)應(yīng)的應(yīng)力；Q11=Q22=E/（1-υ2），Q12=Q21=υE/（1-υ2）和Q66=E/［2（1+υ）］為剛度系數(shù)，其中E和υ為矩形板材料的楊氏模量和泊松比。

1.2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量

矩形板結(jié)構(gòu)的動(dòng)能和勢(shì)能可以表示為：

式中ρ和dV分別為矩形板的材料密度和體積元。

彈性邊界ξ=0 和1 時(shí)的勢(shì)能可以寫(xiě)為：

相似地，彈性邊界η=0 和1 時(shí)的勢(shì)能可表示為：

當(dāng)平動(dòng)彈簧及旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度增加到極大值（比如1010N/m2或1010N/rad），此時(shí)結(jié)構(gòu)的邊界條件為固支邊界。相反，當(dāng)平動(dòng)彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度為0 時(shí)，結(jié)構(gòu)邊界為完全放松的自由邊界。以邊界x=0 為例，固支（C）、簡(jiǎn)支（S）和自由邊界（F）條件所對(duì)應(yīng)的彈簧剛度可分別表示為：

1.3 瑞利-里茨法

矩形板結(jié)構(gòu)的未知位移函數(shù)可以寫(xiě)為：

式中ω為結(jié)構(gòu)固有圓頻率；ζ（ξ，η），?（ξ，η）和χ（ξ，η）為模態(tài)形函數(shù)，可以寫(xiě)成如下多項(xiàng)式形式：

式中Mc和Nc表示截?cái)嗵卣鞫囗?xiàng)式項(xiàng)數(shù)；amn，bmn和cmn代表未知的多項(xiàng)式系數(shù)；和為特征多項(xiàng)式。

利用Gram-Schmidt 方法構(gòu)造的多項(xiàng)式滿(mǎn)足正交性，計(jì)算收斂性好。此外，只要特征正交多項(xiàng)式的首項(xiàng)滿(mǎn)足矩形板的幾何邊界條件，正交多項(xiàng)式的其他項(xiàng)也就能滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)的幾何邊界條件。因此，只要給出特征多項(xiàng)式的首項(xiàng)，就可以基于Gram-Schmidt 方法構(gòu)造在積分域0 ≤?≤1 內(nèi)的一系列多項(xiàng)式如下［15-17］：

其中

由式（12）計(jì)算得出的多項(xiàng)式?αp(?)滿(mǎn)足以下正交條件：

對(duì)特征正交多項(xiàng)式做如下的標(biāo)準(zhǔn)化處理：

表1 給出了5 種不同經(jīng)典邊界條件的多項(xiàng)式首項(xiàng)來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的特征正交多項(xiàng)式。對(duì)于經(jīng)典邊界約束，例如S-S，C-C，C-F 及C-S 等，用表1 給出的多項(xiàng)式首項(xiàng)來(lái)構(gòu)造特征多項(xiàng)式［16］。選擇?α1（?）=1 作為特征正交多項(xiàng)式的首項(xiàng)來(lái)計(jì)算彈性約束矩形板的模態(tài)形函數(shù)。

表1 5 種不同經(jīng)典邊界條件的特征多項(xiàng)式首項(xiàng)Tab.1 The first term of characteristic polynomial terms of five different classical boundary conditions

彈性邊界約束矩形板的能量函數(shù)可表示為：

式中Ues=Uesx表示彈性邊界ξ=0 或1 的勢(shì)能。如果彈性邊界沿η=0 或1，此時(shí)彈性邊界的勢(shì)能函數(shù)Ues=Uesy。

基于瑞利-里茨法，多項(xiàng)式系數(shù)amn，bmn和cmn需要使能量函數(shù)Ene達(dá)到最小值：

式中m=1，2，···，Mc；n=1，2，···，Nc。

把式（10）和（11）代入式（7）和（8）可以獲得彈性邊界勢(shì)能的表達(dá)式Ues，之后把動(dòng)能T、勢(shì)能U及彈性邊界勢(shì)能Ues通過(guò)式（16）代入方程（17），可以得到關(guān)于彈性邊界約束矩形板的特征方程：

式中M和K為系數(shù)矩陣，X=[aT，bT，cT]T，其中a，b和c可以表示為：

通過(guò)求解特征方程（18），可以獲得彈性邊界約束矩形板結(jié)構(gòu)的固有頻率及模態(tài)振型函數(shù)。

2 計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)基于實(shí)驗(yàn)方法測(cè)試了不同彈性邊界矩形板結(jié)構(gòu)的固有頻率，并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。矩形板結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和材料參數(shù)為：a=b=0.5 m，h=0.005 m，ρ=1190 kg/m3，E=3×109N/m2，υ=0.4。用來(lái)模擬彈性邊界的平動(dòng)彈簧剛度為ke=530 N/m。在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中，沖擊錘用來(lái)激勵(lì)矩形板結(jié)構(gòu)，加速度傳感器粘貼在矩形板結(jié)構(gòu)表面。數(shù)據(jù)采集和處理系統(tǒng)用來(lái)接收傳感器傳輸?shù)男盘?hào)。

圖2（a）～（c）分別為一邊固支、三種不同彈性邊界條件下矩形板的振動(dòng)測(cè)試圖。結(jié)構(gòu)的固定約束端用夾子固定在兩塊鋼板上。為防止彈簧扭動(dòng)，邊界彈簧安裝在3D 打印的彈簧支座上，并把彈簧支座粘貼在可近似看成剛體的實(shí)驗(yàn)臺(tái)上。矩形板結(jié)構(gòu)邊界彈簧個(gè)數(shù)為11，因此彈性邊界線彈簧的剛度Kew可以表示為：

圖2 不同邊界條件下矩形板結(jié)構(gòu)振動(dòng)測(cè)試圖Fig.2 Vibration test diagrams of the rectangular plate under different boundary conditions

利用實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置，測(cè)得不同邊界下矩形板結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)曲線如圖3所示，其中縱坐標(biāo)中的幅值g=9.8 m/s2表示重力加速度?；诮Y(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)頻響曲線可求出結(jié)構(gòu)的固有頻率，其具體數(shù)值如表2所示。此外，表2 還給出了本文方法計(jì)算所得理論解、有限元仿真結(jié)果以及理論計(jì)算所得固有頻率ft和實(shí)驗(yàn)測(cè)試固有頻率fe之間的誤差e，其計(jì)算公式為：

圖3 不同邊界條件下實(shí)測(cè)平板結(jié)構(gòu)幅頻曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves of the measured plate with different boundary conditions

使用有限元軟件COMSOL 中，采用的單元類(lèi)型為四面體網(wǎng)格，單元個(gè)數(shù)為19072。軟件中矩形板固支端設(shè)置為固定約束，彈性邊界設(shè)置為彈性約束。由表2 可知，理論、有限元仿真及實(shí)驗(yàn)求得的一端固支彈性邊界矩形板的固有頻率吻合良好，這就證明了本文理論模型的正確性。

表2 不同彈性邊界條件下平板的固有頻率Tab.2 Natural frequencies of the plates under different elastic boundary conditions

為了驗(yàn)證平動(dòng)彈簧以及旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度取值為1010N/m2和1010N/rad時(shí)模擬矩形板固支邊界的合理性及計(jì)算結(jié)果的精確性，計(jì)算了不同邊界彈簧剛度下矩形板的固有頻率，并與一端固支矩形板有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。從表3 中可以看出，當(dāng)平動(dòng)彈簧以及旋轉(zhuǎn)彈簧剛度取1010N/m2和1010N/rad時(shí)，計(jì)算結(jié)果已經(jīng)收斂，且和仿真結(jié)果吻合良好。因此在計(jì)算中平動(dòng)彈簧及旋轉(zhuǎn)彈簧剛度取1010N/m2和1010N/rad來(lái)模擬固支邊界是完全滿(mǎn)足計(jì)算精度要求的。

表3 不同彈簧剛度下矩形板的固有頻率/HzTab.3 Natural frequencies of the rectangular plates under different spring stiffness/Hz

此外，基于實(shí)驗(yàn)方法研究了四邊簡(jiǎn)支、一邊簡(jiǎn)支一邊彈性支撐及對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊彈性支撐矩形板的固有特性。圖4 為實(shí)驗(yàn)測(cè)試中矩形板簡(jiǎn)支邊界原理示意圖。其中設(shè)計(jì)加工了上、下兩根剛性圓柱桿固定矩形板的邊界，上、下圓柱桿通過(guò)預(yù)緊的螺栓固定，這樣既能夠限制矩形板邊界的橫向位移，又能夠保證矩形板邊界自由地轉(zhuǎn)動(dòng)，從而準(zhǔn)確有效地模擬矩形板結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)支邊界條件。

圖4 矩形板簡(jiǎn)支邊界原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of simply supported boundary principle of the rectangular plate

圖5 為簡(jiǎn)支彈性支撐矩形板實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置。由于支座安裝的原因，此實(shí)驗(yàn)下矩形板的長(zhǎng)度和寬度分別為a=0.526 m 和b=0.529 m。矩形板彈性邊界上安裝的彈簧為11 個(gè)，結(jié)構(gòu)其他參數(shù)和固支彈性支撐時(shí)一致。圖6所示為基于實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)得的四邊簡(jiǎn)支、一邊簡(jiǎn)支一邊彈性支撐及對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊彈性支撐矩形板的幅頻響應(yīng)曲線。實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)的前5 階固有頻率如表4所示。基于本文理論計(jì)算以及有限元數(shù)值仿真的結(jié)果也在表4 給出，同時(shí)給出了理論計(jì)算結(jié)構(gòu)固有頻率和實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)固有頻率的誤差。有限元數(shù)值仿真中，采用的單元類(lèi)型為四面體網(wǎng)格，單元個(gè)數(shù)為19166。從表4 中可以看出，三者計(jì)算結(jié)果有很好的一致性，誤差不超過(guò)7.8%。通過(guò)兩根圓柱桿夾緊固定矩形板邊界可能產(chǎn)生小的橫向位移，彈性邊界彈簧剛度測(cè)量的準(zhǔn)確性以及矩形板結(jié)構(gòu)材料屬性和理論的差異是引起誤差的可能原因。盡管如此，理論、仿真以及實(shí)驗(yàn)之間的結(jié)果吻合良好，證實(shí)了本文平板結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)支邊界及彈性邊界設(shè)計(jì)的合理性及理論計(jì)算的正確性。

圖5 不同邊界條件下平板結(jié)構(gòu)振動(dòng)測(cè)試圖Fig.5 Vibration test diagrams of the plate under different boundary conditions

圖6 不同邊界條件下實(shí)測(cè)平板結(jié)構(gòu)幅頻曲線Fig.6 Amplitude-frequency curves of the measured plate structure with different boundary conditions

表4 不同彈性邊界條件下平板的固有頻率Tab.4 Natural frequencies of the plates under different elastic boundary conditions

3 彈性邊界矩形板振動(dòng)特性分析

對(duì)于給定階次的頻率，其對(duì)應(yīng)的特征向量可以由式（18）求出。特征向量對(duì)應(yīng)該矩形板在給定階次模態(tài)頻率所對(duì)應(yīng)振型的多項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)，將系數(shù)代入式（11）表征的容許函數(shù)中，即可獲得矩形板結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。圖7～10 分別給出基于理論方法和有限元軟件COMSOL 計(jì)算所得三邊簡(jiǎn)支一邊彈性支撐（SSSE）和兩邊固支兩邊彈性支撐（CCEE）矩形板的第一階和第二階模態(tài)振型圖。對(duì)于SSSE 矩形板，彈性邊為右邊界；而對(duì)于CCEE 矩形板，彈性邊為右邊界和下邊界。彈性邊只含有平動(dòng)彈簧，其剛度為105N/m2。使用有限元軟件COMSOL 計(jì)算時(shí)，采用的單元類(lèi)型為四面體網(wǎng)格，單元個(gè)數(shù)為25907。從圖7～10 中可以看出，本文理論計(jì)算結(jié)構(gòu)振型和有限元結(jié)果一致，進(jìn)一步說(shuō)明了本文理論計(jì)算的有效性。

圖7 理論計(jì)算SSSE 矩形板的振型Fig.7 Vibration mode of the SSSE rectangular plate using theoretical calculation

圖8 有限元軟件COMSOL 計(jì)算SSSE 矩形板的振型Fig.8 Vibration mode of the SSSE rectangular plate using finite element software calculation

圖10 有限元軟件COMSOL 計(jì)算CCEE 矩形板的振型Fig.10 Vibration mode of the CCEE rectangular plate using finite element software calculation

為研究矩形板從一邊固支三邊自由（CFFF）狀態(tài)到對(duì)邊固支對(duì)邊自由（CFCF）時(shí)的振動(dòng)特性，通過(guò)改變邊界彈簧剛度模擬結(jié)構(gòu)不同的邊界。控制邊界x=0 彈簧剛度kwx0=1010N/m2和kθx0=1010N/rad，將沿邊界x=a的彈簧剛度kwxa和kθxa從0 增加到1010N/m2和1010N/rad。圖11所示為矩形板一階固有頻率隨kwxa和kθxa的變化關(guān)系。從圖11 中可知，矩形板的固有頻率隨邊界x=a彈簧剛度kwxa和kθxa的增大而增大。當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈簧剛度kθxa在10～1000 N/rad 范圍內(nèi)變化時(shí)，結(jié)構(gòu)的一階頻率有較大的變化；而當(dāng)平動(dòng)約束彈簧剛度kwxa在100～106N/m2范圍內(nèi)變化時(shí)，結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率變化明顯。此外，相對(duì)于旋轉(zhuǎn)彈簧，平動(dòng)彈簧剛度的增加能更加有效地提高結(jié)構(gòu)的固有頻率。

通過(guò)改變彈簧剛度kwxa及kwy0，可使矩形板從CFFF 變?yōu)镃SSF 邊界。矩形板的一階固有頻率隨彈簧剛度kwxa及kwy0的變化如圖12所示。由圖12 可知，結(jié)構(gòu)一階固有頻率隨平動(dòng)彈簧剛度kwxa及kwy0的增大而增大。但是，平動(dòng)彈簧剛度kwy0的增加對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的提升作用非常有限，而增加平動(dòng)彈簧剛度kwxa能夠有效地提高結(jié)構(gòu)的固有頻率。

圖12 一階固有頻率隨kwxa及kwy0的變化關(guān)系Fig.12 Variation relationship of the first order natural frequency with kwxa and kwy0

通過(guò)改變矩形板旋轉(zhuǎn)彈簧剛度kθy0及kθyb，能夠使CSSS 矩形板變?yōu)镃CSC 矩形板，結(jié)構(gòu)一階固有頻率的變化如圖13所示。從圖13 中可以看出，當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈簧剛度在0～104N/rad 范圍時(shí)，隨著旋轉(zhuǎn)彈簧剛度的增加，結(jié)構(gòu)的一階固有頻率明顯增加。當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈簧剛度大于104N/rad 時(shí)，結(jié)構(gòu)的固有頻率基本不變。由此可以得出矩形板的固有頻率隨旋轉(zhuǎn)彈簧剛度變化的敏感區(qū)間為0～104N/rad。

圖13 一階固有頻率隨kθy0及kθyb的變化關(guān)系Fig.13 Variation relationship of the first order natural frequency with kθy0 and kθyb

4 結(jié)論

本文采用特征正交多項(xiàng)式表示位移容許函數(shù)，建立了彈性約束矩形板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析模型。利用瑞利-里茨法獲得彈性邊界約束矩形板的固有頻率和振型，并與有限元及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提理論方法的正確性和可靠性。詳細(xì)分析了調(diào)整不同邊界彈簧剛度對(duì)矩形板振動(dòng)特性的影響，得到的主要結(jié)論如下：

（1）采用特征正交多項(xiàng)式描述結(jié)構(gòu)橫向位移，結(jié)合瑞利-里茨法獲得彈性邊界約束矩形板的固有頻率和振型。對(duì)不同結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界條件的矩形板求解，僅需修改結(jié)構(gòu)參數(shù)，無(wú)需重新建模。

（2）設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)試了彈性-簡(jiǎn)支、彈性-固支等不同邊界組合矩形板的固有頻率，并與本文理論方法和有限元結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了矩形板彈性邊界設(shè)計(jì)的合理性及理論計(jì)算的正確性。

（3）矩形板的固有頻率隨著邊界彈簧剛度的增大而增大。相對(duì)于旋轉(zhuǎn)彈簧，平動(dòng)彈簧剛度的增加能更加有效地提高結(jié)構(gòu)的固有頻率。

（4）當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈簧剛度在0～104N/rad 內(nèi)變化時(shí)，本文所研究矩形板結(jié)構(gòu)的一階固有頻率變化明顯；其固有頻率隨旋轉(zhuǎn)彈簧剛度變化的敏感區(qū)間為0～104N/rad。