鄭榮慧，徐 俊，陳國(guó)平，孫建勇，陳懷海

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210016；2.中國(guó)航空綜合技術(shù)研究所，北京 100028）

1 概述

三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)是一種先進(jìn)的振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)方式。不同于傳統(tǒng)的方陣或者長(zhǎng)方陣振動(dòng)控制試驗(yàn)，三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)沿正交軸向的三個(gè)線振動(dòng)以及繞三個(gè)正交軸向轉(zhuǎn)動(dòng)的角振動(dòng)環(huán)境。

三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)屬于多輸入多輸出隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，需要使用基本的多輸入多輸出振動(dòng)控制理論。考慮到幾乎沒有可用于寬頻帶的角加速度傳感器，因此，目前角加速度的測(cè)量是利用線加速度測(cè)量結(jié)果通過輸入變換矩陣轉(zhuǎn)換而來。三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)需要使用三軸六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。圖1 展示了美國(guó)Hill 空軍基地的電動(dòng)式和美國(guó)TEAM 公司的電液式這兩種三軸六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)［1-2］。

圖1 三軸六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)Fig.1 6-DOF vibration shaker system

三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制結(jié)果關(guān)鍵在于三軸六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)本身的性能和振動(dòng)控制技術(shù)的優(yōu)劣。良好的振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)具有足夠?qū)挼墓ぷ黝l帶，并且在各個(gè)自由度上能夠?qū)崿F(xiàn)完全解耦。一般來說，電動(dòng)式振動(dòng)臺(tái)具有較寬的工作頻帶，但其推力較??；電液式振動(dòng)臺(tái)工作頻帶較窄，但其推力較大，能夠滿足大型車輛、房屋地震等工程振動(dòng)試驗(yàn)需求［3］。

三軸六自由度的隨機(jī)振動(dòng)控制技術(shù)是在傳統(tǒng)的多輸入多輸出隨機(jī)振動(dòng)控制技術(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)信號(hào)進(jìn)行輸入輸出轉(zhuǎn)換。輸入輸出概念是針對(duì)數(shù)據(jù)采集與發(fā)送測(cè)試系統(tǒng)而言，輸入信號(hào)即為采集至測(cè)試系統(tǒng)輸入板卡模塊的加速度測(cè)量信號(hào)，輸出信號(hào)即為從測(cè)試系統(tǒng)中輸出板卡模塊輸出的驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)。因此，輸入信號(hào)變換即將采集得到的線加速度響應(yīng)變換為六個(gè)自由度上的振動(dòng)響應(yīng)；輸出信號(hào)變換即將六個(gè)自由度上的驅(qū)動(dòng)力變換為實(shí)際激振器所需要的驅(qū)動(dòng)信號(hào)。Norman 等［4］討論了輸入信號(hào)變換方法，并指出至少需要3 個(gè)三軸向加速度傳感器，并且它們不能布置在同一條直線上。Russe11 等［5］研究了四種六自由度激振器配置方式，并給出了輸入輸出轉(zhuǎn)換控制方式和傳統(tǒng)方陣控制方式分別適用的情形。

嚴(yán)俠等［6］對(duì)三軸六自由度液壓振動(dòng)臺(tái)隨機(jī)振動(dòng)控制進(jìn)行了分析與仿真，其自譜控制結(jié)果均在預(yù)設(shè)的±3 dB 容差限內(nèi)。韓偉等［7］針對(duì)三軸六自由度閉環(huán)虛擬隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行了建模與仿真，仿真結(jié)果表明所建立的模型準(zhǔn)確，可對(duì)實(shí)物試驗(yàn)前的隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制方案進(jìn)行優(yōu)化。然而，這兩種仿真分析均未考慮互譜的影響。理論上，三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)控制試驗(yàn)需要同時(shí)控制六個(gè)自譜，即三個(gè)線加速度功率譜和三個(gè)角加速度功率譜，以及30 個(gè)互功率譜。這30 個(gè)互譜的控制可以轉(zhuǎn)化為對(duì)15 個(gè)相位差和15 個(gè)相干系數(shù)的控制，因?yàn)榛プV可以用自譜、相干系數(shù)和相位差表示。

在控制算法方面，現(xiàn)有國(guó)外控制器中的控制算法是封閉的，用戶只能按照步驟通過輸入一些必要參數(shù)來完成三軸六自由度振動(dòng)控制試驗(yàn)。同時(shí)，三軸六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)構(gòu)造較為復(fù)雜，并且價(jià)格昂貴。因此，本文旨在從理論上對(duì)三軸六自由度振動(dòng)控制的基本原理與核心算法進(jìn)行研究，進(jìn)一步闡明其控制算法與實(shí)現(xiàn)原理。本文首先推導(dǎo)了輸入輸出轉(zhuǎn)換矩陣，然后給出了三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)控制方法的一般步驟。緊接著，討論了兩種振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)的激振器配置方式以及一些傳感器的布置方式。第6 節(jié)給出了一個(gè)三軸六自由度振動(dòng)控制仿真算例。

2 輸入轉(zhuǎn)換矩陣

首先分析六自由度振動(dòng)系統(tǒng)的加速度特征，建立采集的線振動(dòng)加速度與六自由度振動(dòng)加速度之間的關(guān)系，最后通過合理的簡(jiǎn)化假設(shè)得到輸入轉(zhuǎn)換矩陣的一般表達(dá)式。

考慮如圖2所示的振動(dòng)系統(tǒng)，其中固定參考系連接大地，動(dòng)系連接振動(dòng)臺(tái)并隨著時(shí)間發(fā)生運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P為結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P′為結(jié)構(gòu)發(fā)生彈性變形后點(diǎn)P的位置。點(diǎn)P的絕對(duì)位移矢量可以表示為：

圖2 六自由度振動(dòng)系統(tǒng)加速度分析Fig.2 Acceleration analysis for 6-DOF vibration system

式中up為點(diǎn)P的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)位移矢量，ub為動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)位移矢量，rp為點(diǎn)P在動(dòng)系中的運(yùn)動(dòng)位移矢量。三者可以表示為：

式中 “-”表示矢量在坐標(biāo)系里的向量表示，q0和q分別為慣性系和動(dòng)系的基坐標(biāo)矩陣。這里需要注意的是，動(dòng)系的基坐標(biāo)矩陣q是時(shí)間的函數(shù)。兩個(gè)坐標(biāo)系基向量矩陣通過歐拉旋轉(zhuǎn)角矩陣表示為如下關(guān)系：

式中Q為歐拉旋轉(zhuǎn)角矩陣。

對(duì)點(diǎn)P的絕對(duì)位移求一次導(dǎo)數(shù)可以得到絕對(duì)速度，表示為：

式中 “·”表示對(duì)矢量關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)數(shù)。ω為動(dòng)系的角速度矢量。

再對(duì)速度求一次導(dǎo)數(shù)，則點(diǎn)P的絕對(duì)加速度可以表示為：

式中α為動(dòng)系的角加速度矢量，為點(diǎn)P的絕對(duì)加速度，為動(dòng)系的線加速度，為相對(duì)加速度，為科氏加速度，α×rp為切向加速度，ω×(ω×rp)為法向加速度。

對(duì)于六自由度振動(dòng)控制，傳感器一般布置在振動(dòng)臺(tái)體上，控制臺(tái)體的六個(gè)剛體自由度。因此，若傳感器布置在臺(tái)面上，且假設(shè)臺(tái)面為絕對(duì)剛性，則有：

考慮到大多數(shù)隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中，結(jié)構(gòu)的法向角速度相對(duì)很小以至于可以忽略，因此，公式（6）可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

將式（2）和（3）代入式（7）中，則有：

考慮到振動(dòng)試驗(yàn)中臺(tái)體的轉(zhuǎn)角很?。ㄍǔＰ∮?°），即：

因此，將式（8）中的矢量用矩陣形式表示，并用a表示加速度，點(diǎn)P的絕對(duì)加速度可以寫為：

其中，

若在振動(dòng)臺(tái)上布置n個(gè)三軸向傳感器，并將式（10）整理后有：

式中ex，ey和ez分別為坐標(biāo)系三個(gè)軸向上的單位向量。根據(jù)上式，有：

式中 輸入轉(zhuǎn)換矩陣定義為：

式中 pinv（·）表示對(duì)矩陣取偽逆。上標(biāo)‘T’表示對(duì)矩陣取轉(zhuǎn)置。

3 輸出轉(zhuǎn)換矩陣

本節(jié)分析六自由度振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需的六個(gè)合力與激振器實(shí)際所需施加激振力之間的關(guān)系，并推導(dǎo)得到輸出轉(zhuǎn)換矩陣的一般表達(dá)式。

圖3 給出了振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)受到m個(gè)激振器作用的示意圖，其中坐標(biāo)系原點(diǎn)位于振動(dòng)臺(tái)的質(zhì)心處。施加在振動(dòng)臺(tái)體質(zhì)心上的合力F1可以表示為：

圖3 振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)受力示意圖Fig.3 Sketch map for vibration shaker subjected to input forces

式中υ表示單位方向矢量，f為激振器施加在振動(dòng)臺(tái)上的力。

施加振動(dòng)臺(tái)體質(zhì)心上的合力矩F2可以表示為：

式中l(wèi)為力臂矢量。將向量積用矩陣形式表示，則可以寫為：

將式（15）和（17）合并，有：

上式可寫為：

若實(shí)際想要控制的自由度數(shù)為d（d≤6，d為整數(shù)），則上式寫為：

式中T2為行滿秩矩陣，因此，有：

進(jìn)一步地：

因此，輸出轉(zhuǎn)換矩陣定義為：

此外，定義配置矩陣為：

4 振動(dòng)控制方法

三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的目的是使得控制自由度的響應(yīng)譜密度Syy等于預(yù)設(shè)的參考譜密度Srr。在每一根譜線處可以表示為：

參考譜密度矩陣為一個(gè)6×6 的正定厄米矩陣，對(duì)角線元素為正實(shí)數(shù)，表示自譜密度，非對(duì)角線元素為虛數(shù)，表示互譜密度。自譜密度代表了控制通道振動(dòng)量級(jí)大小，互譜密度代表了通道之間的相關(guān)性。值得注意的是，這里的譜密度矩陣是三維矩陣，其第三個(gè)維度是頻率。

驅(qū)動(dòng)傅里葉譜矩陣可以表示為：

式中Z為頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣的逆陣，且該矩陣在振動(dòng)控制前獲得。Θ為隨機(jī)相位矩陣，L為譜矩陣做喬里斯基分解得到的下三角矩陣。在首次驅(qū)動(dòng)生成時(shí)，L為從參考譜矩陣中獲取，表示為：

式中 上標(biāo)‘H’表示對(duì)矩陣取復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)矩陣X作傅里葉逆變換即可得到多輸入時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)。控制點(diǎn)處的加速度傳感器采集到的響應(yīng)信號(hào)需要通過輸入轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行變換，表示為：

對(duì)轉(zhuǎn)換后的響應(yīng)時(shí)域信號(hào)做功率譜密度估計(jì)。由于計(jì)算誤差、噪聲干擾等影響，控制點(diǎn)處的響應(yīng)譜密度往往不能貼合在參考值附近，特別是在共振峰處常常出現(xiàn)譜線超標(biāo)現(xiàn)象。此時(shí)，在閉環(huán)均衡過程中需要利用控制算法對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行修正，矩陣冪次控制算法可以表示為［8］：

式中Ly為當(dāng)前響應(yīng)譜密度做喬里斯基分解得到的下三角矩陣；Lold為上一次均衡過程中的下三角矩陣；Lnew用于更新式（26）中的下三角矩陣L，也就更新了驅(qū)動(dòng)信號(hào)；η為收斂因子。

5 討論

5.1 激振器配置

電動(dòng)式六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)常見的八個(gè)激振器配置方案如圖4，5所示。下面計(jì)算這兩種情形下的輸出轉(zhuǎn)換矩陣。假設(shè)振動(dòng)臺(tái)面呈正方形并且邊長(zhǎng)為2l。以配置方式一為例，根據(jù)第3 節(jié)中的推導(dǎo)，激振器施加在振動(dòng)臺(tái)上力的單位方向向量分別為各個(gè)力對(duì)應(yīng)的力臂向量分別為

圖4 八個(gè)激振器配置方式一Fig.4 Eight shakers configuration mode 1

圖5 八個(gè)激振器配置方式二Fig.5 Eight shakers configuration mode 2

根據(jù)式（18），可以得到：

那么輸出轉(zhuǎn)換矩陣就可以由式（23）得到。同樣地可以得到配置方式二的T2矩陣，即：

此外，可以發(fā)現(xiàn)兩者的配置矩陣是一致的，即為：

該矩陣可以體現(xiàn)出激振器的配置方式，比如在x軸平動(dòng)方向有兩個(gè)激振器同時(shí)提供此方向上所需的驅(qū)動(dòng)力。

5.2 傳感器布置

對(duì)于三軸六自由度振動(dòng)測(cè)試來說，被測(cè)對(duì)象一般安裝在振動(dòng)臺(tái)面的中心位置，三軸向傳感器布置在振動(dòng)臺(tái)面的四周，如圖6所示，這樣可以較好地測(cè)量到轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的貢獻(xiàn)。根據(jù)第2 節(jié)中的推導(dǎo)，該坐標(biāo)系建立在臺(tái)面中心位置，四個(gè)加速度傳感器的坐標(biāo)分別為（l，l，0），（-l，l，0），（-l，-l，0）和（l，-l，0）。

圖6 加速度傳感器布置Fig.6 Acceleration sensors configuration

根據(jù)式（12），可以得到：

因此，輸入轉(zhuǎn)換矩陣可以通過式（13）得到。

文獻(xiàn)［9］討論了傳感器布置對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，并且表明，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)換矩陣的條件數(shù)最小時(shí)，噪聲擾動(dòng)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生的影響最小。輸入轉(zhuǎn)換矩陣的條件數(shù)最小這個(gè)條件對(duì)應(yīng)著傳感器呈正多邊形布置。另外，若在試驗(yàn)頻帶內(nèi)，振動(dòng)臺(tái)體發(fā)生彈性變形，將對(duì)測(cè)試結(jié)果有一定的影響。

6 算例

本節(jié)給出一個(gè)三軸六自由度振動(dòng)試驗(yàn)控制仿真算例。振動(dòng)臺(tái)模型如圖4所示，八個(gè)激振器簡(jiǎn)化為同樣的彈簧阻尼系統(tǒng)，其中剛度和阻尼系數(shù)分別為4.5×109N/m，1×104kg/s。振動(dòng)臺(tái)的長(zhǎng)寬高分別為0.8，0.8 和0.1 m，質(zhì)量密度為2660 kg/m3。四個(gè)三軸向加速度控制傳感器布置如圖6所示。計(jì)算可得仿真的振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)第一階固有頻率約為1157 Hz，因此設(shè)置仿真試驗(yàn)中控制頻帶為20～1000 Hz。

六個(gè)自由度的參考自譜及控制自譜如圖7所示，可以看出控制效果令人滿意。在參考互譜設(shè)置中，僅設(shè)置第1 和第5 自由度之間存在相干性，相干系數(shù)為0.5，相位差為π/6，其他自由度之間相干性為0?？刂频幕プV密度如圖8所示，其控制效果同樣令人滿意。

圖7 控制的六自由度響應(yīng)自譜密度Fig.7 Controlled response auto spectral densities of 6-DOF

圖8 控制的第1 和第5 自由度之間的響應(yīng)互譜Fig.8 Controlled response cross spectral densities between the first and fifth degree of freedom

7 結(jié)論

三軸六自由度振動(dòng)試驗(yàn)是當(dāng)前力學(xué)振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)的主要發(fā)展方向之一。先進(jìn)的六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)構(gòu)造復(fù)雜且造價(jià)昂貴。本文從理論上對(duì)當(dāng)前先進(jìn)的三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)及其控制方法進(jìn)行了推導(dǎo)與分析。本文的工作總結(jié)如下：

（1）推導(dǎo)了三軸六自由度振動(dòng)系統(tǒng)的加速度關(guān)系，得到了輸入轉(zhuǎn)換矩陣的一般表達(dá)式；

（2）對(duì)振動(dòng)臺(tái)體進(jìn)行了受力分析，得到了輸出轉(zhuǎn)換矩陣的一般表達(dá)式；

（3）給出了三軸六自由度隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制方法的一般步驟；

（4）對(duì)兩種八個(gè)振動(dòng)臺(tái)配置的三軸六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)以及傳感器布置方案進(jìn)行了討論。