陳宗青

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

0 引言

運(yùn)籌學(xué)既是一門(mén)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)必修課程，也是一門(mén)管理類的專業(yè)基礎(chǔ)課。運(yùn)籌學(xué)是二十世紀(jì)三四十年代發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興交叉學(xué)科[1]，在新時(shí)代的背景下，運(yùn)籌學(xué)的思想已經(jīng)滲透到了大數(shù)據(jù)和人工智能各個(gè)方面。

在傳統(tǒng)的運(yùn)籌學(xué)教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)存在下問(wèn)題：教學(xué)內(nèi)容多而且雜，不同知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系不是很大；學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)難度大、學(xué)習(xí)熱情低；難以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力等問(wèn)題。為了提高學(xué)生課程學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力，改革“以教為中心”的傳統(tǒng)教學(xué)方式，我們將BOPPPS教學(xué)模型引入到《運(yùn)籌學(xué)》的課堂教學(xué)中。

1 BOPPPS教學(xué)模型概述

BOPPPS模型是一個(gè)重在強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與和反饋的全閉環(huán)教學(xué)過(guò)程模型[2]，該模型以教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成作為核心將課堂教學(xué)過(guò)程可以規(guī)劃分為6個(gè)階段，依次為：導(dǎo)入（Bridge-in）、學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）、前測(cè)（Pre-test）、參與式學(xué)習(xí)（Participatory Learning）、后測(cè)（Post-assessment）和總結(jié)（Summary）。

《運(yùn)籌學(xué)》課程內(nèi)容有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，通過(guò)BOPPPS教學(xué)法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性，有效進(jìn)行課堂互動(dòng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)[2]；同時(shí)，它也對(duì)原有傳統(tǒng)課堂形式較為單一，學(xué)生被動(dòng)接受大量知識(shí)的模式提出新思路。

2 基于BOPPPS模型的“最短路問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)

教材清華大學(xué)出版社錢頌迪主編的《運(yùn)籌學(xué)》第四版[3]8.3節(jié)課程“最短路問(wèn)題”為例，按照BOPPPS教學(xué)法的模式，面向應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)高年級(jí)本科生同學(xué)設(shè)計(jì)一堂45分鐘的課堂教學(xué)。

（1）導(dǎo)入（3分鐘）。課堂引入，借助諺語(yǔ)“條條大路通羅馬”：去羅馬的途徑不止一條，如何選擇最好的一個(gè)？這里的“最好”可以是路程最短、用時(shí)最短、花費(fèi)最少，都可以歸結(jié)為“最短路問(wèn)題”，這里的最短路是兩頂點(diǎn)之間權(quán)重之和最小的路徑。最短路問(wèn)題作為一個(gè)經(jīng)常被用到的基本工具，可以解決生產(chǎn)生活中的許多問(wèn)題，比如導(dǎo)航路線推薦，管道鋪設(shè)，工序流程安排等等。生活中常用的例子：手機(jī)導(dǎo)航中的道路推薦，比如百度地圖中推薦線路有“最快”“換乘最少”“收費(fèi)最少”等等。今天要講的Dijkstra算法就是用來(lái)求解最短路問(wèn)題的經(jīng)典算法。

（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)（2分鐘）。向?qū)W生描述學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解并能描述算法的思想和適用條件，并能使用該算法求解最短路問(wèn)題。

（3）前測(cè)（3分鐘）。借助地圖的圖結(jié)構(gòu)建模過(guò)程通過(guò)提問(wèn)的方式復(fù)習(xí)圖的相關(guān)概念，地點(diǎn)抽象頂點(diǎn)，單向車道抽象成有向邊。邊的權(quán)值代表兩點(diǎn)之間道路的長(zhǎng)度。這個(gè)圖可以記為G(V,A,W)，其中是頂點(diǎn)集合，有向邊集合AV×V,W:A→R。

（4）參與式學(xué)習(xí)（20分鐘）。首先描述性的給出Dijkstra算法的基本思路：若序列{v1,…,vn-1,vn}是從v1到vn間的最短路，則序列{v1,…,vn-1,vn}必為從v1到vn-1的最短路。如圖1所示，假定 v1→v2→v3→v4是 v1到 v4的最短路，則 v1→v2→v3一定v1是v3到的最短路；如若不然，v1→v5→v3一定是到的最短路，則有v1→v5→v3→v4是v1到v4的更短的路，矛盾。

圖1

然后如何遞歸地使用這個(gè)思想逐步求解v1到各定點(diǎn)的最短路。舉個(gè)例子說(shuō)明一下這個(gè)算法。

例：已知如圖2所示的單行線交通網(wǎng)，每弧旁的權(quán)重表示通過(guò)這條單行線所需要的費(fèi)用?，F(xiàn)在某人要從v1出發(fā)，通過(guò)這個(gè)交通網(wǎng)到v7去，求總費(fèi)用最小的旅行路線。

圖2

根據(jù)算法思想，從v1出發(fā)，逐步求出v1到各頂點(diǎn)的最短路，直至得到v1到v7的最短路。在算法執(zhí)行過(guò)程中對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)vi使用雙標(biāo)記法進(jìn)行標(biāo)記，分別記錄v1到達(dá)該頂點(diǎn)的路的上一個(gè)頂點(diǎn)vj和路的長(zhǎng)度di；標(biāo)號(hào)分為臨時(shí)標(biāo)號(hào)和永久標(biāo)號(hào)，永久標(biāo)號(hào)表示求解了v1到該點(diǎn)的最短路。帶領(lǐng)學(xué)生完成開(kāi)始的步驟：①作為初始對(duì)標(biāo)號(hào)為[v1,0]，這個(gè)標(biāo)號(hào)是永久標(biāo)號(hào)；②v1出發(fā)到達(dá)的頂點(diǎn)是v2，v3，v4分別標(biāo)號(hào)為[v1,6],[v1,3][v1,1],此時(shí)可以斷定v1到達(dá)哪個(gè)頂點(diǎn)的路是最短路？讓學(xué)生在思考中記錄v4的標(biāo)號(hào)為永久標(biāo)號(hào)。讓學(xué)生在嘗試中應(yīng)用算法的思想完成后續(xù)的步驟，期間可能會(huì)發(fā)生更新標(biāo)號(hào)的問(wèn)題，讓學(xué)生在參與中解決困難。然后，總結(jié)歸納遇到的困難和解決方法，講解如何通過(guò)反向追蹤法借助永久標(biāo)號(hào)得到最短路。最后，借助負(fù)權(quán)算法的失效的例子，給出算法的適用條件：所有權(quán)值非負(fù)。

（5）后測(cè)（10分鐘）。選擇一個(gè)賦權(quán)有向圖作為隨堂練習(xí)，做為進(jìn)階選擇一個(gè)賦權(quán)無(wú)向圖作為作業(yè)。讓學(xué)生在復(fù)現(xiàn)算法步驟的同時(shí)靈活運(yùn)用。

（6）總結(jié)（3分鐘）?？偨Y(jié)算法的思想和執(zhí)行步驟，并歸納算法的優(yōu)缺點(diǎn)。通過(guò)算法的適用條件引出新課內(nèi)容：逐次逼近算法。

3 結(jié)語(yǔ)

在該節(jié)課中，筆者結(jié)合BOPPPS六步教學(xué)法講最短路問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)上述六個(gè)模塊的連貫構(gòu)成一個(gè)有效地完整課堂過(guò)程。實(shí)踐表明，該過(guò)程中充分考慮了教師教和學(xué)生學(xué)的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)師生參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)的核心環(huán)節(jié)，教師借助 BOPPPS六步教學(xué)法可以高效的設(shè)計(jì)一堂生動(dòng)有趣的課程，不僅提高了備課的效率，而且有效促進(jìn)學(xué)生積極參與課堂學(xué)習(xí)，能充分激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效果得到明顯改善。因而，這種教學(xué)模式對(duì)于運(yùn)籌學(xué)課程來(lái)說(shuō)都具有很強(qiáng)的適應(yīng)性和可操作性，可大規(guī)模推廣應(yīng)用。