鄒享明

（東北大學理學院，遼寧 沈陽 110000）

引言：考慮對流占優(yōu)反應擴散方程：

Peclet 數(shù)

時，方程呈現(xiàn)雙曲性質(zhì)，稱為對流占優(yōu)反應擴散方程。方程的解在靠近求解區(qū)域的部分邊界附近急速變化，稱為邊界層現(xiàn)象，且Peclet 數(shù)越大，邊界層區(qū)域越窄。

1 問題守恒形式和差分格式的構(gòu)造

將方程轉(zhuǎn)化為主部守恒形式，ρ (x,y),同時利用Green公式，得：

本文從該方程出發(fā)構(gòu)建相應的有限體積元格式。

考慮如圖1 所示單元。對原方程在V0上積分，利用格林公式，有

圖1 外心對偶剖分網(wǎng)格

對式中V0上的積分有

其中S0是V0的面積；

對邊界上的積分有

得到方程解在有限體積單元V0上的離散格式：

下面討論差分方程的性質(zhì)。在不引起混淆的情況下簡化下標，可改寫為：的相鄰節(jié)點集為M0，定義正則節(jié)點集，非正則節(jié)點集：

當Pi是非正則內(nèi)點時，由邊界條件得

定義差分算子：

則差分方程可改寫為：

其中

易知Lh滿足：

因此Lh是橢圓型差分算子，方程解的存在唯一性由文獻[1]給出。

2 解的穩(wěn)定性分析

考慮一種網(wǎng)格邊長為h 的正三角形剖分。不妨設(shè)P0

設(shè)Pi?Ω是一個內(nèi)節(jié)點，當Pi的所有相鄰節(jié)點均為內(nèi)節(jié)點時，稱為正則節(jié)點，否則稱為非正則節(jié)點。記Pi

首先證明W0在 Ωh2上取得其在 Ωh上的正的最大值。

若W0在 Ωh上為常數(shù)，結(jié)論成立；設(shè)W0不是常數(shù)，假設(shè)W0在上取得正的最大值M，必存在P0?使得 W0=M ，同時存在 Pi? M0使得 Wi＜M。又ai> 0，有

矛盾，所以W0在上取得其在 Ωh上的正的最大值。

引理2 得證。

定理1：差分方程

其中

證明：解的存在唯一性由定理1 給出。下面進行最大模穩(wěn)定性估計：

將解分解為

則

定理2 得證。

3 解的誤差分析

由引理1 得

定理3 得證。

最后討論對流項系數(shù)不是常數(shù)的情形。引進對流項系數(shù)及相應指數(shù)變換在有限體積剖分區(qū)域上的分片常數(shù)逼近,

則方程在控制體積上改寫為：

在有限體積單元上積分，并利用格林公式，得

類似的，則可得到與之前差分方程一致的守恒型差分格式，其中用-→代替，且截斷誤差保持為 0 ( h2)。