于春霞，張建國(guó)，李 明

（1.黃河科技學(xué)院計(jì)算機(jī)系，河南鄭州 450063；2.河南理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南鄭州 451460；3.河南力天刀具有限公司技術(shù)開(kāi)發(fā)部，河南鄭州 450053）

壓縮感知（CS）屬于一種獲得廣泛研究的理論方法，能夠大幅提升信號(hào)分析效率，對(duì)于簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程以及提升模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性具有關(guān)鍵作用，此外也可以將其應(yīng)用于無(wú)法通過(guò)奈奎斯特方法進(jìn)行采樣制約的領(lǐng)域［1-2］。對(duì)于信號(hào)的數(shù)據(jù)采集與壓縮過(guò)程進(jìn)行壓縮感知處理時(shí)，只需設(shè)置合適數(shù)量的采樣點(diǎn)便可以重構(gòu)信號(hào)特征，由此減少采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)并在更小空間內(nèi)完成數(shù)據(jù)壓縮存儲(chǔ)［3-4］。因此，壓縮感知處理技術(shù)已成為現(xiàn)階段開(kāi)展數(shù)據(jù)采集、仿真信號(hào)分析、圖像數(shù)據(jù)處理、高速通信等眾多領(lǐng)域的重點(diǎn)研究課題。

根據(jù)壓縮感知理論存儲(chǔ)壓縮處理數(shù)據(jù)時(shí)，需對(duì)各項(xiàng)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，因此需先存儲(chǔ)稀疏矩陣與測(cè)試矩陣，同時(shí)發(fā)現(xiàn)擴(kuò)大信號(hào)規(guī)模后，形成了更大的存儲(chǔ)空間［5］。為了確?？梢栽诟】臻g范圍內(nèi)完成矩陣的存儲(chǔ)過(guò)程，國(guó)內(nèi)學(xué)者嚴(yán)?？档龋?］設(shè)置了分塊壓縮的方法處理語(yǔ)音信號(hào)，完成信號(hào)的快速感知計(jì)算。楊淑媛等［7］構(gòu)建了仿真模型來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像紋理數(shù)據(jù)的自動(dòng)分析功能，從而完成快速分塊壓縮感知。通過(guò)上述分塊壓縮感知處理后，大幅降低了稀疏矩陣數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間。采用連續(xù)監(jiān)測(cè)方法分析機(jī)械設(shè)備運(yùn)行過(guò)程的故障情況時(shí)，需要提供很大存儲(chǔ)空間才能滿足要求，為減少數(shù)據(jù)空間的占用量，可以采用語(yǔ)音信號(hào)分幀處理或?qū)D像數(shù)據(jù)進(jìn)行分塊的方式進(jìn)行電機(jī)軸承故障數(shù)據(jù)的壓縮，能夠顯著控制故障數(shù)據(jù)存儲(chǔ)過(guò)程所占的空間。對(duì)初始采集獲得的壓縮信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)后，再對(duì)故障信號(hào)種類實(shí)施重構(gòu)［8-9］。根據(jù)常規(guī)經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行分塊時(shí)無(wú)法實(shí)現(xiàn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的高效處理，從而導(dǎo)致重構(gòu)精度受到較大影響［10］。

利用重構(gòu)算法處理時(shí)應(yīng)根據(jù)信號(hào)稀疏度參數(shù)確定合適的支撐集，但進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用時(shí)并不能有效預(yù)測(cè)信號(hào)稀疏度。Donoho等［11］通過(guò)預(yù)先設(shè)定判斷閾值的方式建立了分段正交形式的匹配追蹤算法（SOMP），由此達(dá)到重構(gòu)支撐集原子的效果，可以針對(duì)未知稀疏度情況實(shí)施重構(gòu)計(jì)算。張淑清等［12］則對(duì)圖像進(jìn)行SOMP計(jì)算后發(fā)現(xiàn)該算法大幅縮短了圖像重構(gòu)時(shí)間。為了實(shí)現(xiàn)電機(jī)軸承故障信號(hào)快速完成分塊壓縮感知功能，構(gòu)建了自適應(yīng)分塊的方法對(duì)分段正交過(guò)程進(jìn)行匹配追蹤。由于上述處理方法中包含了信號(hào)分塊與K奇異值分解（KSVD）的過(guò)程，有助于在保持穩(wěn)定信號(hào)塊稀疏度狀態(tài)下減小信號(hào)塊稀疏度，之后進(jìn)一步優(yōu)化了SOMP算法，在重構(gòu)階段對(duì)支撐集二次篩選后形成排列結(jié)構(gòu)更加合理的支撐集原子組成方式，由此大幅改善了重構(gòu)性能。

1 AP-FBSOMP重構(gòu)算法

1.1 自適應(yīng)分塊方法

為了將信號(hào)重構(gòu)狀態(tài)調(diào)整到最佳狀態(tài)，可以利用自適應(yīng)分塊（AP）的模式來(lái)實(shí)現(xiàn)，同時(shí)根據(jù)信號(hào)特征設(shè)置合適的分塊長(zhǎng)度，顯著改善信號(hào)塊稀疏度的均衡性［13］。

軸承故障信號(hào)分解成分示意圖如圖1 所示。圖1 中，對(duì)電機(jī)軸承進(jìn)行運(yùn)行故障檢測(cè)發(fā)現(xiàn)共存在3 種信號(hào)類型，分別為沖擊信號(hào)、固有信號(hào)、噪聲信號(hào)，此外還可以將其理解為是通過(guò)沖擊成分與固有成分進(jìn)行復(fù)合的信號(hào)再跟噪聲信號(hào)混合后的結(jié)果［14］。

圖1 軸承故障信號(hào)分解成分Fig.1 Decomposition component of bearing fault signal

以下給出了信號(hào)計(jì)算的表達(dá)式為

式中：y（t）為軸承的故障信號(hào)；ω（t）為噪聲信號(hào)；x（t）為是不同復(fù)合信號(hào)。

以下表示電機(jī)軸承出現(xiàn)故障問(wèn)題時(shí)構(gòu)建的x（t）模型［15］：

式中：Τ為第i次沖擊造成的波動(dòng)幅度；s（t）為沖擊階段形成的衰減振蕩；fn為軸承運(yùn)行時(shí)的固有頻率；fr為旋轉(zhuǎn)頻率；CA為常數(shù)；B為衰減系數(shù)；A0為在激勵(lì)條件下的共振強(qiáng)度；?A與?ω均為初始相位。

Ai和s（t）2 個(gè)信號(hào)都呈現(xiàn)周期變化的規(guī)律，由以上信號(hào)構(gòu)成的復(fù)合信號(hào)x（t）也形成了具有周期性變化的結(jié)果。按照x（t）信號(hào)的周期完成信號(hào)的分塊過(guò)程，保證不同分塊中都產(chǎn)生同樣沖擊信號(hào)和固有信號(hào)，完成稀疏轉(zhuǎn)換后，信號(hào)獲得了一致稀疏度，此時(shí)每個(gè)分塊都形成了均衡稀疏度。

受噪聲信號(hào)影響后，不能準(zhǔn)確判斷復(fù)合信號(hào)x（t）每個(gè)周期的長(zhǎng)度。通過(guò)分析故障信號(hào)特點(diǎn)從語(yǔ)音信號(hào)提取得到基礎(chǔ)周期數(shù)據(jù)，再以短時(shí)自相關(guān)方式獲得復(fù)合信號(hào)周期，在此基礎(chǔ)上自適應(yīng)設(shè)置信號(hào)的分塊長(zhǎng)度，顯著提升分塊稀疏度的分布均勻性，由此重構(gòu)得到高精度的信號(hào)。

按照以下表達(dá)式定義故障信號(hào)Yn（t）自相關(guān)函數(shù)Rn（τ）：

式中：L為y（t）窗口長(zhǎng)度；Yn（t）為故障信號(hào)。

1.2 算法重構(gòu)支撐集分析

為提高SOMP 算法在較大稀疏度下進(jìn)行重構(gòu)的效果，由此實(shí)現(xiàn)重構(gòu)支撐集的優(yōu)化功能［15］：

假設(shè)重構(gòu)支撐集是由E1、I1共同組成。對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，支撐集由E集合原子構(gòu)成，進(jìn)行支撐集原子選擇時(shí)屬于對(duì)E集合有效支撐集原子進(jìn)行確定的過(guò)程。

1.3 算法流程

本文采用自適應(yīng)分塊的方式對(duì)前后向各段進(jìn)行正交匹配追蹤，算法流程如圖2所示。

圖2 算法流程Fig.2 Algorithm flow chart

2 仿真分析

2.1 支撐集仿真分析

利用以下式子進(jìn)行振動(dòng)仿真信號(hào)的測(cè)試：

以上信號(hào)是利用各頻率正弦信號(hào)疊加形成的，設(shè)定頻率為5 000 Hz 的條件實(shí)施采樣，測(cè)試形成圖3中的時(shí)域波形。

圖3 仿真信號(hào)波形Fig.3 Simulation signal waveform

本次測(cè)試的高斯數(shù)據(jù)長(zhǎng)度256，稀疏度為30，由此得到SOMP 算法重構(gòu)支撐集，再對(duì)100×256 高斯隨機(jī)矩陣進(jìn)行測(cè)試。

本實(shí)驗(yàn)設(shè)置了多種類型的有效支撐集并開(kāi)展重構(gòu)測(cè)試，之后逐漸增加重構(gòu)支撐集原子數(shù)。為對(duì)比各個(gè)支撐集對(duì)重構(gòu)性能產(chǎn)生的作用，將有效支撐集的原子數(shù)設(shè)定在1～30 之間，同時(shí)設(shè)定步長(zhǎng)為5的情況再將支撐集原子數(shù)從0 逐漸升高至40，從而得到不同條件下的重構(gòu)誤差，測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 相對(duì)誤差隨支撐集原子數(shù)變化Tab.1 Relative error changes with atomic number of support set

從表1 中可以看到，隨著重構(gòu)支撐集的有效支撐集原子數(shù)增加后，獲得了跟初始信號(hào)誤差更低的重構(gòu)信號(hào)，可以推斷兩種信號(hào)形成了更相近狀態(tài)。重構(gòu)支撐集中的原子數(shù)對(duì)測(cè)試誤差具有直接影響，逐漸增加有效支撐集原子數(shù)后，重構(gòu)信號(hào)達(dá)到了更低誤差，顯著優(yōu)化了信號(hào)重構(gòu)效果。經(jīng)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，將有效支撐集的原子數(shù)設(shè)定在1 時(shí)，曲線相對(duì)誤差達(dá)到最大值，原子數(shù)設(shè)定在30 時(shí)，相對(duì)誤差達(dá)到最低。以上測(cè)試結(jié)果表明，對(duì)于有效支撐集保持固定原子數(shù)的情況下，此時(shí)造成相對(duì)誤差變化的因素主要為支撐集原子數(shù)。

2.2 算法重構(gòu)性能仿真分析

為綜合評(píng)價(jià)FBSOMP 算法的重構(gòu)性能，運(yùn)用正交匹配追蹤（OMP）、FBSOMP、子空間追蹤（SP）、壓縮正交匹配追蹤（SOMP）多種類型的算法完成重構(gòu)仿真的對(duì)比分析，測(cè)定了100×256 高斯隨機(jī)矩陣，步長(zhǎng)保持5，控制信號(hào)稀疏度從0 增大至50。不同算法重構(gòu)信號(hào)成功重構(gòu)率，相對(duì)誤差以及重構(gòu)時(shí)間對(duì)比結(jié)果如圖4～圖6所示。

對(duì)圖4～圖6 進(jìn)行分析可知，采用FBSOMP 算法進(jìn)行處理時(shí)成功重構(gòu)率達(dá)到了最大，把信號(hào)稀疏度提高至40 時(shí)，成功重構(gòu)率只達(dá)到65%，相對(duì)其他算法發(fā)生了明顯增大的現(xiàn)象；相對(duì)OMP、SP、SOMP的重構(gòu)時(shí)間明顯縮短；采用FBSOMP算法處理形成了相對(duì)誤差最小的重構(gòu)信號(hào)，已經(jīng)非常接近初始信號(hào)。根據(jù)仿真結(jié)果可知，從重構(gòu)過(guò)程的成功率、誤差與處理時(shí)間方面分析，F(xiàn)BSOMP 算法都具備更優(yōu)的重構(gòu)結(jié)果。

圖4 不同算法重構(gòu)信號(hào)成功重構(gòu)率對(duì)比Fig.4 Comparison of successful reconstruction rates of signals reconstructed by different algorithms

圖6 不同算法重構(gòu)時(shí)間對(duì)比Fig.6 Comparison of reconstruction time of different algorithms

圖5 不同算法重構(gòu)信號(hào)相對(duì)誤差對(duì)比Fig.5 Comparison of signal relative errors reconstructed by different algorithms

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 信號(hào)采集

本文主要針對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障系統(tǒng)在運(yùn)行階段形成的電機(jī)軸承故障信號(hào)進(jìn)行了測(cè)試分析。保持頻率為12 kHz 的條件下進(jìn)行采樣，可知電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 790 r/min，外徑尺寸0.177 5 mm。之后設(shè)計(jì)了測(cè)試方案驗(yàn)證驅(qū)動(dòng)端軸承內(nèi)圈、外圈與滾動(dòng)體故障情況，軸承內(nèi)圈和外圈原始故障信號(hào)測(cè)試結(jié)果如圖7所示。

圖7 軸承內(nèi)圈和外圈原始故障信號(hào)Fig.7 Original fault signals of inner and outer rings of bearing

接著利用FBSOMP 算法完成信號(hào)重構(gòu)過(guò)程，同時(shí)針對(duì)各條件下的測(cè)試情況果進(jìn)行了對(duì)比。同時(shí)設(shè)置了兩種經(jīng)驗(yàn)值分塊長(zhǎng)度，包括64 和100，對(duì)每組條件分別經(jīng)過(guò)100 次測(cè)試再計(jì)算得到平均結(jié)果。

3.2 軸承故障信號(hào)重構(gòu)

保持壓縮比為0.5的恒定值條件下實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)端軸承故障信號(hào)的重構(gòu)。之后利用施稀疏變換的方式處理DCT 域故障信號(hào)，同時(shí)完成稀疏信號(hào)的重構(gòu)計(jì)算，最后利用IDCT 方式對(duì)重構(gòu)結(jié)果實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)換的功能。

利用不同算法進(jìn)行處理得到的相對(duì)誤差及其重構(gòu)時(shí)間測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表2。依次針對(duì)各個(gè)故障齒輪區(qū)域進(jìn)行了測(cè)試發(fā)現(xiàn)獲得了與仿真結(jié)果接近的狀態(tài)：以FBSOMP 算法計(jì)算得到的重構(gòu)相對(duì)誤差最小，與其他3 種算法相比能夠更加快速達(dá)到重構(gòu)的效果。

表2 不同算法軸承故障信號(hào)相對(duì)誤差和重構(gòu)時(shí)間Tab.2 Relative errors and reconstruction time of bearing fault signals with different algorithms

對(duì)上述測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，采用本文FBSOMP 算法有效保留了SOMP 算法不需要預(yù)估信號(hào)稀疏度的優(yōu)點(diǎn)，由此達(dá)到更高的信號(hào)重構(gòu)精度。

3.3 復(fù)合故障信號(hào)重構(gòu)

采用本文方法開(kāi)展復(fù)合故障預(yù)測(cè)，同時(shí)設(shè)置了機(jī)械故障模擬器對(duì)不同類型的故障信號(hào)進(jìn)行了采集并對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行了測(cè)試分析。

不同算法混合故障信號(hào)原始圖和信號(hào)重構(gòu)結(jié)果如圖8 所示。完成信號(hào)的重構(gòu)后，可以達(dá)到準(zhǔn)確重現(xiàn)初始信號(hào)故障特征的狀態(tài)，有效實(shí)現(xiàn)了理想的匹配效果。不同算法復(fù)合故障信號(hào)相對(duì)誤差和重構(gòu)時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表3。根據(jù)表3 可以看到，以SOMP 算法重構(gòu)所需的時(shí)間最短，但相對(duì)誤差達(dá)到最大，F(xiàn)BSOMP算法則可以實(shí)現(xiàn)高效運(yùn)行的性能，由此大幅提高重構(gòu)信號(hào)精度。

圖8 不同算法混合故障信號(hào)原始圖和信號(hào)重構(gòu)Fig.8 Original diagram and signal recomposition of mixed fault signals with different algorithms

表3 不同算法復(fù)合故障信號(hào)相對(duì)誤差和重構(gòu)時(shí)間Tab.3 Relative errors and reconstruction time of compound fault signals of different algorithms

4 結(jié)論

（1）隨著重構(gòu)支撐集的有效支撐集原子數(shù)增加后，獲得了跟初始信號(hào)誤差更低的重構(gòu)信號(hào)，重構(gòu)信號(hào)達(dá)到了更低誤差，顯著優(yōu)化了信號(hào)重構(gòu)效果。相對(duì)OMP、SP、SOMP 的重構(gòu)時(shí)間明顯縮短，F(xiàn)BSOMP算法都具備更優(yōu)的重構(gòu)結(jié)果。

（2）利用不同算法處理相對(duì)誤差及其重構(gòu)時(shí)間測(cè)試結(jié)果得到，以FBSOMP 算法重構(gòu)相對(duì)誤差最小，能夠更加快速達(dá)到重構(gòu)的效果。

（3）信號(hào)重構(gòu)可以達(dá)到準(zhǔn)確重現(xiàn)初始信號(hào)故障特征的狀態(tài)，有效實(shí)現(xiàn)了理想的匹配效果。FBSOMP算法則可以實(shí)現(xiàn)高效運(yùn)行的性能，由此大幅提高重構(gòu)信號(hào)精度。