◎虎志忠

(甘肅省鎮(zhèn)原縣三岔中學(xué)，甘肅 慶陽 744512)

引 言

現(xiàn)階段，伴隨著立德樹人教育思想的深入落實，立足于能力素養(yǎng)培養(yǎng)來構(gòu)建高中教育體系已經(jīng)成為高考體制改革背景下高中教育創(chuàng)新發(fā)展的關(guān)鍵途徑.其中，圍繞高考所具有的引導(dǎo)教學(xué)、服務(wù)選才等作用，高考數(shù)學(xué)題目設(shè)計多強調(diào)對學(xué)生的知識素養(yǎng)與數(shù)學(xué)能力進行系統(tǒng)考查，而對于平面解析幾何知識來說，其涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化歸納等多種數(shù)學(xué)思想，在高考中大多以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)，分值占十七分到二十二分.因此，在針對平面解析幾何知識展開高考數(shù)學(xué)備考工作時，應(yīng)明確課程教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)分析能力的總體目標(biāo)，在著手于增強學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)上構(gòu)建科學(xué)的備考策略，進而有效提高學(xué)生的備考質(zhì)量，并促進學(xué)生的多元化發(fā)展.

一、高中新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下高考考綱精神的理解與分析

基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“高中新課程標(biāo)準(zhǔn)”)，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)兼具基礎(chǔ)性、發(fā)展性、適應(yīng)性等多個特點，即不僅應(yīng)面向全體學(xué)生，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，還應(yīng)著手于學(xué)生的個體差異與成長需求來提供多樣化的課程內(nèi)容，進而保障學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進學(xué)生的持續(xù)健康發(fā)展.對此，高中數(shù)學(xué)教育應(yīng)強調(diào)以立德樹人教育思想為指導(dǎo)，在不斷完善課程體系、突出教育主線的基礎(chǔ)上把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，進而構(gòu)建集學(xué)生多方面能力素養(yǎng)培養(yǎng)于一體的完整數(shù)學(xué)教育模式，并以明確的課程教育目標(biāo)為指導(dǎo)，確保學(xué)生能夠滿足未來國家社會市場發(fā)展的基本需求.此外，高中新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，應(yīng)在構(gòu)建高中課程體系的同時，引導(dǎo)學(xué)生積極掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，并依賴于教師的引導(dǎo)教育能效培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)、提出、探究、解決數(shù)學(xué)問題的能力，這不僅是高中教育的總體目標(biāo)，也是高考數(shù)學(xué)命題的主要依據(jù).因此應(yīng)深入把握高中新課程標(biāo)準(zhǔn)對于高考題設(shè)計的相關(guān)要求，在明確高考主要考查方向的基礎(chǔ)上建立完善的學(xué)生能力培養(yǎng)體系，并以此為基礎(chǔ)制訂符合學(xué)生發(fā)展需求的高考備考策略，保證學(xué)生備考原則與方向的正確性和合理性.

二、平面解析幾何高考備考的主要內(nèi)容與目標(biāo)分析

基于人教版高中數(shù)學(xué)教材，“直線和圓的方程”“圓錐曲線方程”等課程均涉及平面解析幾何知識，同時考慮到高中數(shù)學(xué)強調(diào)對學(xué)生的數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用能力進行培養(yǎng)，因此大多數(shù)平面解析幾何題目會涉及“三角函數(shù)”“解斜三角形”等課程知識.對此，通過深入分析高中課程內(nèi)容，平面解析幾何課程的教學(xué)目標(biāo)如下：其一，幫助學(xué)生學(xué)會在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立相對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握直線方程的五種形式，掌握直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)；其二，幫助學(xué)生學(xué)會利用代數(shù)知識理解圓錐曲線的基本性質(zhì)，其中主要涉及橢圓、雙曲線、拋物線的簡單幾何性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系內(nèi)不同圓錐曲線的位置關(guān)系，這些問題大多數(shù)都是通過聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系來解決；其三，引導(dǎo)學(xué)生就平面解析幾何知識中涉及的數(shù)學(xué)思想進行思考，其中包括數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化與歸納等；其四，幫助學(xué)生學(xué)會利用基本平面解析幾何知識解決數(shù)學(xué)實際問題，主要方法是通過數(shù)學(xué)建模找到與實際問題對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進而提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力；其五，幫助學(xué)生以平面直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)分析數(shù)學(xué)問題，建立恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，促使學(xué)生掌握基本的幾何問題解決技巧；其六，幫助學(xué)生系統(tǒng)分析平面解析幾何知識與代數(shù)知識的連接點，促使學(xué)生掌握將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)知識的解題技巧；其七，幫助學(xué)生學(xué)會基于不同數(shù)學(xué)問題情境建立圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并利用代數(shù)知識研究一些簡單的幾何實際問題；其八，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，使其能夠在解決數(shù)學(xué)問題時探索新的解題思路，并形成系統(tǒng)的問題解決思維.

三、平面解析幾何高考考情分析與命題動向研究

1.近年來全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷平面解析幾何考情分析

針對全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷，平面解析幾何是其整個考查體系的重點所在，是學(xué)生得分的一大關(guān)鍵.對此，以平面解析幾何知識體系內(nèi)較為重要的圓錐曲線為例進行分析.首先，基于題型角度，多以兩小題(選擇題或填空題各5分)和一大題(解答題12分)的形式呈現(xiàn)；其次，基于考查內(nèi)容，小題(選擇題或填空題)側(cè)重于對雙曲線進行綜合考查(如2016年第11題，2017年第9題，2019年第11題)以及對拋物線進行綜合考查(如2018年第5題，2019年第8題，2020年第8題)，對橢圓進行綜合考查的情況較少(如2019年第12題)，大題(解答題)側(cè)重于對橢圓和拋物線的綜合知識進行考查，主要考查內(nèi)容包括直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點、定值及范圍(如2017年第16題，2018年第16題，2019年第21題，2020年第19題).在大題的解答過程中，學(xué)生需具備較高的數(shù)學(xué)計算能力和利用數(shù)學(xué)語言表達解決問題思維過程的能力，通常來說，學(xué)生需應(yīng)用一元二次方程根的判別式與韋達定理等知識來對題目進行思考與解答.

2.全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷平面解析幾何考查熱點與命題動向分析

(1)直線與圓的考查

針對直線與圓的相關(guān)題型，選擇題或填空題出現(xiàn)得較為頻繁，其注重考查學(xué)生對于直線傾斜角與斜率、直線方程、圓的方程、直線與直線的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等知識的掌握及應(yīng)用情況.同時，基于考查熱點，直線與圓的位置關(guān)系出現(xiàn)的次數(shù)較多，其強調(diào)對學(xué)生利用代數(shù)方程解答基本數(shù)學(xué)幾何問題的能力進行考查，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)推理能力、抽象思維能力與計算分析能力，即需要學(xué)生充分掌握直線與圓的方程式，并能夠進行直線和圓的方程轉(zhuǎn)變，將其熟練地應(yīng)用在方程式計算中.同時要求學(xué)生能夠根據(jù)方程式在平面直角坐標(biāo)系中畫出方程的變化曲線，并利用數(shù)形結(jié)合思想分析題目的考查點.

(2)圓錐曲線的考查

對于圓錐曲線，選擇題、填空題、解答題中均有涉及，其中選擇題、填空題傾向于考查學(xué)生對于圓錐曲線的定義、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識的理解，需要學(xué)生構(gòu)建代數(shù)方程進行解答，而解答題則傾向于考查學(xué)生對于橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識的掌握情況.并且，基于考查熱點，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系出現(xiàn)得較為頻繁，其注重對學(xué)生利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，結(jié)合橢圓、雙曲線相關(guān)概念等知識進行解題的能力進行考查，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)學(xué)運算能力.

(3)命題動向

通過對近幾年全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷內(nèi)平面解析幾何題型進行分析，可以發(fā)現(xiàn)其存在考查形式靈活多變的特點，主要考查學(xué)生對于知識點分解、推導(dǎo)和應(yīng)用的能力，要求學(xué)生能夠靈活掌握課本中的基本公式，能夠熟練地進行公式的推導(dǎo)，熟悉公式的演變過程，并能夠?qū)⒐綉?yīng)用在數(shù)學(xué)計算中，進而簡化計算.但無論何種題型，其均蘊含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想，需要學(xué)生具備較強的運算求解能力與轉(zhuǎn)化分析能力.

四、針對平面解析幾何的高考考向分析與備考策略分析

高考強調(diào)對學(xué)生的數(shù)學(xué)知識素養(yǎng)與解題能力進行系統(tǒng)考查，因此，教師在圍繞平面解析幾何組織學(xué)生進行備考時，應(yīng)重視提升學(xué)生審題的科學(xué)性與嚴(yán)謹性，鍛煉學(xué)生的題目審核能力及實際應(yīng)用能力，讓學(xué)生能夠在審題之后，準(zhǔn)確地抓住題目的關(guān)鍵點，找到解題的突破口，在確保學(xué)生解題規(guī)范性和表達精確性的基礎(chǔ)上改善解題的整體效率，進而提升學(xué)生的理論考試成績.

1.基本性質(zhì)相關(guān)問題的考向分析與備考策略

基本性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)知識的基本理論，這部分理論內(nèi)容的教學(xué)需要和案例結(jié)合起來，以此來協(xié)助學(xué)生充分理解知識點，因此在教學(xué)過程中，教師需要先將基本性質(zhì)的字面意思分析清楚，再借助實例輔助學(xué)生理解，讓學(xué)生通過案例來理解課本中提到的基本概念，如圓錐曲線的離心率、定點、對稱點及其應(yīng)用.如此，學(xué)生在完成計算之后，便能夠掌握每個概念的具體含義，進而能夠充分掌握概念在解題過程中的有效應(yīng)用.

例如以圓錐曲線的離心率、頂點、對稱性為主的基本性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)平面解析幾何課程教學(xué)的重點所在，而高考命題也注重考查學(xué)生對于基本性質(zhì)與各知識點間聯(lián)系的認識和理解.

A.2 B.3 C.4 D.8

分析該題考查學(xué)生對于拋物線基本性質(zhì)的掌握情況，主要涉及拋物線焦點等基本性質(zhì)，學(xué)生需要具備一定的空間想象能力，以確保能夠繪制出拋物線的大致形狀，進而結(jié)合焦點的基本概念進行解題.學(xué)生通過題目中的已知數(shù)據(jù)，畫出圓錐曲線的大致形狀，然后找到解決問題的關(guān)鍵點，進而通過嚴(yán)謹?shù)姆治鲆约皵?shù)學(xué)運算，準(zhǔn)確地求出題目的答案.由此可見，在針對平面解析幾何基本性質(zhì)進行高考備考時，教師應(yīng)注重加深學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合思想的理解和感悟，通過引導(dǎo)學(xué)生畫圖的方式，來幫助其掌握正確的畫圖技巧，并通過幾何圖形來協(xié)助學(xué)生找到解題突破口，同時,利用幾何圖形讓學(xué)生檢測個人題目完成的準(zhǔn)確度，進而使學(xué)生在鞏固知識基礎(chǔ)的同時游刃有余地解答此類問題.

2.曲線方程與軌跡問題的考向分析與備考策略

曲線方程與軌跡考查的是數(shù)學(xué)變量和定量之間的關(guān)系，是學(xué)生解決平面幾何圖形運行軌跡的關(guān)鍵.在歷年高考解答題中，軌跡與方程問題出現(xiàn)的頻率較高，強調(diào)對學(xué)生利用曲線性質(zhì)求解曲線方程參數(shù)值的能力進行考查，同時了解學(xué)生對曲線方程軌跡的掌握和應(yīng)用情況，考查學(xué)生是否能夠?qū)⑶€方程應(yīng)用到實際生活中，因此在歷年考題中，除了對簡單的計算能力進行考查之外，甚至?xí)霈F(xiàn)一些實際應(yīng)用題目.當(dāng)然，無論哪種題目，其考查的核心都是學(xué)生對曲線性質(zhì)以及曲線方程的理解和掌握程度.例如，一些題目涉及平面動點運動軌跡的計算，而其目標(biāo)同樣在于求解曲線方程，因此同樣可將其歸為曲線方程問題.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD經(jīng)過頂點.

分析該題考查學(xué)生對于直線與橢圓曲線關(guān)系的理解和分析能力，學(xué)生除了需要充分掌握橢圓的基本性質(zhì)外，還應(yīng)具備一定的想象能力與運算能力.因此，在針對曲線方程與軌跡問題進行高考備考時，教師應(yīng)幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的解題思維，在鞏固學(xué)生知識基礎(chǔ)的同時對學(xué)生的想象能力進行提升，進而使其能夠精確分析圖形的具體形狀與問題的解決思路，最終達到正確解答問題的目的.

3.曲線方程的坐標(biāo)區(qū)間問題的考向分析與解決策略

曲線方程的坐標(biāo)區(qū)間在歷年高考中出題率也比較高，主要考查學(xué)生對曲線方程在坐標(biāo)中的呈現(xiàn)方式以及變化趨勢，旨在考查學(xué)生的綜合分析能力.學(xué)生通過曲線方程和曲線的結(jié)合，了解曲線方程的數(shù)值變化規(guī)律，其核心在于定量和變量之間的變化關(guān)系，也就是方程式的分解.

從以上三道高考復(fù)習(xí)題中可以看出，學(xué)生在復(fù)習(xí)平面解析幾何知識的過程中，需要引入數(shù)形結(jié)合思想，利用方程式和幾何圖形之間的變化，分析解題的突破點，而其核心是學(xué)生對方程基本形式、平面幾何基本性質(zhì)、函數(shù)運算公式的靈活應(yīng)用和轉(zhuǎn)變.學(xué)生通過分析關(guān)鍵點，找到解題思路，并準(zhǔn)確地完成數(shù)學(xué)計算，這考查的是學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力.

五、結(jié)束語

基于高中數(shù)學(xué)平面解析幾何的高考備考過程，由于相關(guān)題型往往涉及代數(shù)、幾何等多方面知識，因此，在備考過程中，教師應(yīng)注重對以往教學(xué)存在的重思路、輕運算等問題進行解決，通過完善學(xué)生的解題思路、加強學(xué)生的計算能力來提高學(xué)生的審題分析能力和運算求解能力，進而達到提高學(xué)生備考質(zhì)量的目的.