朱萍萍，孫 釗，王學(xué)花

(1．安徽大學(xué)江淮學(xué)院 公共基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 合肥230039；2．安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥230030；3．安徽大學(xué)江淮學(xué)院 理工部，安徽 合肥230039)

0 引言

?n≥1，歐拉函數(shù)φ(n)表示[1，n-1]中與n互質(zhì)的個(gè)數(shù)，歐拉函數(shù)是數(shù)論函數(shù)中的基本函數(shù)．近年來，對(duì)歐拉函數(shù)的性質(zhì)以及歐拉方程的求解方法的研究一直為眾多學(xué)者所關(guān)注[1-8]．如文獻(xiàn)[2]、[3]、[6]、[8]研究了如何求解三元常系數(shù)歐拉方程的正整數(shù)解；文獻(xiàn)[4]研究了方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的可解性．本文基于上述文獻(xiàn)的啟發(fā)下，研究變系數(shù)混合方程φ(abcd)=mφ(a)φ(b)+nφ(c)φ(d)可解性問題，并給出了當(dāng)m=3，n=4時(shí)該方程的全部173組正整數(shù)解．

1 相關(guān)引理

引理3[3]?n≥2時(shí)，φ(n)

2 定理及其證明

定理 歐拉方程φ(abcd)=mφ(a)φ(b)+nφ(c)φ(d)(m=3，n=4)的173組正整數(shù)解為：

(a，b，c，d)=(3，16，5，1)，(3，16，1，5)，(16，3，1，5)，(16，3，5，1)，(1，17，5，1)，(1，17，5，2)，(1，17，8，1)，(1，17，10，1)，(1，17，12，1)，(1，32，5，1)，(1，34，5，1)，(1，48，5，1)，(1，17，3，1)，(1，17，4，1)，(1，17，3，2)，(2，17，3，1)，(1，32，3，1)，(1，34，3，1)，(1，40，3，1)，(17，1，5，1)，(17，1，5，12)，(17，1，8，1)，(17，1，10，1)，(17，1，12，1)，(32，1，5，1)，(34，1，5，1)，(48，1，5，1)，(17，1，1，5)，(17，1，12，5)，(17，1，1，8)，(17，1，1，10)，(17，1，1，12)，(32，1，1，5)，(34，1，1，5)，(48，1，1，5)，(3，5，1，7)，(3，5，2，7)，(3，5，1，14)，(3，8，1，7)，(3，10，1，7)，(4，5，1，9)，(6，5，1，7)，(3，5，7，1)，(3，5，7，2)，(3，5，14，1)，(3，8，7，1)，(3，10，7，1)，(4，5，9，1)，(6，5，7，1)，(5，3，1，7)，(5，3，2，7)，(5，3，1，14)，(8，3，1，7)，(10，3，1，7)，(5，4，1，9)，(5，6，1，7)，(5，3，7，1)，(5，3，7，2)，(5，3，14，1)，(8，3，7，1)，(10，3，7，1)，(5，4，9，1)，(5，6，7，1)，(1，15，7，1)，(1，15，7，2)，(1，16，7，1)，(1，16，9，1)，(2，15，7，1)，(1，15，14，1)，(1，20，9，1)，(1，20，7，1)，(1，30，7，1)，(1，24，7，1)，(15，1，1，7)，(15，1，2，7)，(16，1，1，7)，(16，1，1，7)，(16，1，1，9)，(15，2，1，7)，(15，1，1，14)，(20，1，1，9)，(20，1，1，7)，(30，1，1，7)，(24，1，1，7)，(15，1，7，1)，(15，1，7，2)，(16，1，7，1)，(16，1，7，1)，(16，1，9，1)，(15，2，7，1)，(15，1，14，1)，(20，1，9，1)，(20，1，7，1)，(30，1，7，1)，(24，1，7，1)，(1，15，1，7)，(1，15，2，7)，(1，16，1，7)，(1，16，1，7)，(1，16，1，9)，(2，15，1，7)，(1，15，1，14)，(1，20，1，9)，(1，20，1，7)，(1，30，1，7)，(1，24，1，7)，(3，5，2，4)，(4，5，2，3)，(4，8，1，3)，(4，10，1，3)，(6，5，1，4)，(6，8，1，3)，(5，3，2，4)，(5，4，2，3)，(8，4，1，3)，(10，4，1，3)，(5，6，1，4)，(8，6，1，3)，(3，5，4，2)，(4，5，3，2)，(4，8，3，1)，(4，10，3，1)，(6，5，4，1)，(6，8，1，3)，(6，8，3，1)，(5，3，4，2)，(5，4，3，2)，(8，4，3，1)，(10，4，3，1)，(5，6，4，1)，(8，6，3，1)，(1，15，2，4)，(1，15，2，6)，(1，20，2，3)，(1，20，1，4)，(1，16，1，4)，(1，24，1，4)，(2，15，1，4)，(1，16，1，6)，(2，20，1，3)，(2，16，1，3)，(1，30，1，4)，(1，15，4，2)，(1，15，6，2)，(1，20，3，2)，(1，20，4，1)，(1，16，4，1)，(1，24，4，1)，(2，15，4，1)，(1，16，6，1)，(2，20，3，1)，(2，16，3，1)，(1，30，4，1)，(15，1，2，4)，(15，1，2，6)，(20，1，2，3)，(20，1，1，4)，(16，1，1，4)，(24，1，1，4)，(15，2，1，4)，(16，1，1，6)，(20，2，1，3)，(16，2，1，3)，(30，1，1，4)，(15，1，4，2)，(15，1，6，2)，(20，1，3，2)，(20，1，4，1)，(16，1，4，1)，(24，1，4，1)，(15，2，4，1)，(16，1，6，1)，(20，2，3，1)，(16，2，3，1)，(30，1，4，1)，(3，4，2，2)，(4，4，1，2)，(4，4，2，1)，(8，1，2，2)，(8，2，1，2)，(8，2，2，1)，(12，2，1，2)，(12，1，2，2)，(12，2，2，1)

證明：對(duì)于歐拉方程

φ(abcd)=mφ(a)φ(b)+nφ(c)φ(d)

(1)

根據(jù)引理2可以得到

則g(abcd)=1，2，3，…，(m+n)，若m=3，n=4，則m+n=7，所以，以方程

φ(abcd)=3φ(a)φ(b)+4φ(c)φ(d)

(2)

為例，我們來尋求一般變系數(shù)歐拉方程的求解方法，其求解過程如下：

根據(jù)引理3可知不存在這樣的a，b，c，d滿足φ(a)φ(b)=5，φ(c)φ(d)=15，接下來就a，b，c，d的取值分別進(jìn)行討論．

1．當(dāng)φ(a)φ(b)=16，φ(c)φ(d)=4時(shí)，a，b，c，d的取值須滿足如下條件(a，bcd)=1，(b，cd)=1，(c，d)=1，討論如下：

要使(2)式有解則(a，b，c，d)=(3，16，5，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，16，1，5)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，16，1，5)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(16，3，5，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(16，3，1，5)

驗(yàn)證可知方程無解．

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，17，5，1)，(1，17，5，2)，(1，17，8，1)，(1，17，10，1)，(1，17，12，1)，(1，32，5，1)，(1，34，5，1)，(1，48，5，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，17，1，5)，(1，17，2，5)，(1，17，1，8)，(1，17，1，10)，(1，17，1，12)，(1，32，1，5)，(1，34，1，5)，(1，48，1，5)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，17，3，1)，(1，17，4，1)，(1，17，3，2)，(2，17，3，1)，(1，32，3，1)，(1，34，3，1)，(1，40，3，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(17，1，5，1)，(17，1，5，12)，(17，1，8，1)，(17，1，10，1)，(17，1，12，1)，(32，1，5，1)，(34，1，5，1)，(48，1，5，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(17，1，1，5)，(17，1，12，5)，(17，1，1，8)，(17，1，1，10)，(17，1，1，12)，(32，1，1，5)，(34，1，1，5)，(48，1，1，5)

驗(yàn)證可知方程無解．

驗(yàn)證可知方程無解．

驗(yàn)證可知方程無解．

驗(yàn)證可知方程無解．

2．當(dāng)φ(a)φ(b)=8，φ(c)φ(d)=6時(shí)，結(jié)合引理3，就a，b，c，d的取值分如下情形討論：

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，5，1，7)，(3，5，2，7)，(3，5，1，14)，(3，8，1，7)，(3，10，1，7)，(4，5，1，9)，(6，5，1，7)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，5，7，1)，(3，5，7，2)，(3，5，14，1)，(3，8，7，1)，(3，10，7，1)，(4，5，9，1)，(6，5，7，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(5，3，1，7)，(5，3，2，7)，(5，3，1，14)，(8，3，1，7)，(10，3，1，7)，(5，4，1，9)，(5，6，1，7)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(5，3，7，1)，(5，3，7，2)，(5，3，14，1)，(8，3，7，1)，(10，3，7，1)，(5，4，9，1)，(5，6，7，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，15，7，1)，(1，15，7，2)，(1，16，7，1)，(1，16，9，1)，(2，15，7，1)，(1，15，14，1)，(1，20，9，1)，(1，20，7，1)，(1，30，7，1)，(1，24，7，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(15，1，1，7)，(15，1，2，7)，(16，1，1，7)，(16，1，1，7)，(16，1，1，9)，(15，2，1，7)，(15，1，1，14)，(20，1，1，9)，(20，1，1，7)，(30，1，1，7)，(24，1，1，7)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(15，1，7，1)，(15，1，7，2)，(16，1，7，1)，(16，1，7，1)，(16，1，9，1)，(15，2，7，1)，(15，1，14，1)，(20，1，9，1)，(20，1，7，1)，(30，1，7，1)，(24，1，7，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，15，1，7)，(1，15，2，7)，(1，16，1，7)，(1，16，1，7)，(1，16，1，9)，(2，15，1，7)，(1，15，1，14)，(1，20，1，9)，(1，20，1，7)，(1，30，1，7)，(1，24，1，7)

所以a，b，c，d的取值滿足如下六者之一即可：

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，5，2，4)(4，5，2，3)，(4，8，1，3)，(4，10，1，3)，(6，5，1，4)，(6，8，1，3)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(5，3，2，4)，(5，4，2，3)，(8，4，1，3)，(10，4，1，3)，(5，6，1，4)，(8，6，1，3)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，5，4，2)，(4，5，3，2)，(4，8，3，1)，(4，10，3，1)，(6，5，4，1)，(6，8，3，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(5，3，4，2)，(5，4，3，2)，(8，4，3，1)，(10，4，3，1)，(5，6，4，1)，(8，6，3，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，15，2，4)，(1，15，2，6)，(1，20，2，3)，(1，20，1，4)，(1，16，1，4)，(1，24，1，4)，(2，15，1，4)，(1，16，1，6)，(2，20，1，3)，(2，16，1，3)，(1，30，1，4)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，15，4，2)，(1，15，6，2)，(1，20，3，2)，(1，20，4，1)，(1，16，4，1)，(1，24，4，1)，(2，15，4，1)，(1，16，6，1)，(2，20，3，1)，(2，16，3，1)，(1，30，4，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(15，1，2，4)，(15，1，2，6)，(20，1，2，3)，(20，1，1，4)，(16，1，1，4)，(24，1，1，4)，(15，2，1，4)，(16，1，1，6)，(20，2，1，3)，(16，2，1，3)，(30，1，1，4)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(15，1，4，2)，(15，1，6，2)，(20，1，3，2)，(20，1，4，1)，(16，1，4，1)，(24，1，4，1)，(15，2，4，1)，(16，1，6，1)，(20，2，3，1)，(16，2，3，1)，(30，1，4，1)

驗(yàn)證可得(2)式的解為(a，b，c，d)=(3，4，2，2)，(4，4，1，2)，(4，4，2，1)，(8，1，2，2)，(8，2，1，2)，(8，2，2，1)，(12，2，1，2)，(12，1，2，2)，(12，2，2，1)

且(a，bcd)=1，(b，cd)=1，(c，d)=1中至少有一個(gè)為7，而φ(7)無解．

所以(2)式無解．

3 研究貢獻(xiàn)及研究展望

本文突破了眾多學(xué)者對(duì)常系數(shù)歐拉方程的研究局限性，對(duì)任意n元變系數(shù)混合型歐拉方程展開研究．文中利用不等式的簡單性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化的求解方法，為同類型的方程提供了更簡單，更便捷，更容易理解的思路，形如φ(abcd)=mφ(a)+nφ(bcd)，φ(abcd)=mφ(a)+nφ(b)+lφ(cd)…等變形形式的n元?dú)W拉方程都可運(yùn)用本文所提供的解法進(jìn)行求解，學(xué)者也可以在后續(xù)的研究中繼續(xù)探討其他的求解方法．