段鵬偉，宮志華，岳 銳，田家磊

（解放軍63861 部隊，吉林 白城 137001）

0 引言

在武器系統(tǒng)試驗靶場，獲取高精度彈道參數(shù)是評定和分析武器打擊精度的重要內(nèi)容。隨著測試設(shè)備的快速發(fā)展，多種設(shè)備組網(wǎng)的數(shù)據(jù)融合測量方式已經(jīng)成為試驗靶場的常規(guī)測量模式，在試前準備過程中構(gòu)建更加科學(xué)的布站方案，已經(jīng)成為提高目標(biāo)測量精度的重要途徑。很多學(xué)者對如何優(yōu)化布站進行了深入研究，但其評估標(biāo)準不盡相同。對于各項武器裝備性能測試試驗，已知目標(biāo)的發(fā)射原點和方向、飛行速度以及理論軌跡等各種先驗信息，在這些條件下，目標(biāo)在理論軌跡上飛行的測量精度是評估布站方案優(yōu)劣的標(biāo)準。在各種定位系統(tǒng)中，幾何精度因子（GDOP）常用來描述定位精度與布站幾何的關(guān)系，因此，可以用GDOP 來評估布站方案。

GDOP 主要用于評估衛(wèi)星與定位地點之間的幾何關(guān)系的優(yōu)劣，后來被引入到組網(wǎng)測量領(lǐng)域，以評估被測目標(biāo)與測站形成的幾何關(guān)系的優(yōu)劣，但是對于組網(wǎng)測量，不同的數(shù)據(jù)融合的模型得出的GDOP 是不同的。受限于應(yīng)用領(lǐng)域，很多學(xué)者在以等權(quán)重的多測距模型計算空間位置相對測站的GDOP，這種方法只考慮測站布站位置與空間形成的幾何關(guān)系，沒有考慮不同測站距離測元的測量精度是否相同。為了克服算法的應(yīng)用缺陷，有的學(xué)者以不同精度作為權(quán)重的多測距模型計算GDOP，這種方法考慮了測元的精度指標(biāo)，但是沒有考慮測元的多樣性。對于多種測元融合模型，主要有3 類GDOP 計算方法。第1 類是基于最大似然估計的GDOP 計算方法，簡稱最大似然法（ML），以不同精度的距離測元和角度測元獲得了空間位置的GDOP，從而實現(xiàn)了更加精確的GDOP 求解。但是它的前提條件較為苛刻，很多時候無法滿足，同時，對于有些測元無法求出其定位平面，這就導(dǎo)致雖然這些測元參與融合計算，但是無法給出其參與融合后的GDOP。第2 類是基于克拉美羅下界（CRLB）的GDOP 算法，簡稱克拉美羅法，這類算法可以拓展到任意測元，但是多數(shù)學(xué)者仍以距離測元和角度測元作為觀測量，并且該算法需要已知所有測元與待估計狀態(tài)量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，還要求測元的誤差為相互獨立的隨機變量。第3 類是基于加權(quán)最小二乘估計的GDOP 計算方法，簡稱加權(quán)最小二乘法（WLS），以最小二乘法計算不同融合模型GDOP，沒有約束條件，但是現(xiàn)有應(yīng)用同樣僅以距離和角度測元的融合模型計算GDOP，沒有考慮其他測元是否對融合定位產(chǎn)生影響。

以上這些計算方法基本都是遍歷空間的某些區(qū)域，逐個單點計算GDOP，因此，這些算法屬于靜態(tài)的GDOP 計算方法。在實際的彈道組網(wǎng)測量中，目標(biāo)是運動的，目標(biāo)定位的數(shù)據(jù)融合模型也是動態(tài)的，這時不僅靜態(tài)的目標(biāo)空間位置對布站方案的GDOP 有影響，動態(tài)的目標(biāo)速度、加速度等與目標(biāo)空間位置相關(guān)的參數(shù)也將參與到數(shù)據(jù)融合測量中，對目標(biāo)定位精度產(chǎn)生影響，也可以認為對布站方案的GDOP 有影響。因此，本文以徑向速度這一動態(tài)測元為例，將加權(quán)最小二乘法拓展到具有徑向速度測元的動態(tài)融合模型中，使GDOP 能夠更加準確地體現(xiàn)組網(wǎng)測量布站方案的優(yōu)劣。

1 基于加權(quán)最小二乘估計的GDOP 拓展算法

彈道組網(wǎng)測量布站時，不僅可以獲得目標(biāo)的位置信息，還能夠獲得速度和加速度或者更多的先驗信息。根據(jù)CRLB 計算過程中的Fisher 信息矩陣，增加與待估計狀態(tài)量有關(guān)系的觀測量數(shù)量，會降低CRLB，也就意味著提升了待估狀態(tài)量的極限精度。以往算法僅僅利用了目標(biāo)空間位置這些靜態(tài)參數(shù)，而加權(quán)最小二乘法可以拓展到含有動態(tài)參數(shù)模型的GDOP 計算，屬于動態(tài)的GDOP 計算方法。以含有徑向速度測元的融合模型為例，將加權(quán)最小二乘法進行改進拓展。

1.1 建立誤差模型

假定在組網(wǎng)測量系統(tǒng)中，第i 個測站的站址為（x，y，z），對目標(biāo)測量值為距離測元R、方位測元A、俯仰測元E以及徑向速度測元V一個或幾個。不考慮站址誤差時，對于空中位置為（x，y，z）的目標(biāo)，由空間幾何關(guān)系可得：

則可得到各測元對應(yīng)的誤差方程。

距離誤差方程為：

方位誤差方程為：

假定測量值中有i 個R，j 個A，k 個E，q 個V，則將全部測站的全部測元的誤差方程聯(lián)立，可用矩陣形式表示為：

1.2 GDOP 解算

根據(jù)加權(quán)最小二乘算法，可求得：

其中，P 為權(quán)系數(shù)矩陣，一般取測元誤差的協(xié)方差矩陣。

彈道參數(shù)誤差向量ΔX 的協(xié)方差矩陣為：

根據(jù)GDOP 定義，可得：

當(dāng)各測元誤差為互不相關(guān)的隨機變量時，

該方法與以往的計算方法相比，模型的建立幾乎不需要前提條件，不僅利用了雷達測量的距離測元和角度測元等靜態(tài)測元，還利用了徑向速度這個動態(tài)測元，而且還可以推廣到更多類型的測元，極大限度地利用了測站的各種測元信息，計算得到的GDOP 能夠更加切合實際數(shù)據(jù)融合結(jié)果。在各測元誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機變量條件下，其結(jié)果即為克拉美羅下界，模型建立簡單，拓展性強，適用范圍廣。

2 仿真分析

為了使仿真結(jié)果更加明了，靜態(tài)GDOP 計算中僅使用距離測元，動態(tài)GDOP 計算中使用距離測元和徑向速度測元。

2.1 加權(quán)最小二乘法與最大似然法比較仿真

在各測元誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機變量條件下，加權(quán)最小二乘法與克拉美羅法等效，僅對加權(quán)最小二乘法與最大似然法做比較即可。

在相同布站方案和相同融合模型條件下，分別用最大似然法和加權(quán)最小二乘法計算相同區(qū)域的GDOP，以檢驗加權(quán)最小二乘法的正確性和準確性。

仿真條件：將4 個測站采用矩形布站，分別布設(shè)在（20 km，0，5 km），（20 km，0，-5 km），（-20 km，0，5 km），（-20 km，0，-5 km）這4 個高程為0 的點位上，采用4 測距融合模型，各測站測距精度為10 m，各測距誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機變量。

用兩種方法計算高度為10 km 的平面的GDOP等高線，如下頁圖1、圖2 所示，圖中*標(biāo)記為測站點位。

圖1 加權(quán)最小二乘計算GDOP 等高線圖

圖2 最大似然法計算GDOP 等高線圖

從GDOP 計算結(jié)果可以看出，在各測距誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機變量的假定條件下，加權(quán)最小二乘法與最大似然法計算結(jié)果幾乎完全相同，兩種算法也是等效的。同時證明了3 種算法在假定條件下的等效性，驗證了加權(quán)最小二乘法計算GDOP 的正確性、有效性和準確性。但是在各測元誤差相關(guān)或者無法確定測元誤差概率密度分布函數(shù)時，最大似然法和克拉美羅法無法計算GDOP，而加權(quán)最小二乘法不受假設(shè)條件限制。

2.2 彈道動態(tài)GDOP 仿真計算

在相同布站方案條件下，以加權(quán)最小二乘法及其拓展算法分別對空中彈道軌跡以不同的融合模型進行GDOP 計算，為了凸顯徑向速度的作用，模型盡量簡化：以4 測距融合模型與4 測距4 測速融合模型進行對比仿真。

仿真條件：設(shè)計仿真彈道，包含時間、彈道三維坐標(biāo)和速度等先驗信息。以發(fā)射點為原點，發(fā)射方向為x 方向，豎直向上方向為y 方向，通過右手法則確定z方向。在這個坐標(biāo)系下，將4 個測站采用常規(guī)的矩形布站，分別布設(shè)在（25 km，-4 m，-10 km），（120 km，-2 m，-10 km），（25 km，-3 m，10 km），（120 km，-5 m，-10 km）這4 個點位上。

以不同的測速精度進行兩次仿真，各測站測距精度恒定為10 m，測速精度在兩次仿真中分別設(shè)定為1 m/s 和0.1 m/s。

仿真彈道軌跡和布站方案示意圖如圖3 所示。圖中曲線為彈道軌跡，以*標(biāo)記了測站點位。

圖3 仿真彈道軌跡與測站布站示意圖

當(dāng)各測站的測速精度設(shè)定為1 m/s 時，分別采用兩種算法對彈道曲線的GDOP 計算結(jié)果分時顯示，如圖4 所示。

圖4 兩種算法的GDOP 計算結(jié)果（測速精度為1 m/s 時）

圖4（c）為圖4（b）放大后的彈道GDOP 計算結(jié)果曲線。

從圖4（a）中可以看到，初始時刻由于目標(biāo)與測站幾乎在同一平面上，角度測元不參與融合時，GDOP 很大，意味著定位精度很低；但是含有徑向速度測元的模型比沒有徑向速度的模型收斂要快一些。從圖4（c）中可以看到，兩條曲線基本重合，說明在各測站測速的相對精度較低時，雖然對GDOP 計算有影響，但是幾乎可以忽略不計，也就是精度相對較低測元對融合定位精度的提升貢獻很小。在這種條件下，兩種算法對布站方案的評估結(jié)果相差不大，僅在彈道初始段稍有差別。

當(dāng)各測站的測速精度設(shè)定為0.1 m/s 時，分別采用兩種算法對彈道曲線的GDOP 計算結(jié)果如下頁圖5 所示。

圖5 兩種算法的GDOP 計算結(jié)果（測速精度為0.1 m/s 時）

從圖5（a）中可以看到當(dāng)測速精度提升，含有徑向速度測元的模型計算的GDOP 收斂速度顯著提高。從圖5（c）中看到測速精度提升，GDOP 計算結(jié)果明顯變小，融合定位后的精度也將更高。若測速精度進一步提高，GDOP 計算結(jié)果會變小，但是不會超過該融合模型的克拉美羅下界。因此，測元只要與關(guān)注的彈道參數(shù)有關(guān)聯(lián)，就會對參數(shù)的測量精度產(chǎn)生影響，并且測元精度越高，GDOP 的計算結(jié)果越小，也就意味著融合精度越高。

在徑向速度精度較高的條件下，兩種算法對布站方案的評估結(jié)果相差比較明顯，一是彈道初始段，兩種方法的評價結(jié)果相差最大處相差超過一個數(shù)量級；二是在彈道中段，這時定位精度相對較高，但是兩種方法的評價結(jié)果相差一倍左右。因此，經(jīng)典加權(quán)最小二乘GDOP 算法在評估彈道組網(wǎng)測量的布站方案時未考慮動態(tài)參數(shù)，也同樣具有一定的缺陷，本文提出的基于加權(quán)最小二乘的GDOP 拓展算法能夠更加準確地評估布站方案。

3 結(jié)論

對于試驗靶場現(xiàn)有的彈道組網(wǎng)測量模式，測站的布站方案對目標(biāo)融合測量精度的影響較大，決定了對測站布站方案評估的研究具有重要的實際意義。本文在分析以往算法和經(jīng)典的加權(quán)最小二乘GDOP 算法的優(yōu)點和不足的基礎(chǔ)上，以徑向速度為例，將加權(quán)最小二乘法拓展到包含動態(tài)測元的模型中，提出了以基于加權(quán)最小二乘的GDOP 拓展算法計算結(jié)果為標(biāo)準，對彈道組網(wǎng)測量布站進行評估的方法。

通過仿真分析，得到以下結(jié)論：

1）基于加權(quán)最小二乘的GDOP 拓展算法與以往的計算方法相比，模型的建立幾乎不需要前提條件，只需測元數(shù)量冗余，因而可以利用更多動態(tài)測元，計算結(jié)果更加切合實際數(shù)據(jù)融合結(jié)果，能夠更加準確地評估彈道組網(wǎng)測量布站方案。

2）在各測距誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機變量的假定條件下，加權(quán)最小二乘法、最大似然法和克拉美羅法3 種方法等效，與3 種算法的理論基礎(chǔ)相符合，驗證了加權(quán)最小二乘法的正確性和準確性。

3）當(dāng)測站與目標(biāo)的幾何關(guān)系較差時，包含更多動態(tài)測元的融合模型可以改善彈道的GDOP，且測元相對精度越高對融合結(jié)果精度影響越大，對組網(wǎng)測量布站評估的權(quán)重也越大。

本文提出的方法具有一定的應(yīng)用推廣價值，可以推廣應(yīng)用到組合導(dǎo)航定位、移動基站定位和水下聲吶定位等其他定位測量系統(tǒng)的布站方案評估。