任亞男

【摘要】 大家在學習一元一次不等式不等式組時，經(jīng)常會遇到求不等式（組）的整數(shù)解的問題.解這類問題一般分為兩個步驟：第一步，計算這個不等式（組）的解集;第二步，根據(jù)計算出的解集，寫出不等式（組）的整數(shù)解.本文對此類問題進行分類分析.

【關(guān)鍵詞】 不等式組;整數(shù)解

1 不等式的解和解集

不等式的解：使不等式成立的未知量的值稱為不等式的解.不等式的解集指的是不等多的所有解的組合.不等式的解集可以在數(shù)軸上進行可視化地展示，實際展示的方式是首先明確邊界點，解集包含邊界點，用實心圓點表示，不包含邊界點，用空心圓圈表示.然后闡明方向：大向右，小向左.

不等式的解與一元一次方程的解存在較大差異.不等式的解是一個范疇，而一元一次方程的解是一個明確的值.

1.1 不等式的基本性質(zhì)

不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不會改變.如果在不等式左右兩端同時“乘”或“除”相同的正數(shù)，那么不等號的方向保持不變.如果等式左右同時“乘”或“除”相同的負數(shù)，那么不等號的方向與之前相反.”任意兩個實數(shù)a，b的大小關(guān)系有以下三種可能：

①a-b>0a>b.

②a-b=0a=b.

③a-b<0a<b.

1.2 一元一次不等式

一元一次不等式指的是不等式只存在一個未知數(shù)，同時未知數(shù)的次數(shù)是1，且未知數(shù)的系數(shù)不等于零.其一般形式是

ax+b>0或ax+b<0（a≠0）.

1.3 一元一次不等式組

由許多未知量相同的一元一次不等式組成的不等式組稱為一元一次不等式組.要想準確辨別不等式是否為一元一次不等式組，應該根據(jù)以下兩點：

（1）不等式左右形式相同且都是一元一次不等式，且未知量相同;

（2）不等式組中不等式的個數(shù)至少為2，即可以是2，3，4或更大的數(shù).

1.4 一元一次不等式組的解集

不等式組的解集主要指的是不等式組中每個一元一次不等式的解集中的相同部分，整數(shù)解則是解集中存在的整數(shù).

1.5 不等式組解集的確定方法

總體分為四種情況：（設(shè)a>b）

不等式組x>a，x>b的解集是x>a;

不等式組x<a，x<b的解集是x<b;

不等式組x<a，x>b的解集是b<x<a;

不等式組x>a，x<b無解.

1.6 解一元一次不等式組的步驟

第1步 逐一解出每個不等式的解或解集.

第2步 在數(shù)軸上畫出每個解集，它們的共同部分就是不等式組的解集.

2 求不等式組的整數(shù)解

例1 解不等式組-12x≤2-x，5x-1>3x-4，①②并求其整數(shù)解的和.

分析 要想求出整數(shù)解的合，應先求出其所有整數(shù)解，首先應該求出不等式組的解集.

解 解①，得x≤4;

解②，得x>-32，

故不等式組的解集是-32<x≤4，它的整數(shù)解是-1，0，1，2，3，4，整數(shù)解的和是

-1+0+1+2+3+4=9.

2 利用整數(shù)解求字母系數(shù)的范圍

例2 關(guān)于x的不等式組x+152>x-3，2x+23<x+a只有4個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）

（A）-5≤a≤143.

（B）-5≤a<-143.

（C）-5<a≤-143.

（D）-5<a<-143.

分析 本題是有關(guān)不等式組解集的逆用.解答這類題目，應先確定不等式組的解集，再根據(jù)相應法則列出系數(shù)中未知字母的關(guān)系式，從而求出未知字母的取值范圍.

解 原不等式組可化為x<21，x>2-3a，

因為不等式組只有4個整數(shù)解，

所以16≤2-3a<17，

解得-5<a≤-143，

故應選（C）.

3 利用不等式的整數(shù)解求代數(shù)式的值

例3 已知不等式5（x-2）+8<6（x-1）+7的最小整數(shù)解是方程2x-ax=3的解，求代數(shù)式4a-14a的值.

解 解不等式，得

x>-3，

所以滿足此不等式的最小整數(shù)解是-2.

把x=-2代入方程2x-ax=3中，得

2×（-2）-（-2）a=3，

整理，得-4+2a=3，

解得a=72，

所以4a-14a=4×72-14×27=14-4=10.

4 利用不等式的整數(shù)解解決實際問題

例4 某果園有3個種植小組，希望在10天之內(nèi)種植500棵果樹（每個小組每天平均種植數(shù)量一致），如果按照計劃種植速度將無法完成種植任務，需要每個小組每天多種植1顆果樹，這樣才能在規(guī)定期限內(nèi)完成種植任務，求每個小組每天的計劃種植量.（結(jié)果取整數(shù)）

分析 解答本題首先要挖掘出題目中隱含的不等關(guān)系，即“不能完成任務”和“提前完成任務”，構(gòu)建不等式組模型，其次要注意結(jié)果應取整數(shù)，即求整數(shù)解.

解 設(shè)每個小組原先每天種值x棵果樹，根據(jù)題意可得

3×10x<500，3×10（x+1）>500，

解得1523<x<1623.

因為x的值應是整數(shù)，

所以x=16.

答：每個小組原計劃每天種值16棵果樹.

5 利用不等式的非負整數(shù)解確定最大值

例5 小華、小麗一起去超市買同種彩筆和橡皮，請依照以下對話內(nèi)容解答問題：

小華：叔叔，我想買3支彩筆、2個橡皮，一共多少錢？售貨員：剛好19元.

小麗：叔叔，那我買1支彩筆、3個橡皮，需多少錢呢？售貨員：正好需11元.

（1）求出1支彩筆和1個橡皮各需多少錢？

（2）小華現(xiàn)有20元錢，需買1支彩筆，還想再買一些橡皮，那么她最多可買多少個橡皮？

分析 本題是二元一次方程組與不等式的綜合題，它的已知條件是以對話的形式給出的.首先，應正確理解對話中隱含的等量關(guān)系并列出方程組，求出彩筆和橡皮的價格，再根據(jù)現(xiàn)有錢數(shù)、不等式的解和橡皮的個數(shù)為整數(shù)確定最大值.

解 （1）設(shè)買一支彩筆要x元、買一個橡皮要y元，

依題意3x+2y=19，x+3y=11，

解得x=5，y=2.

（2）設(shè)買的橡皮為z個，則1×5+2z≤20，

解得z≤7.5.

因為z為非負整數(shù)，所以z的最大值為7.

答：（1）買1支彩筆需5元，1個橡皮需2元.

（2）小明最多可買7個橡皮.

6 利用不等式的整數(shù)解確定最小值

例6 郵政部門規(guī)定：信函重100克以內(nèi)（包括100克）每20克貼郵票0.8元，不足20克重以20克計算;超過100克，先貼郵票4元，超過100克部分每100克加貼郵票2元，不足100克重以100克計算.

（1）若要寄一封重35克的信函，需貼郵票多少元？

（2）若寄一封信函貼了6元郵票，問此信函可能有多重？

（3）七（1）班有9位同學參加環(huán)保知識競賽，若每份答卷重12克、每個信封重4克，請你設(shè)計方案，將這9份答案分裝在兩個信封中寄出，使所貼郵票的總金額最少.

分析 根據(jù)題意，第（2）問是確定信函重量的問題，第（3）問是根據(jù)重量選擇貼郵票的方案，再從中選擇最小值，現(xiàn)簡答如下：

（1）1.6元;

（2）100

（3）9份答卷分1份、8份或3份、6份裝，總金額最小，都是4.8元.

6 利用不等式的整數(shù)解設(shè)計方案

例7 某超市開展二十周年店慶，計劃將3 490個甲種零食與2 950個乙種零食進行搭配，創(chuàng)建a，b兩種零食禮包共50個進行活動促銷，已知a種零食禮包需要甲種零食80個，乙種零食40個，b種零食包需要甲種零食50個，乙種零食90個.

（1）求出符合零食數(shù)量的搭配方案.

（2）如果搭配a種零食禮包需要的成本為800元，搭配b種零食的禮包需要的成本為960元，請找出成本最低的搭配方案，并求出最低成本.

分析 此題目中的不等關(guān)系需要仔細查找，從大致上來看沒有明顯的不等式關(guān)系，但是仔細分析可以看出，無論以何種方式搭配a，b兩種零食禮包，前提都是甲種零食數(shù)量不能超過3 490個，乙種零食不能超過2 950個，可根據(jù)此關(guān)系列出不等式組，取得整數(shù)解.對于第二個問題可以結(jié)合具體搭配方式進行逐一求解.

解 設(shè)搭配a種禮包x個、則搭配b種禮包（50-x）個，

依題意，得80x+50（50-x）≤3 490，40x+90（50-x）≤2 950，

解不等式組，得x≤33，x≥31，

所以不等式的解是31≤x≤33.

因為x是整數(shù)，

所以x可取31，32，33，

所以可設(shè)計三種搭配方案：

①搭配a種禮包31個，搭配b種禮包19個;

②搭配a種禮包32個，搭配b種禮包18個;

③搭配a種禮包33個，搭配b種禮包17個.

（2）方法一：由于搭配b種禮包的成本高于a種.所以b種禮包搭配越少，成本越低，故應選擇方案③，這樣成本最低，最低成本為42 720元.

方法二：方案①需成本：

31×800+19×960=43 040（元）;

方案②需成本：

32×800+18×960=42 880（元）;

方案③需成本：

33×800+17×960=42 720（元），

所以應選擇方案③，這樣成本最低，最低成本為42 720元.