呂 達 趙永才 張增磊 時瑞超 趙 燈

(武漢第二船舶設計研究所,湖北 武漢 430205)

對于工程實際問題進行多目標優(yōu)化通常需要進行試驗或仿真計算,周期較長[1-5]。代理模型可以建立設計參數輸入和輸出之間的關系,有效減少設計過程中復雜仿真計算。初始代理模型建立后,再通過補充采樣,可以提高代理模型精度。對于克里金代理模型[6],常見的補充采樣策略有：隨機補充采樣、最優(yōu)值處補充采樣、在代理模型置信度最低處補充采樣和混合補充采樣等[7-9]。

本文將針對單目標問題的最大提升期望策略推廣至多目標優(yōu)化問題,提出了基于最大超體提升期望補充采樣策略。算例測試表明,新提出的采樣策略可以提高代理模型多目標優(yōu)化收斂效率,相對于傳統(tǒng)采樣策略具有一定優(yōu)勢。

1 代理模型優(yōu)化問題描述

綜合以上各式可知,克里金模型主要包括權重矩陣θ 和回歸函數β。本文使用MATLAB DACE 工具箱構造代理模型,該工具箱求解矩陣θ 采用迭代法,保證最終給出的預測值為無偏估計。

根據上式,在克里金模型中,影響預測誤差的重要因素是預測點與已知點之間的相關向量,當預測點距所有已知點較遠時,預測不確定性較大,反之則越小。

2 多目標優(yōu)化補充采樣策略

通過不斷補充加點,可以使代理模型地精度逐漸提高。因此,加點策略直接決定了優(yōu)化過程的走向[10,11]?？死锝鹉Ｐ驮陬A測采樣空間中采樣點的樣本值的同時給出該采樣點處的方差,基于這一特點,文獻[12]最早提出和采用了一種基于最大提升期望的補點(MAXEI)策略。

多目標問題的最優(yōu)解形式為帕雷托前沿,引入超體體積的概念,超體體積是指帕雷托前沿與參考點構成的封閉空間體積。相鄰兩次迭代之間超體體積之比可以作為優(yōu)化過程的收斂判據：

圖1 展示了4 個帕雷托前沿點構成的超體,引入超體貢獻的概念：

圖1 帕雷托前沿點構成的超體

超體貢獻(HVC)：對于一個已知的帕雷托解集PF={P∈PF|Pi=(Oi1,Oi2, …, OiN)}對應的超體記為HV(PF),除去某一點Pi后的點集記為PF*= PF - Pi,此時PF*中的任意前沿點依然為非支配解,這些非支配解構成的超體記為HV*= HV(PF*),則Pi對超體的貢獻為：

Step1：設P 為代理模型預測得到,坐標為(xp, yp),首先判斷點(xp, yp)是否為非支配點。將受P 支配的N 個前沿點記為Psub1,…,PsubN,如圖3 所示。

圖2 基于代理模型的預測點的超體貢獻值

Step2：按照一定順序對設計空間切片,若按圖3 所示的切片方式,則獨立支配空間的超體體積f(PF,x,y)可以根據所屬切片區(qū)域不同表示為如下形式：

圖3 空間點P 獨立支配區(qū)域切片劃分

基于上述切片法,采用遺傳算法以HVEI 為適應度,求出HVEI 最大處的點(MAXHVEI),該點即為補充采樣點。

3 補充采樣策略對比驗證

采用ZTD 系列測試函數[13]對MAXHVEI 方法驗證,并與與其他兩種補充采樣方法比較：

方法一：隨機采樣(RAND),在設計空間內隨機取點作為補充樣本點。

方法二：基于方差最大和基于當前最優(yōu)超體提升采樣,每次補充采樣兩個樣本點,記為HS(Hybrid Sampling)方法。

迭代終止時,統(tǒng)計MAXHVEI 方法、RAND 和HS 方法所用的加點個數,如表1 所示。

表1 三種補充采樣策略加點個數對比

4 結論

本文介紹了一種基于最大超體提升期望的代理模型多目標優(yōu)化補充采樣方法。以適用于單目標優(yōu)化問題的最大提升期望補充采樣方法為基礎,將其思想應用于多目標優(yōu)化問題,針對多目標優(yōu)化問題中面臨的超體體積提升期望求解問題,提出了一種切片方法,并通過編程求得數值解。通過標準數學算例驗證表明,在不同條件下,與傳統(tǒng)的RAND 和HS 補充采樣策略相比,本文MAXHVEI 方法所需加點次數分別減少37%～78%和35%～50%不等。應用于涉及多目標優(yōu)化的工程實際問題時,可以有效縮短設計周期。