楊文靜，夏建偉

（聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252000）

眾所周知，大規(guī)模非線性系統(tǒng)通常被視為由許多相互關(guān)聯(lián)的子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)。由于控制結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及各子系統(tǒng)之間信息交換的局限性，給大規(guī)模非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析帶來(lái)了很大的困難。為了克服這個(gè)困難，在過(guò)去的幾十年中，許多學(xué)者利用分散自適應(yīng)技術(shù)控制大規(guī)模系統(tǒng)[1-3]。然而該控制方法有一定的局限性，即系統(tǒng)中的不確定非線性函數(shù)要么是參數(shù)未知的線性函數(shù)，要么是已知非線性函數(shù)。為了克服這些限制，文獻(xiàn)[4-6]中利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或文獻(xiàn)[7-8]中利用模糊邏輯系統(tǒng)來(lái)識(shí)別未知非線性函數(shù)的自適應(yīng)分散控制方法得到了廣泛研究。其中，在文獻(xiàn)[8]中，針對(duì)一類(lèi)具有執(zhí)行器故障的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，利用模糊控制構(gòu)造了一種改進(jìn)的容錯(cuò)控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)都是半全局有限時(shí)間穩(wěn)定的。

另一方面， 為了有效地節(jié)省通信資源，減輕通信負(fù)擔(dān)，非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)事件觸發(fā)控制也受到了廣泛的關(guān)注。與傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)控制不同，事件觸發(fā)控制是一種僅在系統(tǒng)需要時(shí)才將控制器輸出應(yīng)用于系統(tǒng)的控制機(jī)制。最近，將模糊和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近方法與反步技術(shù)相結(jié)合，針對(duì)具有不同觸發(fā)機(jī)制的非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[9-14]提出了一些自適應(yīng)事件觸發(fā)控制方案。其中，針對(duì)具有未建模動(dòng)態(tài)的隨機(jī)非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[12]提出了一種基于變閾值方案的模糊自適應(yīng)有限時(shí)間事件觸發(fā)控制策略。在文獻(xiàn)[15]中，針對(duì)一類(lèi)不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制，使控制器和參數(shù)估計(jì)器同時(shí)觸發(fā)。然而，上述控制方案不能用于控制系統(tǒng)的瞬態(tài)行為和穩(wěn)態(tài)性能。在許多實(shí)際應(yīng)用中，除了跟蹤穩(wěn)定性外，經(jīng)常需要系統(tǒng)的跟蹤性能滿(mǎn)足預(yù)定的約束條件，并要求系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。

最近，預(yù)定義性能控制(Predefined Performance Control， PPC)技術(shù)一經(jīng)在文獻(xiàn)[16]中提出就引起了廣泛關(guān)注。預(yù)定義性能控制技術(shù)通過(guò)利用規(guī)定的性能函數(shù)(Predefined Performance Function, PPF)和構(gòu)造誤差變化來(lái)處理預(yù)定義的性能約束[15,17–18]。其中，文獻(xiàn)[17]針對(duì)一類(lèi)嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，提出了一種基于有限時(shí)間性能函數(shù)的自適應(yīng)模糊控制器，該控制器可以確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)都有界，并且跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)定范圍。然而，以上所述的基于PPF的性能控制方法取決于初始條件，這限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[19]提出了一種漏斗控制方法(Funnel Control)放寬了對(duì)初始條件的要求。近年來(lái)，利用反步技術(shù)，文獻(xiàn)[20-21]中研究了相對(duì)度為2的非線性系統(tǒng)的漏斗控制問(wèn)題，文獻(xiàn)[22-24]研究了相對(duì)度大于2的非線性系統(tǒng)的漏斗控制問(wèn)題。然而，到目前為止，對(duì)于大規(guī)模非線性系統(tǒng)的漏斗控制的研究還很少。因此，對(duì)于不確定大規(guī)模非線性系統(tǒng)，如何設(shè)計(jì)控制器，使得跟蹤誤差不僅在預(yù)定義的漏斗內(nèi)演化，而且與初始值無(wú)關(guān)，是一個(gè)值得解決的問(wèn)題。

基于上述討論，本文研究了一類(lèi)互聯(lián)大規(guī)模非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)事件觸發(fā)漏斗控制問(wèn)題。本文的主要貢獻(xiàn)如下:

(1) 與文獻(xiàn)[15, 17-18]中基于PPF的預(yù)定義性能控制相比，本文放寬了對(duì)初始條件的約束，所提出的漏斗函數(shù)的初始值是無(wú)窮大而不是一個(gè)有界常數(shù)。

(2) 與文獻(xiàn)[24]的研究相比，本文提出了一種新的障礙Lyapunov函數(shù)來(lái)處理漏斗約束，并確保系統(tǒng)的輸出總是在漏斗中演化。

(3) 與文獻(xiàn)[19-23]結(jié)果相比，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、事件觸發(fā)機(jī)制和反步技術(shù)設(shè)計(jì)了有限時(shí)間事件觸發(fā)控制器，該控制器能有效降低控制器與執(zhí)行器之間的傳輸負(fù)擔(dān)，并大大節(jié)省通信資源。

1 問(wèn)題陳述和準(zhǔn)備工作

1.1 問(wèn)題陳述

1.2 準(zhǔn)備工作

1.3 漏斗性能

圖1 跟蹤誤差預(yù)定性能示意圖Fig.1 A diagram of the prescribed tracking behavior.

為保證跟蹤誤差始終在漏斗內(nèi)演化，定義障礙函數(shù)為

2 事件觸發(fā)控制器設(shè)計(jì)

3 穩(wěn)定性分析

定理1 考慮一類(lèi)具有性能約束的大規(guī)模非線性系統(tǒng)(1),虛擬控制器(27),事件觸發(fā)控制器(29)和自適應(yīng)律(44)。在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下，可以保證以下性能：

(1) 系統(tǒng)的輸出信號(hào)在一定誤差內(nèi)可以追蹤到參考信號(hào)；

(2) 閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號(hào)都是半全局一致有界；

(3) 跟蹤誤差的軌跡始終在漏斗內(nèi)演變。

證明 可以通過(guò)以下4個(gè)步驟來(lái)證明定理的結(jié)果。

步驟1 對(duì)整個(gè)系統(tǒng)構(gòu)造李雅普諾夫候選函數(shù)為

將式(55)代入式(54)得到

4 仿真

圖2 y i(t)和 y di(t),i=1,2的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 The trajectories of y i(t) andydi(t),i=1,2

圖3展示了跟蹤誤差ei(t)(i=1,2)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從圖中可以看出，跟蹤誤差總是在給定的區(qū)域內(nèi)演化，并且所提出的控制機(jī)制放寬了對(duì)初始條件的要求。圖4描述了控制器ui(t)(i=1,2)的軌跡。圖5顯示了觸發(fā)間隔tk+1?tk。圖6顯示了自適應(yīng)率ζ ?i(i=1,2)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖3 跟蹤誤差e i(t),i=1,2的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 The trajectories of error trackingei(t),i=1,2

圖4 u i(t),i=1,2的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.4 The trajectories ofui(t),i=1,2

圖5 u i(t),i=1,2的觸發(fā)時(shí)間間隔Fig.5 Trigger time interval ofui(t),i=1,2

圖6 自適應(yīng)率ζ ?1和 ζ ?2的軌跡Fig.6 The trajectories of adaptive lawsζ ?1a ndζ?2

5 結(jié)論

本文研究了一類(lèi)不確定大規(guī)模非線性系統(tǒng)的分散自適應(yīng)事件觸發(fā)漏斗控制問(wèn)題。首先，通過(guò)障礙李雅普諾夫函數(shù)變換，遞歸構(gòu)造了一種新的自適應(yīng)分散漏斗控制器，以實(shí)現(xiàn)給定瞬態(tài)行為的輸出跟蹤。其次，為了解決控制器設(shè)計(jì)中的互聯(lián)項(xiàng)問(wèn)題，引入了一個(gè)輔助非線性函數(shù)。同時(shí)，將命令濾波技術(shù)應(yīng)用到反步設(shè)計(jì)中，避免了反步過(guò)程中的“復(fù)雜性爆炸”問(wèn)題。此外，還設(shè)計(jì)了一種事件觸發(fā)機(jī)制，以減少控制器和執(zhí)行器之間不必要的傳輸，從而提高資源效率。結(jié)果表明所提出的控制方案能保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)都是有界的，并且跟蹤誤差總是在漏斗中演化。最后，通過(guò)一個(gè)數(shù)值系統(tǒng)驗(yàn)證了該控制方法的有效性。