江蘇南京市棲霞區(qū)龍?zhí)吨行男W(xué)江畔人家校區(qū)（210058）袁 君

一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，筆者讀到一篇關(guān)于三角形的教學(xué)論文，主要論述的是三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)法。為了教好這節(jié)課，原作者多次磨課，文章詳細(xì)介紹了其中三版教案，給讀者呈現(xiàn)了整個(gè)修改和完善的過(guò)程。

第一版教案，原作者先出示兩個(gè)全等的直角三角形紙片、兩個(gè)全等的銳角三角形紙片和兩個(gè)全等的鈍角三角形紙片，然后演示將兩個(gè)全等的三角形紙片拼接成平行四邊形，再通過(guò)轉(zhuǎn)化法將平行四邊形與三角形的對(duì)應(yīng)元素等值代換，最后以三角形的面積是平行四邊形面積的一半為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式。筆者覺(jué)得第一版教案的演示法太直接，提供的材料也是事前做了“手腳”的，斧鑿的痕跡太明顯，學(xué)生還沒(méi)經(jīng)過(guò)自主思索，就已經(jīng)在教師的授意和提示下拼出了平行四邊形，然后順理成章推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式，但這不是學(xué)生自主思考的結(jié)果，更不是學(xué)生運(yùn)用智慧的成果。

第二版教案，原作者作了改進(jìn)：先出示從方格紙上剪下來(lái)的三角形（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)都是1厘米，即方格的面積為1平方厘米），讓學(xué)生盡量沿著方格線裁剪，割補(bǔ)成已經(jīng)學(xué)過(guò)的其他幾何圖形，然后按照方格數(shù)驗(yàn)證其面積大小，最后根據(jù)重組前后兩種圖形之間的元素代換來(lái)推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式。筆者認(rèn)為這種方法只是從特殊的三角形入手，通過(guò)割補(bǔ)，重組成其他幾何圖形來(lái)推導(dǎo)面積的算法，而且一旦這種方法奏效了，學(xué)生的思維就會(huì)形成定式，不再聯(lián)想用兩個(gè)全等的三角形拼接成平行四邊形來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)。

第三版教案，原作者先對(duì)常見(jiàn)特殊的四邊形面積公式進(jìn)行回顧溫習(xí)，接著出示一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)不同的平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出這三個(gè)四邊形的對(duì)角線，并將其分別切割成兩個(gè)全等的直角三角形、兩個(gè)全等的銳角三角形和兩個(gè)全等的鈍角三角形。通過(guò)這一操作，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，每個(gè)三角形都是它所在四邊形的面積的一半，如此，學(xué)生便可以很自然地聯(lián)想到“用任意兩個(gè)完全相同的三角形都可以拼成一個(gè)平行四邊形（或長(zhǎng)方形）”，借此便可推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式。

一、原作者的構(gòu)思

以上三版教案各有不同，原作者也極力推崇第三版教案。筆者掩卷而思，在第三版教案中，雖然最終的三角形的面積計(jì)算公式是由學(xué)生推導(dǎo)出來(lái)的，但離不開(kāi)教師有意引出對(duì)角線的環(huán)節(jié)，正是在這個(gè)暗示下，學(xué)生才會(huì)想到全等三角形旋轉(zhuǎn)拼接法。這種教學(xué)策略與第一版教案（直接出示成對(duì)的全等三角形）如出一轍，無(wú)非是變換了出場(chǎng)順序，因?yàn)樽铌P(guān)鍵的“畫(huà)對(duì)角線”是教師直接點(diǎn)出來(lái)的。

那么，怎樣才能讓學(xué)生經(jīng)歷有價(jià)值的思維過(guò)程呢？筆者當(dāng)時(shí)也寫(xiě)了一些筆記，主要觀點(diǎn)是將原作者第二版教案中的三角形再移回方格紙中（如圖1），每個(gè)方格的面積還是1平方厘米。此舉的目的是希望學(xué)生能夠借助方格紙的提示和啟發(fā)，在數(shù)方格和割補(bǔ)重組之外，也能發(fā)散思維想到擴(kuò)拼法。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生樂(lè)于數(shù)方格，在遇到占據(jù)“半格”的情況時(shí)，立刻就會(huì)想到割補(bǔ)、拼湊成整格的方法。接著，筆者繼續(xù)點(diǎn)撥，指出割補(bǔ)的缺陷——半格無(wú)法精準(zhǔn)拼湊，能不能在保留原圖的情況下進(jìn)行擴(kuò)展，不作任何切割，也不計(jì)算方格數(shù)，只用方格數(shù)代表的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算。在這樣的提示下，一部分學(xué)生想到了擴(kuò)拼法（如圖2）。最后，筆者分發(fā)作業(yè)紙（每張紙上分別畫(huà)直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形），要求學(xué)生分別標(biāo)注三角形的底和高，然后用筆將它們“復(fù)制”，擴(kuò)展成長(zhǎng)方形或平行四邊形。學(xué)生以畫(huà)代擺，將割補(bǔ)法和擴(kuò)拼法收入囊中。

圖1

圖2

在筆者看來(lái)，原作者執(zhí)教謹(jǐn)小慎微、瞻前顧后，內(nèi)心充滿了矛盾，既想摒棄明顯的提示（第一版教案），讓學(xué)生通過(guò)完全自主的探究想到擴(kuò)拼法，將兩個(gè)全等的三角形拼接成一個(gè)平行四邊形來(lái)推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式，又擔(dān)憂學(xué)生想不到，才用格子圖來(lái)暗示（第二版教案）。但事與愿違，學(xué)生并未想到擴(kuò)拼法，而是割補(bǔ)法，這倒是與平行四邊形聯(lián)系上了，但卻是將平行四邊形割補(bǔ)成長(zhǎng)方形的那一套借鑒到三角形中，弄巧成拙。無(wú)奈之下，原作者只好直接在平行四邊形上畫(huà)對(duì)角線（第三版教案），通過(guò)輔助線提示學(xué)生逆向思考，悟出將兩個(gè)全等的三角形拼接成平行四邊形的方法，可這不就又退回到第一版教案了嗎？為此，筆者才提出折中處理的教法——借助方格紙作背景來(lái)擴(kuò)拼。

二、質(zhì)疑者的構(gòu)思

時(shí)隔數(shù)月，有人撰文對(duì)筆者的教法提出質(zhì)疑。質(zhì)疑一，畫(huà)在方格紙中的三角形過(guò)于特殊，不具有代表性。質(zhì)疑二，推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式本就有多種方法，而擴(kuò)拼法只是其中一種。質(zhì)疑三，研究三角形的面積的方法要推廣到全部類型。對(duì)此，質(zhì)疑者提出新的觀點(diǎn)——從直角三角形的面積入手。

筆者完全贊同后兩個(gè)質(zhì)疑，但對(duì)質(zhì)疑一存疑。特殊的三角形才能體現(xiàn)數(shù)方格法的優(yōu)勢(shì)，只有存在數(shù)格子的便利，才能誘導(dǎo)學(xué)生去數(shù)，將具有明顯互補(bǔ)的兩個(gè)半格拼成一格，這實(shí)際上就是割補(bǔ)法。但割補(bǔ)法有弊端，因?yàn)楦钛a(bǔ)重組后的方格數(shù)難以重新整理和清點(diǎn)。而擴(kuò)拼成長(zhǎng)方形或平行四邊形就可以不用數(shù)方格，直接按照方格數(shù)代表的長(zhǎng)和寬算出四邊形的面積，三角形的面積是四邊形面積的一半就不言而喻了。因此，特殊三角形的出現(xiàn)只是誘餌，其目的就是誘導(dǎo)學(xué)生遷移聯(lián)想到一般三角形上，這個(gè)過(guò)程也體現(xiàn)了從特殊到一般的合情推理過(guò)程。

當(dāng)然，質(zhì)疑者的觀點(diǎn)也讓筆者獲益良多，如先讓學(xué)生試著在一個(gè)長(zhǎng)方形上畫(huà)一條直線（切割線），切出一個(gè)直角三角形（陰影部分），學(xué)生畫(huà)出了三種情況（如圖3）。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，第①種切法切出的直角三角形的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，只需測(cè)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬就能推算出這個(gè)直角三角形的面積。接著，質(zhì)疑者讓學(xué)生考慮后兩種切法，并提醒：“再造一個(gè)小長(zhǎng)方形，也能使這個(gè)三角形的面積成為小長(zhǎng)方形面積的一半?！睂W(xué)生經(jīng)過(guò)一番思索，立刻用虛線畫(huà)出對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形（如圖4）。這樣教學(xué)，既達(dá)到了擴(kuò)拼的目的，也達(dá)到了由特殊到一般的擴(kuò)展，即任意直角三角形都可以擴(kuò)拼成面積是其2倍的長(zhǎng)方形，三角形的面積都可以通過(guò)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬間接求得，擴(kuò)拼后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬就是原直角三角形的底和高。最后，質(zhì)疑者繼續(xù)擴(kuò)展：“如果換成銳角三角形或鈍角三角形，你能否擴(kuò)拼出類似的四邊形？”學(xué)生通過(guò)自主探究，以不同對(duì)應(yīng)邊為對(duì)接線，將兩個(gè)全等三角形拼組成不同形狀的平行四邊形，并逐一推導(dǎo)，得出三角形的面積計(jì)算公式。

圖3

圖4

對(duì)于外界的質(zhì)疑，筆者也不敢妄自菲薄。在教學(xué)中，想要達(dá)到讓學(xué)生完全自主探究的目標(biāo)，教師的干預(yù)越少越好，適時(shí)的指導(dǎo)、點(diǎn)撥也不能過(guò)于明顯，必須讓學(xué)生自主思考，自然而然想到科學(xué)的方法。同時(shí)，情境的設(shè)計(jì)不能太隱晦，而且割補(bǔ)的痕跡要非常明顯，要讓學(xué)生憑借觀察到的形態(tài)和直覺(jué)思維就能想到擴(kuò)拼法。質(zhì)疑者想到了直接出示將長(zhǎng)方形切割成兩個(gè)直角三角形的圖案，企圖讓學(xué)生在沒(méi)有任何誘導(dǎo)和暗示的情況下，自行想到用擴(kuò)拼法推算出直角三角形的面積，而后不斷改變切割線的位置，意圖用事實(shí)讓學(xué)生明白：任意形狀的直角三角形（復(fù)制一個(gè)后）都可以拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形。質(zhì)疑者想到了先采用特殊的直角三角形進(jìn)行擴(kuò)拼，促使學(xué)生建立深刻的拼接觀念，再推廣到一般三角形。

三、筆者的綜合分析

質(zhì)疑者的教法很新穎，特別是讓學(xué)生在一個(gè)長(zhǎng)方形中任意切出一個(gè)直角三角形的方式，這就涵蓋了所有的直角三角形。但細(xì)細(xì)思量，這樣的處理與開(kāi)篇介紹的第三版教案犯了同樣的錯(cuò)誤。原作者是在一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)平行四邊形上畫(huà)出對(duì)角線，一步到位完成對(duì)所有類型三角形的擴(kuò)拼，而質(zhì)疑者是先完成了對(duì)直角三角形的擴(kuò)拼演示探究，再引出后來(lái)的任意直角三角形的擴(kuò)拼。這樣的教法好像就把擴(kuò)拼法默認(rèn)為唯一選擇。雖然擴(kuò)拼法是教學(xué)的重點(diǎn)，但按照學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)而言，學(xué)生剛學(xué)過(guò)平行四邊形的面積計(jì)算，對(duì)割補(bǔ)法積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，如果沒(méi)有教師的刻意誘導(dǎo)，學(xué)生一定會(huì)首選割補(bǔ)法進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)化。而強(qiáng)推擴(kuò)拼法，不顧學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，真的妥當(dāng)嗎？

筆者綜合原作者和質(zhì)疑者的意見(jiàn)，重新對(duì)這節(jié)課做了教學(xué)設(shè)計(jì)。借鑒質(zhì)疑者的從直角三角形入手策略，筆者在方格紙中同時(shí)呈現(xiàn)三種三角形（如圖5），每個(gè)方格的面積還是1平方厘米。

圖5

學(xué)生先觀察直角三角形，因?yàn)橹苯侨切翁卣髯蠲黠@，很容易估測(cè)出面積。果然，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生歸納出三種方法（如圖6）。方法①是直接數(shù)方格，6個(gè)整格加上6個(gè)半格等于9個(gè)整格，對(duì)應(yīng)的直角三角形的面積就是9平方厘米；方法②是把直角三角形的上半部分割補(bǔ)到右下角，拼接成一個(gè)正方形，正方形的邊長(zhǎng)都是3格，面積也為9平方厘米；方法③是把直角三角形擴(kuò)拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有6格，寬有3格，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可知其面積為18平方厘米，則直角三角形的面積為9平方厘米。接著，筆者組織學(xué)生對(duì)以上直角三角形的面積計(jì)算方法進(jìn)行梳理，總結(jié)得出三角形的面積計(jì)算公式為“底×高÷2”。再來(lái)研究圖5中剩下的兩種三角形，筆者追問(wèn)：“對(duì)于任意三角形，是否都能用剛才總結(jié)的‘底×高÷2’這個(gè)面積公式？”此時(shí)讓學(xué)生拿出紙片學(xué)具，分別從中挑出成對(duì)的全等三角形，并拼接成長(zhǎng)方形或平行四邊形，進(jìn)一步推導(dǎo)（如圖7）。最后的反饋交流中，筆者發(fā)現(xiàn)割補(bǔ)法成了小眾，擴(kuò)拼法成了主流。

圖6

圖7

反饋中，筆者抓住每一組三角形，因?yàn)閷?duì)接線不同，拼接出的平行四邊形的形狀也就不同，要求學(xué)生通過(guò)對(duì)比，找出不同形狀的平行四邊形中對(duì)應(yīng)三角形的底和高，使學(xué)生對(duì)三角形的擴(kuò)拼法有更深刻的認(rèn)識(shí)，也使學(xué)生對(duì)平行四邊形與對(duì)應(yīng)三角形的底和高的代換關(guān)系更清晰，這一切都是為了推導(dǎo)公式的便利。

不管怎么說(shuō)，割補(bǔ)法是推導(dǎo)平面圖形面積的一大基本方法，是學(xué)生直觀思維的觸發(fā)器，如果繞開(kāi)割補(bǔ)法而直接觸及擴(kuò)拼法，思維跳躍過(guò)大，學(xué)生一時(shí)難以適應(yīng)。在質(zhì)疑者的教法中，待學(xué)生探明直角三角形面積的擴(kuò)拼法后，如何過(guò)渡到一般三角形面積的擴(kuò)拼法沒(méi)有明確交代，即使?fàn)繌?qiáng)地類比到一般三角形面積的擴(kuò)拼法，學(xué)生也很難接受。因此，兩全其美的辦法就是繼續(xù)保留方格的優(yōu)勢(shì)，將直角三角形面積的擴(kuò)拼法放到方格紙中進(jìn)行，并且創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性的情境。筆者并未將學(xué)生的思維圈禁在擴(kuò)拼法中，而是任其自由發(fā)揮，利用方格自由割補(bǔ)，只要能夠充分利用方格的完整性數(shù)出面積即可。在割補(bǔ)法的啟發(fā)下，學(xué)生自然想到擴(kuò)拼法，這才是學(xué)習(xí)真正的生成。

我們都在探尋如何促使學(xué)生自發(fā)想到推導(dǎo)三角形的面積策略，盡管交流中存在一些分歧，但最終的目標(biāo)是一致的，那就是結(jié)合學(xué)生實(shí)際，讓思考活動(dòng)變得更有價(jià)值。我們都在致力于將素材中的暗示因素減到最低，但又不至于削弱學(xué)生思考的主動(dòng)性。只有我們都秉持這樣的教學(xué)觀點(diǎn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才是有意義的，學(xué)生的觀察力和想象力才能得到最大提升。