陳湞斐 邢 寧 馬宏忠 李志新 章黃勇

分數(shù)槽永磁電機永磁體諧波渦流損耗建模與分析

陳湞斐1邢 寧1馬宏忠1李志新2章黃勇1

（1. 河海大學能源與電氣學院 南京 211100 2. 國網(wǎng)江蘇省電力有限公司營銷服務中心 南京 210019）

準確求解分數(shù)槽永磁電機電樞磁場下的永磁體渦流損耗解析解，探究諧波渦流損耗隨繞組結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律是改進繞組結(jié)構(gòu)抑制渦流損耗的關鍵。針對此問題，該文提出四層繞組電流密度建模方法，實現(xiàn)對三相/雙三相、雙層/四層繞組結(jié)構(gòu)的建模?；诂F(xiàn)有的子域模型，將四層繞組結(jié)構(gòu)的槽身區(qū)域劃分為上層繞組和下層繞組區(qū)域，增加上層繞組與下層繞組交界處的邊界條件，確定各子域磁場的諧波系數(shù)。通過設計瞬態(tài)電樞磁場求解程序，建立渦流損耗解析模型。以四臺僅繞組結(jié)構(gòu)不同的10極12槽永磁電機為例，利用有限元仿真驗證了損耗模型的精確性?；谠摀p耗模型，探究了諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律，并使用磁動勢從機理上分析該規(guī)律，為改進繞組結(jié)構(gòu)抑制渦流損耗的研究方向提供一些思路。

分數(shù)槽永磁電機 電樞磁場 永磁體渦流損耗 諧波渦流損耗 雙三相繞組 四層繞組

0 引言

分數(shù)槽永磁電機具有繞組端部短、槽利用率高、齒槽轉(zhuǎn)矩低、容錯能力強等優(yōu)點，近年來在風力發(fā)電與電動汽車等領域受到高度關注[1-2]。然而，分數(shù)槽永磁電機的電樞磁場中含有高幅值的空間諧波分量，其旋轉(zhuǎn)速度與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)速度不同。當永磁電機高速運行時，諧波磁場會在永磁體中感應出較大的渦流損耗，使得永磁電機的轉(zhuǎn)子發(fā)熱、效率降低，嚴重時甚至會導致永磁體退磁，損壞永磁電機[3-4]。

針對該問題，研究人員提出了多種解決辦法，如使用不等匝繞組[5]、在定子軛部設置隔磁橋[6]，但這兩種方法會使電機的制造工藝變得復雜。除了上述方法，一些文獻還通過改進分數(shù)槽繞組的相數(shù)和層數(shù)在抑制諧波磁場上取得了理想的效果。文獻[7-8]使用雙三相繞組抑制了10極12槽永磁電機電樞磁場中的1次諧波。文獻[9-10]提出了一種四層繞組設計方法，且以兩臺8極9槽和10極12槽永磁電機為例進行有限元仿真和實驗，結(jié)果表明四層繞組結(jié)構(gòu)可抑制轉(zhuǎn)子渦流損耗。

然而，雙三相繞組和四層繞組結(jié)構(gòu)的分數(shù)槽永磁電機永磁體渦流損耗的計算多采用有限元法，其仿真結(jié)果無法直接反映渦流損耗與電樞磁場諧波分量的映射關系，使改進繞組結(jié)構(gòu)抑制渦流損耗的研究方向面臨難題。為此，本文將建立分數(shù)槽永磁電機的永磁體諧波渦流損耗解析模型，探究電樞磁場空間諧波造成的諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律。

目前，現(xiàn)有文獻主要通過推導標量或矢量磁位函數(shù)的Laplace/Poisson偏微分方程組求解分數(shù)槽永磁電機永磁體渦流損耗解析解[11-18]。根據(jù)是否考慮定子開槽因素，該解析方法可大致分為以下兩類：第一類方法是不考慮定子開槽影響，如將電樞繞組等效為分布在定子槽口的電流片，利用轉(zhuǎn)子鐵心外半徑和定子鐵心內(nèi)半徑處的邊界條件，求解永磁體區(qū)域的矢量磁位函數(shù)，進而求解永磁體渦流損耗解析解。文獻[19-21]分別使用該方法探究了兩臺42極36槽和10極12槽永磁電機永磁體周向分段數(shù)對空間諧波渦流損耗的影響，對比了兩臺單層和雙層繞組結(jié)構(gòu)的10極12槽永磁電機永磁體空間諧波渦流損耗，求解了10極12槽永磁電機永磁體分段時渦流損耗的分布，并用有限元仿真對其進行驗證。第一類解析方法雖然建模過程較簡單，但是忽略了定子開槽因素，而且需通過定子繞組的繞組因數(shù)求解等效電流片的電流密度，不便于比較不同繞組結(jié)構(gòu)電機的永磁體渦流損耗。

第二類方法則是考慮定子開槽影響，該方法將電機整個二維面域劃分為不同子域，利用各子域交界處的邊界條件，推導出永磁體內(nèi)的標量或矢量磁位函數(shù)，求解永磁體渦流損耗。文獻[22]基于標量磁位的子域模型分析了三臺不同極、槽組合的分數(shù)槽永磁電機空載永磁體渦流損耗。文獻[23-24]分別基于矢量磁位的子域模型求解了8極12槽分數(shù)槽永磁電機、2極18槽整數(shù)槽永磁電機電樞磁場下的永磁體諧波渦流損耗。相比于第一類方法，第二類方法考慮了定子開槽和定子槽之間的相互影響，且便于對比分析不同繞組結(jié)構(gòu)電機的永磁體渦流損耗。然而，現(xiàn)階段基于子域模型方法求解永磁體渦流損耗的研究僅針對三相繞組和雙層繞組結(jié)構(gòu)電機，還未涉及到雙三相繞組和四層繞組結(jié)構(gòu)電機。

因此，為了求解雙三相繞組和四層繞組結(jié)構(gòu)的分數(shù)槽永磁電機電樞磁場下的永磁體渦流損耗，首先，本文提出一種四層繞組電流密度建模方法，將四層繞組的槽身區(qū)域劃分為上層繞組區(qū)域和下層繞組區(qū)域，與永磁體、氣隙及定子槽口一起構(gòu)成研究區(qū)域。然后，本文建立各子域矢量磁位函數(shù)，增加上層繞組與下層繞組交界處的邊界條件，確定各子域磁場的諧波系數(shù)。接著，本文通過設計瞬態(tài)電樞磁場的計算程序，求解永磁體內(nèi)的渦流密度分布，建立永磁體渦流損耗解析模型。最后，本文利用有限元軟件對四臺分別采用三相雙層、雙三相雙層、三相四層及雙三相四層繞組結(jié)構(gòu)的10極12槽永磁電機進行仿真，通過對比四臺電機的渦流損耗解析解和有限元仿真結(jié)果驗證損耗模型的精確性。基于該損耗模型，本文探究了空間諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律，并使用磁動勢從機理上分析該規(guī)律。

1 電樞磁場建模

為了實現(xiàn)對四層繞組結(jié)構(gòu)電機的建模，本文將四層繞組的槽身區(qū)域劃分為上層繞組區(qū)域和下層繞組區(qū)域，其子域模型如圖1所示。

圖1 四層繞組分數(shù)槽表貼式永磁電機子域模型

圖1中，區(qū)域1為永磁體，區(qū)域2為氣隙，區(qū)域3t和區(qū)域3b分別為第個槽身的上層繞組和下層繞組，區(qū)域4為第個槽口；r、m、s分別為轉(zhuǎn)子鐵心外半徑、永磁體外半徑、定子鐵心內(nèi)半徑；t、sb分別為槽身內(nèi)、外半徑；sm為上層繞組和下層繞組交界處的半徑；bs、bo分別為槽身寬、槽口寬對應的圓心角；為第個槽身的中心位置；1、2和3、4分別為第個槽身的上層繞組和下層繞組區(qū)域的電流密度；r為轉(zhuǎn)子機械角速度；0為轉(zhuǎn)子初始位置角，0=0°記為N磁極中心與水平軸線重合。記電機極對數(shù)為，定子槽數(shù)為。

為便于分析，本文對該電機模型做如下假設：忽略電機端部效應；忽略繞組趨膚效應和鄰近效應；忽略定子鐵心和轉(zhuǎn)子鐵心飽和，即鐵心相對磁導率為無窮大；忽略定子鐵心和轉(zhuǎn)子鐵心的渦流，即鐵心電導率為0；永磁體內(nèi)的渦流均勻分布。

1.1 四層繞組電流密度分布

四層繞組電流密度分布如圖1所示。上層繞組和下層繞組區(qū)域的電流密度1、2和3、4的分布如圖2所示。

上層繞組區(qū)域即當t≤＜sm時，電流密度t的表達式為

圖2 四層繞組電流密度分布

下層繞組區(qū)域即當sm≤≤sb時，電流密度b的表達式為

電流密度1、2和3、4滿足

式中，為第個槽內(nèi)層線圈的電流；c為每層線圈串聯(lián)匝數(shù)。

針對同一極、槽組合的電機，繞組相數(shù)和層數(shù)的不同主要體現(xiàn)在1、2和3、4分布的不同。為三相電流分布時，可視為三相繞組；為兩組相位相差30°的三相電流分布時，可視為雙三相繞組。1=3且2=4時，可視為雙層繞組；1≠3或2≠4時，可視為四層繞組。

將t和b展開為傅里葉級數(shù)，有

其中

式中，為電流密度分布的空間諧波階數(shù)；t0、tn和b0、bn分別為t和b傅里葉級數(shù)中的系數(shù)，其表達式見附錄式（A1）和式（A2）。

1.2 各子域矢量磁位函數(shù)

為求解電機電樞磁場下的永磁體渦流損耗，電機內(nèi)磁場僅由電樞電流建立，不考慮永磁體勵磁作用。在二維極坐標系下，矢量磁位、電流密度僅有軸分量。

因此，在永磁體區(qū)域內(nèi)即r≤＜m、0≤≤2p，矢量磁位軸分量A1[23]滿足

其中

式中，為永磁體磁場的空間諧波階數(shù)；1k、1k為磁場的諧波系數(shù)。

在氣隙區(qū)域內(nèi)即m≤≤s、0≤≤2p，矢量磁位軸分量A2滿足

式中，2k、2k、2k及2k為氣隙磁場的諧波系數(shù)。

在上層繞組區(qū)域內(nèi)即t≤＜sm、-bs/2≤≤+bs/2，矢量磁位軸分量A3it滿足

式中，3it0和3itn、3itn分別為磁場的常系數(shù)、諧波系數(shù)。

在下層繞組區(qū)域內(nèi)即sm≤≤sb、-bs/2≤≤+bs/2，矢量磁位軸分量A3ib滿足

其中

式中，3ibn為下層繞組區(qū)域磁場的諧波系數(shù)。

在定子槽口區(qū)域內(nèi)即s≤＜t、-bo/2≤≤+bo/2，矢量磁位軸分量A4i滿足

其中

式中，為槽口磁場的空間諧波階數(shù)；4i0和4im、4im為磁場的常系數(shù)、諧波系數(shù)。

1.3 邊界條件

各區(qū)域中磁通密度的徑向分量r和切向分量a與矢量磁位軸分量A滿足

為確定式（7）、式（10）～式（12）、式（14）中矢量磁位函數(shù)中的諧波系數(shù)，施加如下的邊界條件。

永磁體與氣隙交界面即=m處，滿足

上層繞組區(qū)域與下層繞組區(qū)域交界面即=sm處，滿足

槽口與上層繞組區(qū)域交界面即=t處，滿足

槽口與氣隙交界面即=s處，滿足

式中，a為切向磁場強度，下角標1、2、3t、3b及4表示相應的區(qū)域。

由式（17）～式（20）可得關于各區(qū)域磁場諧波系數(shù)的方程組，通過求解該方程組確定各諧波系數(shù)，實現(xiàn)電機電樞磁場的求解。具體的求解過程見附錄式（A3）～式（A32）。

1.4 氣隙磁通密度

結(jié)合式（10）和式（16），氣隙磁通密度中2r和2a可計算為

2 永磁體諧波渦流損耗建模

式（1）、式（2）中電流密度t、b與式（7）、式（10）～式（12）、式（14）中矢量磁位軸分量A1、A2、A3it、A3ib、A4i僅是關于半徑和空間角的函數(shù)，所求得的是某一時刻下電樞電流產(chǎn)生的磁場，即靜磁場。然而永磁體渦流損耗是基于瞬態(tài)磁場計算的，即瞬時功率經(jīng)過轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期積分后的平均值。因此，本節(jié)首先設計瞬態(tài)電樞磁場求解程序，其流程如圖3所示，圖中，max為永磁體磁場的最大空間諧波階數(shù)。

圖3 瞬態(tài)電樞磁場計算流程

將式（23）、式（24）代入式（7）中，并利用三角函數(shù)積化和差、和差化積公式對其變換，可得永磁體瞬態(tài)磁場的表達式為

其中

式中，j為虛數(shù)單位。

又由=r+r，r為轉(zhuǎn)子空間角，則永磁體矢量磁位函數(shù)在轉(zhuǎn)子坐標系下的表達式為

永磁體內(nèi)部渦流密度e的表達式為

由于永磁體表面的絕緣材料，()是為了保證每塊永磁體的總電流為0，有

式中，為永磁體電導率；1、2為永磁體兩邊的周向位置；m為永磁體的極弧，m=2-q1。

則永磁體在一個轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期的平均渦流損耗ave表達式為

其中

式中，a為電機的軸向長度。

電樞磁場階空間諧波造成的諧波渦流損耗可計算為

3 有限元驗證與分析

為驗證永磁體諧波渦流損耗模型的精確性，本節(jié)以四臺分別采用三相雙層、雙三相雙層、三相四層及雙三相四層的10極12槽永磁電機為例，將解析模型計算的永磁體渦流損耗與有限元軟件計算結(jié)果進行對比。解析模型中，永磁體、氣隙磁場的最大空間諧波階數(shù)max設置為60，上層繞組、下層繞組區(qū)域磁場的最大空間諧波階數(shù)max設置為25，槽口磁場的最大空間諧波階數(shù)max設置為25。永磁體磁場的最大時間諧波階數(shù)max設置為60。

為便于對比分析，四臺電機的定子鐵心、轉(zhuǎn)子鐵心及永磁體參數(shù)全部相同，每槽導體數(shù)和槽身面積相同，定子槽內(nèi)的額定電流密度設計為12.66A/mm2。四臺電機的基本參數(shù)見表1，繞組參數(shù)見表2。為確保四臺電機的每槽導體數(shù)相同，雙層繞組結(jié)構(gòu)中每層導體數(shù)為96，四層繞組結(jié)構(gòu)中每層導體數(shù)為48。

四臺電機的繞組結(jié)構(gòu)分布如圖4所示，圖中，A～C和X～Z表示繞組相序，符號+、-表示繞組的繞向。雙三相繞組結(jié)構(gòu)是將三相繞組結(jié)構(gòu)A相中相鄰線圈分為兩個獨立的、機械角相差30°的A相和X相，B相、C相也是按照相同的規(guī)律劃分為B相和Y相、C相和Z相，通過兩組相位相差30°的三相電流供電。四層繞組結(jié)構(gòu)中，下層繞組通過上層繞組逆時針旋轉(zhuǎn)150°得到。

表1 四臺電機的基本參數(shù)

Tab.1 Basic parameters of the four machines

表2 四臺電機的繞組參數(shù)

Tab.2 Winding parameters of the four machines

圖4 四臺電機的繞組結(jié)構(gòu)

由式（3）可知，=0ms時四臺電機的電流密度分布如圖5所示。

圖5 t =0ms時四臺電機的電流密度分布

此時，繞組Ⅱ、繞組Ⅳ的4號和10號槽的電流密度為5.91A/mm2；瞬態(tài)電流密度的計算如圖3所示，確定求解時刻后，計算該時刻的電流分布，進而計算電流密度分布。

電樞磁場分布由繞組的電流密度分布決定，圖6為=0ms時四臺電機的電樞磁場分布。表3為定子軛、定子齒、齒尖及永磁體的電樞磁通密度。

由圖6和表3可知，由于四臺電機電流密度分布的不同，其電樞磁場分布有所不同，但定子軛、定子齒、齒尖及永磁體的磁通密度一致，表明四臺電機定子和永磁體的磁化程度相同；由于齒尖的面積小，磁力線分布密集，出現(xiàn)了輕微的磁飽和現(xiàn)象，但定子軛和定子齒部位的磁力線分布均勻且稀疏，說明忽略鐵心飽和是合理的；由于大部分磁力線均是徑向穿過永磁體，只有少量磁力線聚集在靠近槽口的永磁體表面，說明假設渦流在永磁體內(nèi)分布均勻，采用積分法求解渦流損耗是合理的。

表3 各部件電樞磁通密度

Tab.3 Armature flux density of the four parts（單位: T）

3.1 磁通密度和渦流損耗驗證

由式（21）和式（22）可知，四臺電機在電樞磁場下氣隙磁通密度的解析解和有限元計算結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，四臺電機氣隙磁通密度的解析解均與有限元計算結(jié)果一致，驗證了磁場計算的準確性。由圖6可知，磁力線總是均勻且徑向穿過靠近定子齒的氣隙，而呈橢圓狀穿過靠近槽口的氣隙，所以氣隙磁通密度的徑向分量在定子齒處近似為常值、在槽口處出現(xiàn)尖峰，切向分量在定子齒處近似為0、在槽口處出現(xiàn)尖峰；機械角度0°～180°范圍內(nèi)的氣隙共包含6個定子槽，所以氣隙磁通密度共存在6處尖峰，體現(xiàn)了該磁場模型能夠考慮齒槽效應。

由式（33）可知，當電機由額定電流供電時，四臺電機在電樞磁場下的永磁體渦流損耗隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律如圖8所示。當電機運行在額定轉(zhuǎn)速時，渦流損耗隨電樞電流的變化規(guī)律如圖9所示。

圖8 電流為13A時永磁體渦流損耗隨轉(zhuǎn)速的變化曲線

圖9 轉(zhuǎn)速為1 500r/min時永磁體渦流損耗隨電樞電流的變化曲線

由圖8和圖9可知，渦流損耗的解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果的吻合程度較好，最大誤差僅有2.5%，驗證了損耗模型的精確性；在四種繞組結(jié)構(gòu)中，三相四層繞組電樞磁場諧波分量造成的渦流損耗最小，三相雙層繞組最大。

3.2 三相雙層繞組諧波渦流損耗分析

本文所提出的諧波渦流損耗模型，除了可以得到電機總的渦流損耗，還可以得到各次空間諧波磁場分別產(chǎn)生的渦流損耗大小，如式（40）所示。因而，可深入分析空間諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律。表4為四臺電機運行在額定轉(zhuǎn)速、額定電流時的空間諧波渦流損耗分布。

由表4可知，對于三相雙層10極12槽繞組而言，1次、7次、17次、19次諧波渦流損耗比重大，分別占總損耗的8.8%、79.8%、2.2%、5.7%；偶數(shù)與3的整數(shù)倍階次諧波渦流損耗為0。磁動勢理論可從機理上解釋該分布規(guī)律，三相雙層10極12槽繞組的階諧波磁動勢分布如圖10所示。圖中，A1k～-A4k、B1k～-B4k、C1k～-C4k分別表示A相、B相、C相的線圈磁動勢矢量，其正負與線圈的繞向相關。

表4 額定轉(zhuǎn)速、額定電流下空間諧波渦流損耗分布

Tab.4 Space harmonic eddy-current loss distribution at 1 500r/min and 13A

圖10 三相雙層繞組k階諧波磁動勢分布

當為偶數(shù)階次時，A1k與-A3k、A2k與-A4k的夾角為0°，A相合成磁動勢為0，電樞磁場中不存在偶數(shù)階次空間諧波；當為3的整數(shù)倍階次時，A、B、C三相合成磁動勢為0，電樞磁場中不存在3的整數(shù)倍階次空間諧波。所以偶數(shù)與3的整數(shù)倍階次諧波渦流損耗為0。

那么，電樞磁場次諧波（階次小于轉(zhuǎn)子永磁體極對數(shù)）中僅有1次諧波分量，因其階次低、幅值高，所以1次諧波渦流損耗占比大。電樞磁場超諧波（階次大于永磁體極對數(shù)）中有7, 11,…, 6±1（=2, 3, 4,…）次諧波，其中7, 17,…, 12±5（=1, 2, 3,…）次諧波磁動勢分布與5次基波相同，其分布系數(shù)相同，所以7, 17, 19次諧波幅值高、渦流損耗占比大。

3.3 相數(shù)對諧波渦流損耗的影響分析

相比于三相雙層繞組，雙三相雙層繞組1, 11, 13, 23次諧波渦流損耗減小為0；7, 17, 19, 29, 31次諧波渦流損耗增大7.2%，諧波渦流損耗的下降幅度高于升高幅度，所以總的渦流損耗減小。相比于三相四層繞組，雙三相四層繞組的諧波渦流損耗也呈現(xiàn)出相同的規(guī)律。但由于三相四層繞組的1次諧波渦流損耗較低，雙三相四層繞組的諧波渦流損耗下降幅度低于升高幅度，所以總的渦流損耗增大。

當繞組相數(shù)由三相變?yōu)殡p三相時，A相、X相階諧波磁動勢分布如圖11所示。

圖11 雙三相雙層繞組A相與X相k階諧波磁動勢分布

由圖11可知，當為1, 11,…, 12±1（=1, 2, 3,…）階次諧波時，A1k與X1k、-A2k與-X2k的夾角由150°變?yōu)?80°、相互抵消，A相與X相合成磁動勢為0，所以諧波渦流損耗為0；當為7, 17,…, 12±5（=1, 2, 3,…）階次諧波時，A1k與X1k、-A2k與-X2k的夾角由30°變?yōu)?°，合成磁動勢的分布系數(shù)增大3.4%，諧波渦流損耗增大7.2%。

3.4 層數(shù)對諧波渦流損耗的影響分析

相比于三相雙層繞組，三相四層繞組1次諧波渦流損耗減小93.3%，7, 17, 19, 29, 31次諧波渦流損耗減小6.7%，所以總的渦流損耗減小。相比于雙三相雙層繞組，雙三相四層繞組7, 17, 19, 29, 31次諧波渦流損耗同樣減小6.7%，總的渦流損耗減小。

當繞組層數(shù)由雙層變?yōu)樗膶訒r，A相階諧波磁動勢分布如圖12所示，t1k、t2k、-t3k、-t4k表示上層繞組的線圈磁動勢矢量，b1k、b2k、-b3k、-b4k表示下層繞組的線圈磁動勢矢量。需要說明的是，由于磁動勢矢量幅值與線圈匝數(shù)呈正相關，四層繞組每層導體數(shù)是雙層繞組的1/2，所以四層繞組線圈磁動勢矢量的幅值是雙層繞組的1/2。

圖12 三相四層繞組A相k階諧波磁動勢分布

由圖12可知，當為1, 11,…, 12±1（=1, 2, 3,…）次諧波時，三相四層繞組A相合成磁動勢的分布系數(shù)相比于雙層繞組下降74.1%，1次諧波渦流損耗減小93.3%；當為7, 17,…, 12±5（=1, 2, 3,…）次諧波時，A相合成磁動勢的分布系數(shù)相比于雙層繞組下降3.4%，諧波渦流損耗減小6.7%。

相比于三相雙層繞組，雙三相四層繞組1, 11, 13, 23次諧波渦流損耗下降為0。由于雙三相繞組抵消了四層繞組給7, 17,…, 12±5（=1, 2, 3,…）次諧波帶來的分布系數(shù)減小的作用，所以7, 17, 19, 29, 31次諧波渦流損耗沒有變化。

4 結(jié)論

本文提出了一種四層繞組分數(shù)槽永磁電機電流密度的建模方法，建立了永磁體諧波渦流損耗解析模型，能夠用于求解三相/雙三相、雙層/四層繞組電機電樞磁場下的永磁體渦流損耗。以四臺分別采用三相雙層、雙三相雙層、三相四層及雙三相四層繞組結(jié)構(gòu)的10極12槽永磁電機為例，進一步探究了諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律，并使用繞組的磁動勢從機理上分析該規(guī)律。研究表明，本文所提出的永磁體諧波渦流損耗模型準確度高，與有限元計算結(jié)果的最大誤差僅有2.5%。三相雙層10極12槽永磁電機的7次諧波渦流損耗占比最大，1次諧波渦流損耗次之。當繞組相數(shù)由三相變?yōu)殡p三相時，1, 11,…, 12±1（=1, 2, 3,…）階次諧波渦流損耗減小為0；當繞組層數(shù)由雙層變?yōu)樗膶訒r，1次諧波渦流損耗減小93.3%，雙三相繞組、四層繞組抑制1次諧波渦流損耗的效果顯著。若想取得更為理想的永磁體渦流損耗抑制效果，未來改進繞組的研究應關注電樞磁場7次諧波的抑制。

附錄 諧波系數(shù)求解

1. 電樞繞組電流密度傅里葉級數(shù)

上層繞組電流密度t傅里葉級數(shù)中t0、tn的表達式為

下層繞組電流密度b傅里葉級數(shù)中b0、bn的表達式為

2. 矢量磁位諧波系數(shù)的求解

在永磁體與氣隙交界面即=m處，由式（17）中徑向磁通密度連續(xù)可得

其中

由式（17）中切向磁場強度連續(xù)，可得

式中，r為永磁體相對磁導率。

在上層繞組區(qū)域與下層繞組區(qū)域交界面即=sm處，由式（18）中徑向磁通密度連續(xù)可得

由式（18）中切向磁場強度連續(xù)可得

聯(lián)立式（A6）、式（A7）可解得3itn、3itn的表達式為

在槽口與上層繞組區(qū)域交界面即=t處，由式（19）中切向磁場強度連續(xù)，可得

其中

聯(lián)立式（A11）、式（A13）～式（A15）可解得

由式（19）中矢量磁位連續(xù)可得

其中

在槽口與氣隙交界面即=s處，由式（20）中切向磁場強度連續(xù)可得

其中

由式（20）中矢量磁位連續(xù)可得

其中

聯(lián)立式（A3）、式（A5）、式（A12）、式（A21）、式（A24）及式（A31），可解得永磁體、氣隙、上層繞組、下層繞組及槽口區(qū)域矢量磁位的諧波系數(shù)。

[1] 鮑曉華, 劉佶煒, 孫躍, 等. 低速大轉(zhuǎn)矩永磁直驅(qū)電機研究綜述與展望[J]. 電工技術(shù)學報, 2019, 34(6): 1148-1160.

Bao Xiaohua, Liu Jiwei, Sun Yue, et al. Review and prospect of low-speed high-torque permanent magnet machines[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(6): 1148-1160.

[2] Li Wei, Cheng Ming. Investigation of influence of winding structure on reliability of permanent magnet machines[J]. CES Transactions on Electrical Machines and Systems, 2020, 4(2): 87-95.

[3] 陳益廣, 潘玉玲, 賀鑫. 永磁同步電機分數(shù)槽集中繞組磁動勢[J]. 電工技術(shù)學報, 2010, 25(10): 30-36.

Chen Yiguang, Pan Yuling, He Xin. Magnetomotive force in permanent magnet synchronous machine with concentrated fractional-slot winding[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2010, 25(10): 30-36.

[4] 沈建新, 李鵬, 郝鶴, 等. 高速永磁無刷電機電磁損耗的研究概況(英文)[J]. 中國電機工程學報, 2013, 33(3): 62-74.

Shen Jianxin, Li Peng, Hao He, et al. Study on electromagnetic losses in high-speed permanent magnet brushless machines-the state of the art[J]. Proceedings of the CSEE, 2013, 33(3): 62-74.

[5] Dajaku G, Gerling D. Eddy current loss minimization in rotor magnets of PM machines using high- efficiency 12-teeth/10-slots winding topology[C]// 2011 International Conference on Electrical Machines and Systems, Beijing, 2011: 1-6.

[6] Dajaku G, Xie Wei, Gerling D. Reduction of low space harmonics for the fractional slot concentrated windings using a novel stator design[J]. IEEE Transa- ctions on Magnetics, 2014, 50(5): 1-12.

[7] Abdel-Khalik A S, Ahmed S, Massoud A M. Low space harmonics cancelation in double-layer fractional slot winding using dual multiphase minding[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2015, 51(5): 1-10.

[8] Abdel-Khalik A S, Ahmed S, Massoud A M. Effect of multilayer windings with different stator winding connections on interior PM machines for EV appli- cations[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2016, 52(2): 1-7.

[9] Alberti L, Bianchi N. Theory and design of fractional- slot multilayer windings[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2013, 49(2): 841-849.

[10] Chen Qixu, Liang Deliang, Jia Shaofeng, et al. Analysis of multi-phase and multi-layer factional-slot concentrated-winding on PM eddy current loss considering axial segmentation and load operation[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2018, 54(11): 1-6.

[11] 唐任遠, 陳萍, 佟文明, 等. 考慮渦流反作用的永磁體渦流損耗解析計算[J]. 電工技術(shù)學報, 2015, 30(24): 1-10.

Tang Renyuan, Chen Ping, Tong Wenming, et al. Analytical calculation of eddy current loss accounting for eddy current reaction[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2015, 30(24): 1-10.

[12] 倪有源, 王磊, 王群京. 凸形不等厚磁極永磁電機建模與分析[J]. 電工技術(shù)學報, 2020, 35(11): 2406- 2414.

Ni Youyuan, Wang Lei, Wang Qunjing. Modeling and analysis of permanent magnet machines with salient shape unequal thickness magnets[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(11): 2406- 2414.

[13] 王明杰, 徐偉, 楊存祥, 等. 基于精確子域模型的永磁直線同步電機空載磁場解析計算[J]. 電工技術(shù)學報, 2020, 35(5): 942-953.

Wang Mingjie, Xu Wei, Yang Cunxiang, et al. Analytical calculation of no-load magnetic field in permanent magnet linear synchronous motors based on an accurate subdomain model[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(5): 942-953.

[14] 李巖, 井永騰, 杜建民, 等. 基于混合磁場解析法的磁極偏心型表貼式永磁同步電機空載特性分析[J]. 電工技術(shù)學報, 2020, 35(18): 3811-3820.

Li Yan, Jing Yongteng, Du Jianmin, et al. No-load characteristic analysis of surface-mounted permanent magnet synchronous motor with non-concentric pole based on hybrid magnetic field analysis method[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(18): 3811-3820.

[15] Zhu Minchen, Wu Lijian, Fang Youtong, et al. Sub- domain model for predicting armature reaction field of dual-stator consequent-pole PM machines accoun- ting for tooth-tips[J]. CES Transactions on Electrical Machines and Systems, 2019, 3(2): 143-150.

[16] 高鋒陽, 齊曉東, 李曉峰, 等. 部分分段Halbach永磁同步電機優(yōu)化設計[J]. 電工技術(shù)學報, 2021, 36(4): 787-800.

Gao Fengyang, Qi Xiaodong, Li Xiaofeng, et al. Optimization design of partially-segmented Halbach permanent magnet synchronous motor[J]. Transa- ctions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(4): 787-800.

[17] 陳湞斐, 夏長亮, 王慧敏. 考慮齒槽效應的表貼式永磁電機空載磁場建模[J]. 電工技術(shù)學報, 2014, 29(5): 9-16.

Chen Zhenfei, Xia Changliang, Wang Huimin, et al. Modeling for open circuit magnetic field prediction in slotted surface-mounted permanent-magnet machine[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2014, 29(5): 9-16.

[18] 孫權(quán)貴, 鄧智泉, 張忠明. 基于齒槽效應的高速永磁電機轉(zhuǎn)子渦流損耗解析計算[J]. 電工技術(shù)學報, 2018, 33(9): 1994-2004.

Sun Quangui, Deng Zhiquan, Zhang Zhongming. Analytical calculation of rotor eddy current losses in high speed permanent magnet machines accounting for influence of slot opening[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(9): 1994- 2004.

[19] Atallah K, Howe D, Mellor P H, et al. Rotor loss in permanent-magnet brushless AC machines[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2000, 36(6): 1612-1618.

[20] Ishak D, Zhu Ziqiang, Howe D. Eddy-current loss in the rotor magnets of permanent-magnet brushless machines having a fractional number of slots per pole[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2005, 41(9): 2462-2469.

[21] Wang Jiabin, Atallah K, Chin R, et al. Rotor eddy- current loss in permanent-magnet brushless AC machines[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2010, 46(7): 2701-2707.

[22] Wu Lijian, Zhu Ziqiang, Staton D, et al. Analytical modeling and analysis of open-circuit magnet loss in surface-mounted permanent-magnet machines[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2012, 48(3): 1234-1247.

[23] Wu Lijian, Zhu Ziqiang, Staton D, et al. Analytical model for predicting magnet loss of surface mounted permanent magnet machines accounting for slotting effect and load[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2012, 48(1): 107-117.

[24] Zhang Zhongming, Deng Zhiquan, Sun Quangui, et al. Analytical modeling and experimental validation of rotor harmonic eddy-current loss in high-speed surface-mounted permanent magnet motors[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2019, 55(2): 1-11.

Analytical Modeling and Analysis of Magnet Harmonic Loss in Fractional Slot Permanent-Magnet Machines

11121

（1. College of Energy and Electrical Engineering Hohai University Nanjing 211100 China 2. Marketing Service Center State Grid Jiangsu Electric Power Co. Ltd Nanjing 210019 China）

The key to optimize winding layouts and reduce magnet eddy-current loss of fractional slot permanent-magnet machines is to calculate the loss under armature magnetic field and investigate the variation of harmonic loss with winding layouts. To solve this problem, this paper proposes a current density modeling method of four-layer winding to realize the modeling of three- phase/dual-three-phase, double-layer/four-layer windings. Based on the subdomain model, the slot area of four-layer winding is further divided into the top-layer winding part and the bottom-layer winding part, the boundary condition between the two winding parts is added, and the harmonic coefficients of each subdomain are determined. The analytical model of eddy-current loss is established by solving the transient armature magnetic field. Four 10-pole/12-slot machines with different windings are taken as examples to validate the proposed model by finite element simulation. Based on the proposed model, the variation of harmonic eddy-current loss with the number of winding phases and layers is summarized and analyzed by magnetomotive force, which provides some ideas for optimizing the winding configurations to reduce eddy-current loss.

Fractional slot permanent-magnet machine, armature magnetic field, magnet eddy- current loss, harmonic eddy-current loss, dual three-phase winding, four-layer winding

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210112

TM341

國家自然科學基金項目（51907052）、中國博士后科學基金項目（2017M621606）和江蘇省博士后科研項目（2016-416109）資助。

2021-01-21

2021-03-25

陳湞斐 女，1987年生，副教授，碩士生導師，研究方向為永磁電機設計與電磁分析、電力設備故障診斷。E-mail: chenzhenfei@hhu.edu.cn（通信作者）

邢 寧 男，1997年生，碩士研究生，研究方向為永磁電機電磁分析。E-mail: 1292983488@qq.com

（編輯 崔文靜）