張航 胡月姣 陳嘉文 修龍汪

(浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，杭州 310023)

1 引言

基于自由曲面的非成像光學(xué)被廣泛地應(yīng)用于基礎(chǔ)研究與產(chǎn)業(yè)應(yīng)用中[1]，如:激光光束整形、機器視覺照明、光學(xué)深度傳感和光波導(dǎo)耦合等.非成像光學(xué)設(shè)計本質(zhì)上是基于一個已知光源和目標面光分布求光學(xué)器件幾何表面的逆問題，對于不具有對稱性的自由目標光分布，對應(yīng)光學(xué)器件的表面一般為自由曲面[2].非成像光學(xué)設(shè)計方法主要分為3 類:優(yōu)化法、代數(shù)法和幾何法.優(yōu)化法的中心思想是將自由曲面由優(yōu)化變量表征，在設(shè)計過程中不斷調(diào)整優(yōu)化變量，使得其評價函數(shù)值達到所需評價標準，進而滿足所需照明設(shè)計要求.代數(shù)法主要是根據(jù)Snell 定律和能量守恒定律為中心思想，構(gòu)建光源與目標面之間的映射關(guān)系，這種映射關(guān)系通?？梢杂脭?shù)學(xué)方程來表示.通過求解數(shù)學(xué)方程，得到自由曲面參數(shù)，如常微分方程方法[3]、同步多表面設(shè)計方法[4]、剪裁法[5]及求解Monge-Ampère(MA)方程[6-8]等.Chang 等[6]通過求解二階MA 型偏微分方程設(shè)計了雙自由曲面，實現(xiàn)了具有指定光照模式的任意輸出波前.幾何法的主要思想是借助幾何曲面的內(nèi)蘊性質(zhì)，根據(jù)能量守恒關(guān)系將一個預(yù)定照明問題用一組子面來離散化，最后由該組曲面片的包絡(luò)面來確定自由曲面的解，如Oliker 等[9]提出的支撐二次曲面法(supporting quadratic method，SQM).這類方法的關(guān)鍵在于建立起所有子面的光程常數(shù)分布K與目標面上照度分布E之間具有單調(diào)性映射關(guān)系(簡稱程能映射，或KE 映射).簡單分析可知，SQM 是程能方法在僅有單一待求自由光學(xué)曲面下的特例.在目標離散光分布的優(yōu)化過程中，光程常數(shù)陣列中各元素之間存在異常復(fù)雜的競爭關(guān)系，導(dǎo)致難以解析求解，通常需要借助優(yōu)化算法來求解，而深度學(xué)習是一種性能優(yōu)越的尋優(yōu)工具.

深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(deep neural networks，DNN)采用多層非線性網(wǎng)絡(luò)層疊加而成，利用數(shù)據(jù)集對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練，可以逐層變換和學(xué)習樣本空間的特征值，對逆問題的求解具有良好的適應(yīng)性[10，11].在成像光學(xué)領(lǐng)域，如超分辨率圖像重構(gòu)[12]、光學(xué)表面雜質(zhì)檢測[13]、納米圖像配準方法[14]和計算成像[15]等方面已經(jīng)得到應(yīng)用，而在非成像光學(xué)領(lǐng)域則尚在探索之中.

從一般非成像光學(xué)系統(tǒng)出發(fā)建立了基礎(chǔ)配光方程，針對光斑平移情況導(dǎo)出了平移配光方程，并引入配光平移群來描述配光平移算符集合.為了滿足群的構(gòu)成條件，引入程能映射關(guān)系來保證平移配光方程解的唯一性，進一步推導(dǎo)出SQM 下的配光方程和K空間里的配光平移變換群.接著引入DNN來擬合KE 映射和平移操作，完成平移配光方程的求解，獲得相應(yīng)的自由光學(xué)曲面(DNN-KE 方法).以均勻方斑為例，利用SQM 方法之一的支撐橢流面法(supporting ellipsoid method，SEM)生成樣本數(shù)據(jù)，通過對DNN 進行多維度調(diào)參和訓(xùn)練，實現(xiàn)了平移均勻方斑的配光設(shè)計.光學(xué)仿真結(jié)果表明DNN 生成的光學(xué)表面產(chǎn)生離散光分布與標準光分布之間的誤差很小，均在10—3量級內(nèi)，說明DNN-KE 方法成功實現(xiàn)了配光平移群的構(gòu)建.

2 原理與方法

2.1 配光方程

一個非成像光學(xué)系統(tǒng)包含光源、光學(xué)面和目標分布3 個要素.光源發(fā)出的光線經(jīng)過光學(xué)表面的光學(xué)作用投射到目標面形成特定的光強分布，這個過程通?？梢员硎緸榕涔夥匠蘙16]:

式中，Γ是光學(xué)算子，將點光源的光強角分布I(θ，φ)映射到目標面空間r(u，v) 形成照度分布E(u，v) .在連續(xù)漸變介質(zhì)中，Γ由光跡方程決定，而在分區(qū)均勻介質(zhì)中，Γ通常表現(xiàn)為反射、折射或直線傳播，可以展開表示成:

這里，ni為第i個介質(zhì)的折射率，Si是第i個光學(xué)面，S1和SN-1分別靠近光源和目標面.

在一般照明問題中，整個光學(xué)系統(tǒng)沉浸在空氣中，僅需1 個反射器(1 個光學(xué)面)或1 個透鏡(兩個光學(xué)面)即可實現(xiàn)多數(shù)配光任務(wù).在反射情形下，只有單一空氣介質(zhì)，(2)式可簡化成

式中，S是反射面.在光學(xué)曲面S上自然標架場中反射算子為

具有反對稱性.在全局坐標系中，反射算子?？梢杂搔！渚唧w表示為

式中，A是全局坐標到S上自然標架的坐標變換，A—1是A的逆.將(3)式代入方程(1)可得單個反射面情形的配光方程

求解方程(6)是個逆問題，即已知光源和目標光分布求S.如果目標光分布E(u，v) 是任意分布，不帶任何對稱性，這個逆問題的解析求解是非常困難的，且S會是個自由曲面.

2.2 配光平移群

在實際應(yīng)用中常會碰到光源的位置和朝向均保持不變，自由曲面中心位置也不變，并保持光斑形態(tài)不變，僅要求光斑位置發(fā)生移動的情況.如果按傳統(tǒng)方法就得從頭重新設(shè)計，形成重復(fù)性工作，降低了設(shè)計效率.為了討論方便，設(shè)目標面為平面，并引進群概念來描述配光方程中光學(xué)算子集合.

在目標平面里，光分布E(u，v) 簡化為笛卡爾坐標下的E(x，y) .通常E(x，y) 具有某種特定的照度分布模式，如均勻方斑.當光源參數(shù)不變而光斑E(x，y) 在目標面上作平移 Δ=(δx，δy) 后成為新光斑EΔ(x，y)=E(x-δx，y-δy)，此時反射面S也同步形變成SΔ以遵守配光方程.因光斑平移而引起光學(xué)面從S到SΔ的變換用一個配光平移算符表示:Λ=Λ(Δ) .這樣方程(6)就改為平移配光方程:

其中，Γ(SΔ) 是平移后的反射算子，可表示為

這里的 Δ∈R2，也就是光斑可以在目標平面上任意平移，理論上所有的Λ(Δ) 構(gòu)成了一個群GΛ，稱之為配光平移群.

以一維平移操作為例簡單討論一下GΛ滿足群的4 個條件[17，18]:1)Λ(0) 就是群GΛ的幺元，其物理意義是光斑沒有發(fā)生移動;2)Λ(-δx)Λ(δx)=Λ(0)，所以Λ(-δx) 就是Λ(δx) 的逆元;3)由 于δx ∈R1，群GΛ的封閉性是顯而易見的;4)可以由方程(7)求解的唯一性保證滿足結(jié)合律:(Λ(δx1)Λ(δx2))Λ(δx3)=Λ(δx1)(Λ(δx2)Λ(δx3)) .一般情況下方程(7)的解不是唯一的，但其唯一性可以通過程能映射來實現(xiàn).

2.3 程能映射

如果配光系統(tǒng)中只有一個待求光學(xué)曲面，則程能映射就可以由SQM 良好表達，當然也不限于SQM 一種方法.SQM 是非成像光學(xué)中能實現(xiàn)任意目標光分布的配光設(shè)計方法之一，而SEM 是一種適用于自由反射面設(shè)計的SQM.SEM 的工作原理是將目標光分布離散化成像素陣列T處理，再利用橢球面的雙焦點特性建立像素與光源的映射關(guān)系，形成一個由橢球常數(shù)(光程常數(shù))陣列決定的支撐橢球面，然后通過調(diào)節(jié)光程陣列的分布實現(xiàn)各個像素上光通量的改變，最后由迭代優(yōu)化實現(xiàn)特定的目標光分布E，如圖1 所示.

圖1 SEM 方法示意圖Fig.1.Schematic of SEM.

由于這些橢球面具有光學(xué)反射作用，通過拓展流線概念而稱之為‘橢流面’，以區(qū)別于純粹幾何學(xué)意義的橢球面.當離散像素規(guī)模(也就是K的規(guī)模)趨于無窮時，目標光斑就由離散光點變成了連續(xù)分布的光斑，鱗甲反射面也過渡到光滑表面.在SEM 中，如果設(shè)置光程陣列中某一個光程值固定不變，則對應(yīng)于一個特定目標光分布的光程陣列是唯一的，這點已在數(shù)值仿真層面得到驗證.

根據(jù)SEM 的工作原理，配光方程(6)可改寫為

式中，Eij是T中第 (i，j) 個像素上的光通量，Ωij是第 (i，j) 個曲面片Mij對光源的立體角子域.另外，根據(jù)理想光效要求，(9)式還需滿足能量守恒

其中，考慮了在一般照明問題中光源的最大立體角域為半空間 2π .這里的Mij均為橢球面片.任一橢流面Mij是由對應(yīng)的橢球常數(shù)和兩個焦點位置所確定，因此可表示為

式中，Kij為Mij的橢球常數(shù)，O是光源所在位置(一般為坐標原點)，Tij為第i行第j列個像素所在的位置.這樣求M的問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍驥了，所以SEM 就是在已知目標照度E和光源光強分布I(θ，φ)并滿足條件方程(10)下根據(jù)方程(9)求M或K.由于(9)式和(10)式都是復(fù)雜的積分方程，直接求解存在很大難度，一般采用數(shù)值優(yōu)化算法來解決，如遺傳算法、牛頓最速法和區(qū)間收縮法等.

在SEM 中，(8)式就改寫為

這里的K具有雙重含義，既表示構(gòu)造了光學(xué)表面的光程常數(shù)陣列，又表示實現(xiàn)光線反射的光學(xué)作用.

2.4 DNN-KE 方法

SEM 為每一個反射子面建立光源到目標點的一一映射關(guān)系，通過相鄰K的迭代調(diào)整使目標點能量滿足預(yù)設(shè)條件，但這種迭代效率不高，為此引入DNN 與SEM 結(jié)合的DNN-KE 設(shè)計方法.DNNKE 方法利用DNN 優(yōu)秀的非線性表達能力實現(xiàn)KE 映射關(guān)系的擬合，即從點陣T上的照度分布E直接預(yù)測出相應(yīng)的K，從而快速生成所需的自由曲面.DNN-KE 方法采用成熟的Python+TensorFlow 方案作為深度學(xué)習框架[19]，如圖2 所示.

圖2 DNN-KE 方法示意圖Fig.2.Schematic of DNN-KE method.

利用TensorFlow 構(gòu)建1 個特定超參數(shù)的DNN，通過將不同樣本KE 映射關(guān)系中成對的 {E，K}作為DNN 的訓(xùn)練樣本.訓(xùn)練時，樣本中的E輸入到DNN 的輸入層，經(jīng)過逐層處理后在輸出層給出預(yù)測的K′.此時的K′與樣本中對應(yīng)的K之間會存在著偏差，可由損失(代價)函數(shù)C(K，K′)

來表示:

式中，M和N是二維離散化規(guī)模.有了損失函數(shù)值，BP(back propagation)算法就可以反向更新DNN各層神經(jīng)元的權(quán)重和偏置等參數(shù)，通過反復(fù)訓(xùn)練降低損失函數(shù)值至預(yù)定的收斂條件，使DNN 很好地擬合了KE 映射關(guān)系，并得到構(gòu)建光學(xué)表面所需的K.

DNN-KE 算法原則上可以實現(xiàn)任意光分布的光學(xué)表面求解，但需要海量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和計算條件做支撐.以M=N=10 和8 級灰度為例，光分布的狀態(tài)總數(shù)為 2300，這是個天文數(shù)字的搜索空間，因此DNN-KE 算法實現(xiàn)任意光分布的配光設(shè)計尚存在較大的困難.如果將搜索空間縮小到固定圖案光斑的配光平移群，則DNN-KE 算法是可行的.

3 仿真與分析

3.1 光學(xué)場景

光斑平移的光學(xué)場景如圖3 所示，水平放置的目標面平行于光源的發(fā)光面，朗伯型點光源位于目標面上方400 mm 處，在目標面上投射出尺寸為400 mm×400 mm 的均勻光斑，然后逐漸作向右平移，最大平移范圍為40 mm，整個平移過程中方斑的照度均勻度保持在0.9 以上.

圖3 方斑平移光學(xué)場景圖Fig.3.Optical diagram of square spot shift.

為了適當降低計算量，點陣T的規(guī)模大小設(shè)為10×10 時，通過采用基于負反饋機制的區(qū)間收縮法迭代優(yōu)化出方斑對應(yīng)的光程常數(shù)陣列K，期間保持K5，5=420 mm 不變.圖4 為 δx=0 時的光分布情況:圖(a)是標準均勻光通量分布Es，所有格點光通量為Φ/100，Φ是光源發(fā)出的總光通量;圖(b)是由區(qū)間收縮法所得K生成光學(xué)表面后仿真得到的歸一化光通量分布E′，可以看到E′與Es具有非常好的一致性;圖(c)是對圖(b)中所得的鱗甲光學(xué)表面進行光滑化處理后光學(xué)仿真所得的均勻光斑.目標面在離散化處理下，由SEM 所得的鱗甲光學(xué)表面是不光滑的，實現(xiàn)目標光斑的連續(xù)分布有兩條途徑:1)不斷增大離散規(guī)模;2)求鱗甲光學(xué)面的包絡(luò)面.圖4(c)中采用的是后者.

圖4 中的(b)和(c)表明離散光通量分布和連續(xù)光通量分布在照度均勻性上具有良好的一致性，因此后面僅討論光斑的離散分布情況，這樣處理可以最大程度規(guī)避光學(xué)仿真軟件的調(diào)用，實現(xiàn)在K空間上討論配光平移群.

圖4 均勻方斑光分布 (a) 目標分布;(b) 仿真分布;(c) 光滑化分布Fig.4.Flux distribution of uniform square spot:(a) Original target;(b) simulation;(c) smooth spot.

3.2 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

在上述光學(xué)場景下，通過SEM 算法可以得到相應(yīng)平移位置上的E和K數(shù)據(jù)樣本，并作為2.4 節(jié)中DNN 訓(xùn)練集樣本.為了提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂性能，TensorFlow 中的樣本數(shù)據(jù)需要進行線性歸一化預(yù)處理:

這里，X代表E或者K，χ是E或K中的元素.

一個完整DNN 網(wǎng)絡(luò)模型由參數(shù)和超參數(shù)共同決定.參數(shù)是可以通過優(yōu)化算法進行學(xué)習的，如:權(quán)重和偏置等;超參數(shù)是用來定義模型結(jié)構(gòu)或優(yōu)化策略的，如:網(wǎng)絡(luò)形狀、網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、隱藏層規(guī)模、優(yōu)化器、激活函數(shù)、損失函數(shù)和學(xué)習率等.經(jīng)過反復(fù)探索，DNN-KE 算法中的DNN 超參設(shè)定如下:網(wǎng)絡(luò)形態(tài)為直筒型，網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為5，層規(guī)模為256，激活函數(shù)選用ReLU 和TanH，優(yōu)化器選用ADAM，學(xué)習率為0.005，損失函數(shù)由(13)式給定.

DNN 的網(wǎng)絡(luò)超參確定之后就可以輸入樣本數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練.樣本數(shù)據(jù)由標準均勻方斑數(shù)據(jù)Es和偏移量 Δ 共同構(gòu)成，樣本集中5 個樣本的y偏移量δy ≡0，x偏移量分別為 δx=id，(i=0，2，4，6，8)，其中d=5 mm，并保證所有樣本光學(xué)仿真的離散光通量均勻度都高于0.9.網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的收斂條件為:.DNN 訓(xùn)練完成后就可進行預(yù)測和檢驗.

3.3 平移仿真

為了檢驗DNN 的學(xué)習能力，簡單生成9 個檢驗樣品，其x平移距 離分別 為 δx=id，(i=0，1，···，8)，d=5 mm，其中i為偶數(shù)的5 個檢驗樣本屬于訓(xùn)練樣本集，剩余4 個則不在訓(xùn)練集之中.將9 個檢驗樣品輸入訓(xùn)練好的DNN 中輸出9 個預(yù)測的Ki，再對Ki作逆歸一化處理，然后由這些Ki生成相應(yīng)的光學(xué)表面導(dǎo)入光學(xué)軟件中，仿真結(jié)果如圖5 所示，各個子圖的標號就是序數(shù)(i).可以看到各個子圖中點陣清晰規(guī)整，大小一致，亮度均勻，且偏移準確.初步表明DNN 實現(xiàn)了目標偏移范圍內(nèi)配光平移群的功能.

圖5 DNN 生成的平移光斑:Δ=[i d，0]，i 為子圖號Fig.5.The shift spot generated by DNN:Δ=[i d，0]，i is the number of subfigure.

3.4 誤差分析

為進一步考察DNN 預(yù)測功能的準確度，生成了21 個檢驗樣品，其 δy ≡0，x平移距離分別為 δx=id，(i=0，1，···，20)，d=2 mm，其 中i被5 整除的檢驗樣本屬于訓(xùn)練樣本集，剩余16 個則是插值樣本.方法同前，仿真結(jié)果如圖6 所示.這里的誤差計算采用(13)式定義的MSE 函數(shù):Err=MSE(Es，E′)，其中E′是仿真光分布，可以是DNN產(chǎn)生的EΔi，也可以是訓(xùn)練集中的E，兩者分別用ErrDNN和 E rrtrain表示.此二者之間的MSE 偏差計算則需要先對 E rrtrain曲線插值處理以適配ErrDNN規(guī)模.

由圖6 可見，DNN 生成的光學(xué)表面產(chǎn)生離散光分布EΔi與標準光分布Es之間的誤差很小，均在10—3量級內(nèi).尤其在訓(xùn)練集樣本所在位置上ErrDNN和 E rrtrain幾乎重合，在其他插值位置上 ErrDNN和 E rrtrain之間的MSE 偏差也在10—5量級內(nèi)，這說明DNN-KE 方法較好地表達了配光平移群.

圖6 平移光斑的誤差Fig.6.Error of the shift spots.

另外還可看到，隨著偏移量的增加，誤差逐漸增大，這是由光斑偏移導(dǎo)致K的搜索區(qū)間增大產(chǎn)生的，可以通過增加訓(xùn)練集樣本和提高訓(xùn)練過程中的收斂精度等方法加以抑制.

4 結(jié)論

由基礎(chǔ)配光方程出發(fā)推導(dǎo)了空氣中單一反射面的配光方程，又針對光斑平移情況導(dǎo)出了平移配光方程，引入配光平移群來描述所有配光平移算符，接著討論了平移配光方程解程能映射下的唯一性問題，進一步推導(dǎo)出K空間里的配光平移群.通過DNN 來擬合KE 映射和平移操作，完成平移配光方程的求解.然后以均勻方斑為例，利用SEM生成樣本數(shù)據(jù)，完成對DNN 進行多維度調(diào)參和訓(xùn)練，實現(xiàn)平移均勻方斑的配光設(shè)計.光學(xué)仿真結(jié)果表明DNN-KE 算法對配光平移群表達具有誤差小，速度快的優(yōu)勢，說明DNN-KE 方法成功實現(xiàn)了配光平移群的構(gòu)建，對智能化非成像光學(xué)設(shè)計具有指導(dǎo)意義.