李 博,劉子捷

(1.貴州大學(xué) 喀斯特地質(zhì)資源與環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引 言

我國(guó)西南地區(qū)是世界上最大的連片裸露碳酸鹽巖分布區(qū)，巖溶發(fā)育廣泛，西南地區(qū)也是南方重要的煤炭生產(chǎn)基地，主采的二疊系煤層底板茅口組灰?guī)r中常見充水性溶洞，各溶洞之間在橫向上水力聯(lián)系微弱，通常成串珠狀存在，具有相對(duì)的獨(dú)立性。煤礦開采過程中一旦遇到隱伏富水承壓溶洞，在采動(dòng)和溶洞內(nèi)水壓的雙重作用下，極易導(dǎo)致煤層底板隔水巖體失穩(wěn)破壞，產(chǎn)生突水災(zāi)害[1-2]，目前對(duì)煤層底板溶洞突水的相關(guān)研究較少，尤其是突水的力學(xué)行為研究尚待深入，現(xiàn)有的溶洞突水力學(xué)模型多見于隧道施工領(lǐng)域，各學(xué)者根據(jù)實(shí)際工況對(duì)溶洞突水系統(tǒng)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，建立了一些重要的力學(xué)模型，如周棟梁等[3]、聶一聰[4]、師海等[5]等將溶洞與隧道間的巖層簡(jiǎn)化為固支梁模型；臧守杰[6]將其簡(jiǎn)化為懸臂梁模型；江學(xué)良[7]將其簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁模型；宋戰(zhàn)平[8]將其簡(jiǎn)化為彈性板模型；褚漢東[9]、姜德義等[10]、周輝等[11]將其簡(jiǎn)化為四周固支的圓形薄板模型；賴永標(biāo)[12]則將其簡(jiǎn)化為橢圓形薄板模型。以上研究普遍將隔水巖體與溶洞的組合簡(jiǎn)化為彈性巖梁或彈性板來進(jìn)行研究，未能充分考慮溶洞的特殊形態(tài)以及由此帶來的水壓擴(kuò)散傳導(dǎo)導(dǎo)致的底板隔水巖體受力形變區(qū)域擴(kuò)大的特征，在力學(xué)模型的概化及適用上有一定缺陷，研究結(jié)果不具有普遍性，如果將其簡(jiǎn)化為厚圓板時(shí)，其撓度解析大多采用級(jí)數(shù)表達(dá)式，過于復(fù)雜，不方便使用。

因此，綜合考慮溶洞形態(tài)、巖體受力狀態(tài)、底板受力形變區(qū)域等條件，將溶洞與煤層之間的隔水巖體概化成由無數(shù)積分薄圓板構(gòu)成的圓錐臺(tái)體，建立了煤層底板溶洞突水的力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步借助突變理論，研究了系統(tǒng)發(fā)生突變時(shí)的地質(zhì)控制因素，推導(dǎo)了隔水巖層失穩(wěn)破壞的力學(xué)判據(jù)，提出了一種更符合實(shí)際的煤層底板溶洞突水的分析方法，相關(guān)研究成果可以為巖溶地區(qū)礦山突水災(zāi)害的防治提供理論依據(jù)。

1 煤層底板富水承壓溶洞突水力學(xué)模型構(gòu)建

據(jù)資料統(tǒng)計(jì)[8,13-14]，西南巖溶地區(qū)95%以上溶洞發(fā)育的直徑在2.0～20.0 m，其中約90%的溶洞跨度小于15 m，此時(shí)溶洞的空間形態(tài)在斷面上表現(xiàn)為圓形或似圓形，而跨度大于15 m時(shí)，溶洞斷面一般發(fā)育為大廳狀。通常溶洞的跨度遠(yuǎn)小于煤層底板的長(zhǎng)度，因此，筆者在力學(xué)模型的建立中將溶洞頂板簡(jiǎn)化為圓形斷面(圖1)，同時(shí)考慮到由于溶洞內(nèi)水壓力在隔水巖體中傳導(dǎo)時(shí)向周圍擴(kuò)散，底板巖體受力變形破壞區(qū)域通常大于溶洞頂板斷面尺寸的現(xiàn)象，筆者將底板隔水巖層、溶洞頂板組成的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為由無數(shù)半徑遞增的薄圓板組合形成的圓錐臺(tái)體(圖2)，并在考慮溶洞內(nèi)水壓的傳導(dǎo)、隔水巖層受力狀態(tài)特性的基礎(chǔ)上，基于彈性力學(xué)理論，作出以下假設(shè)：

圖1 煤層底板溶洞突水模型概化示意Fig.1 Schematics of water inrush model of karst cave in coal seam floor

圖2 煤層底板溶洞突水力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of water inrush from karst cave in coal seam floor

1)溶洞頂板斷面、煤層底板受力區(qū)域均視為均勻圓形，且隔水巖層受力區(qū)域半徑大于溶洞斷面半徑；將隔水巖體視為均勻、連續(xù)的各向同性體，且其內(nèi)部應(yīng)力已處于平衡狀態(tài)；系統(tǒng)巖體為無數(shù)周圍固支、半徑遞增、厚度均等的彈性薄圓板構(gòu)成的圓錐臺(tái)體，不同半徑薄圓板的最大撓度相同。

2)溶洞水壓通過前一薄圓板傳導(dǎo)至下一薄圓板，在隔水巖體中不斷傳導(dǎo)、擴(kuò)散；巖體各部分只在受力區(qū)域內(nèi)變形破壞，其余部分不變形。

3)只考慮隔水巖體在豎直方向受到均布溶洞承壓水壓力、上覆巖層作用力下產(chǎn)生的剪切破壞；不考慮巖溶水對(duì)圍巖的各類損傷以及在傳導(dǎo)過程中能量的損耗，且在計(jì)算合力做功時(shí)忽略巖體由于外力擠密產(chǎn)生的微小形變。

如圖2所示，溶洞頂板半徑為r0，圓錐臺(tái)體母線與豎直方向的夾角為θ，煤層底板實(shí)際受力變形破壞區(qū)域半徑為R，其中R=dtanθ+r0；上覆巖層作用力為q，包含上覆巖層自重及開采擾動(dòng)的作用力，溶洞水壓力為pw，隔水巖層厚度為d，薄圓板的厚度為t，且t遠(yuǎn)小于d。且根據(jù)彈性力學(xué)理論可得，薄圓板的撓曲線方程為：

(1)

模型的邊界條件為：

(2)

式中，r為距受力區(qū)域圓心的距離；ω為撓度；ur為徑向位移；D為圓板的抗彎剛度，D=Et3/12(1-μ2)；E和μ分別為薄圓板的彈性模量與泊松比。

由幾何條件可得，圓錐臺(tái)體內(nèi)任一位置薄圓板的半徑R(t)為：

(3)

溶洞內(nèi)水壓擴(kuò)散傳導(dǎo)到不同位置薄圓板的壓力pw(t)滿足：

πR(t)2pw(t)=πr02pw

(4)

將式(3)代入式(4)可得：

(5)

由假設(shè)(1)可得薄圓板中心的最大撓度ωm為：

(6)

式中，pw(t) 為不同位置薄圓板的水壓力；R為底板變形破壞區(qū)域；D為圓板的抗彎剛度。

2 基于突變理論的煤層底板溶洞突水力學(xué)判據(jù)

2.1 突變理論概述

煤層底板溶洞突水本質(zhì)上是一種巖體內(nèi)部的彈性能量從量變積累到質(zhì)變的突破，是一種動(dòng)態(tài)、非線性、不可逆的演化過程，符合突變理論的描述。突變理論是法國(guó)數(shù)學(xué)家THOM于1972年提出，可以用來描述非線性系統(tǒng)在某些作用力的影響下，從連續(xù)漸變轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)突變的現(xiàn)象[15]。尖點(diǎn)突變模型[16-19]能適用于巖體失穩(wěn)破壞的情形，其勢(shì)函數(shù)能用2個(gè)控制參數(shù)u、v來表示，標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為：

(7)

式中，u，v為控制變量；x為狀態(tài)變量，對(duì)應(yīng)的平衡位置滿足：

Π′(x)=x3+ux+v=0

(8)

式(8)在(x,u,v)空間中構(gòu)成了一個(gè)褶皺曲面，該曲面由上、下、中三葉組成，如圖3a所示。狀態(tài)變量x從小變大對(duì)應(yīng)從下葉發(fā)展到中葉，系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定臨界狀態(tài)。繼續(xù)發(fā)展則將發(fā)生突變現(xiàn)象，跳躍至上葉，系統(tǒng)發(fā)生突變失穩(wěn)破壞，如圖3b所示。將平衡曲線投影在u-v平面，可得分叉集，如圖3c所示。

圖3 尖點(diǎn)突變模型Fig.3 Cusp catastrophe model

對(duì)勢(shì)函數(shù)進(jìn)行二階偏導(dǎo)，可得系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定方程為：

Π″(x)=3x2+u=0

(9)

聯(lián)立式(8)消去x，可得分叉集方程為：

4u3+27v2=0

(10)

由以上分析及式(8)可知，當(dāng)u≤0時(shí)系統(tǒng)即產(chǎn)生突變失穩(wěn)破壞。

2.2 煤層底板溶洞突水力學(xué)判據(jù)

通過對(duì)上述力學(xué)模型的解析，可以構(gòu)建模型的勢(shì)函數(shù)表達(dá)式，將其轉(zhuǎn)化為尖點(diǎn)突變模型中的標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)函數(shù)表達(dá)式后便可推導(dǎo)突水的力學(xué)判據(jù)。整個(gè)模型系統(tǒng)的勢(shì)能Π由圓錐臺(tái)體的變形勢(shì)能U、外力對(duì)其做功W二部分構(gòu)成，其中系統(tǒng)變形勢(shì)能包括隔水巖層的彎曲變形勢(shì)能U1以及中面應(yīng)變勢(shì)能U2，外力做功為合力在軸向上做功W1、徑向上做功W2之和，即：

Π=U-W

(11)

其中，U=U1+U2，W=W1+W2

(12)

隔水巖層彎曲變形勢(shì)能U1為：

(13)

中面應(yīng)變勢(shì)能U2為無數(shù)個(gè)厚度為dt的薄圓板單元的應(yīng)變勢(shì)能Udt在軸向積分而得，即：

(14)

(15)

其中由邊界條件式可將ur用級(jí)數(shù)形式表示為：

(16)

忽略高階無窮量取級(jí)數(shù)表達(dá)式前兩項(xiàng)得到：

(17)

根據(jù)彈性力學(xué)中的變分法[20]可得：

(18)

式中，a1，a2為變分常數(shù)。

將式(18)代入式(17)可得：

(19)

將ur代入式(15)可得：

(20)

圓錐臺(tái)體的變形勢(shì)能U為：

(21)

外力做功為W為：

W=W1+W2=?[pw(t)-q]ωrdθdr+
?[pw(t)-q]urrdθdω

(22)

其中，為避免積分過程中出現(xiàn)高階小量，將pw(t)做近似處理，當(dāng)t=d時(shí)，有

(23)

代入式(22)積分可得：

(24)

將式(21)，式(24)代入式(11)可得模型的系統(tǒng)勢(shì)能Π表達(dá)式為：

(25)

式中，a3，a4為變分常數(shù)。

依據(jù)文獻(xiàn)[21]對(duì)模型的系統(tǒng)勢(shì)能Π表達(dá)式進(jìn)行變量代換如下：

令，

(26)

則，

Π=b4ωm4+b3ωm3+b2ωm2+b1ωm+b0

(27)

令，

(28)

式(27)按以下矩陣進(jìn)行變換

(29)

式中，B、b0、b1、b2、b3、b4、c0、c1、c2、c4為參數(shù)，用于變量代換。

可得：

Π=c0+c1x+c2x2+c4x4

(30)

令

(31)

則有

(32)

Π′(x)=x3+ux+v=0

(33)

且分叉集方程為：

4u3+27v2=0

(34)

根據(jù)突變理論，當(dāng)u≤0時(shí)，隔水巖體發(fā)生失穩(wěn)破壞，底板突水，即：

(35)

解不等式(35)可得煤層底板富水溶洞突水的力學(xué)判據(jù)為：

(36)

其中，d為隔水巖體厚度；r0為溶洞頂板半徑；R為底板變形破壞區(qū)域半徑；pw為溶洞內(nèi)水壓力；q為上覆巖層作用力；E為隔水巖體的彈性模量；μ為隔水巖體的泊松比；a3、a4為變分常數(shù)。

由式(36)可知，影響突水的因素包括巖體的彈性模量、泊松比、厚度和底板變形破壞區(qū)域、上覆巖層的作用力、溶洞的尺寸和水壓，且當(dāng)巖體厚度、彈模、泊松比越小，溶洞尺寸和水壓越大時(shí)，隔水巖體越容易產(chǎn)生失穩(wěn)破壞誘發(fā)突水。

3 結(jié) 論

1)煤層底板溶洞突水發(fā)生的關(guān)鍵取決于隔水巖體的穩(wěn)定性，隔水巖體的穩(wěn)定性與其力學(xué)作用機(jī)制密切相關(guān)，將溶洞與煤層底板間的隔水巖體概化成由無數(shù)積分薄圓板構(gòu)成的圓錐臺(tái)體模型，建立了溶洞突水的力學(xué)模型，有效的刻畫了煤層底板富水承壓溶洞突水的力學(xué)行為。

2)煤層底板溶洞突水本質(zhì)上是隔水巖體內(nèi)部彈性勢(shì)能累積到一定程度進(jìn)而突變失穩(wěn)的過程，基于尖點(diǎn)突變理論，推導(dǎo)了隔水巖體失穩(wěn)破壞的力學(xué)判據(jù)，相關(guān)成果可以煤層底板富水承壓溶洞突水的基礎(chǔ)理論研究提供依據(jù)。

3)煤層底板溶洞突水發(fā)生過程中隔水巖體失穩(wěn)破壞主要取決于巖體的彈性模量、泊松比、厚度、溶洞的尺寸、溶洞內(nèi)水壓力等因素。隔水巖體厚度、彈性模量、泊松比越小，溶洞尺寸和溶洞內(nèi)水壓力越大，隔水巖體越容易發(fā)生破壞，誘發(fā)突水的可能性越大。