鐘小勇，任劍秋

(江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

四旋翼無人機(jī)是一種典型的四電機(jī)輸入、六自由度輸出的欠驅(qū)動(dòng)復(fù)雜控制系統(tǒng)，易于受到外界干擾，人工整定參數(shù)困難且不易獲得較佳的控制效果。為了提高控制精度，國內(nèi)外研究人員對無人機(jī)控制器參數(shù)優(yōu)化算法開展了廣泛研究。文獻(xiàn)[1]在傳統(tǒng)的粒子群算法基礎(chǔ)上參考遺傳算法，對適應(yīng)值不好的粒子進(jìn)行交叉保優(yōu)，以提高粒子的多樣性，加快尋優(yōu)速度。文獻(xiàn)[2]將粒子群算法與仿人智能控制相結(jié)合，使用粒子群優(yōu)化算法對仿人智能控制中的比例、微分系數(shù)和衰減系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)模糊PID(Proportion-Integral-Differential，比例積分微分)控制器對無人機(jī)進(jìn)行控制，對模糊控制器中的模糊子集進(jìn)行基因編碼，設(shè)計(jì)改進(jìn)型遺傳算法實(shí)現(xiàn)模糊規(guī)則的再整定與優(yōu)化。文獻(xiàn)[4]提出一種改進(jìn)PSO(Particle Swarm Optimization，粒子群)算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)的方法，在迭代更新過程中，根據(jù)粒子的適應(yīng)度值按照一定淘汰率將部分粒子淘汰，并用隨機(jī)產(chǎn)生的新粒子代替，在保優(yōu)的同時(shí)增加了粒子群的多樣性。文獻(xiàn)[5]提出一種改進(jìn)人工蜂群算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)的方法，利用循環(huán)交換鄰域技術(shù)擴(kuò)大搜索范圍，并利用混沌的遍歷性跳出局部最優(yōu)解，得到了較好的時(shí)域性能。

以上研究大多是在粒子群算法的基礎(chǔ)上對控制器參數(shù)進(jìn)行整定，但是標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法在處理復(fù)雜問題時(shí)容易陷入局部最優(yōu)解。因此本文采用差分進(jìn)化(Differential Evolution，DE)算法對串級PID控制器參數(shù)進(jìn)行整定，在標(biāo)準(zhǔn)DE算法的基礎(chǔ)上，提出定向搜索的策略，根據(jù)上一次適應(yīng)度比較的結(jié)果定向影響本次變異的方向，將這種算法應(yīng)用到四旋翼仿真模型中尋找出最優(yōu)的控制器參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明將定向差分進(jìn)化(directed Differential Evolution，dDE)算法尋找出的控制器參數(shù)帶入模型后得到的控制器參數(shù)，仿真結(jié)果明顯優(yōu)于PSO算法和標(biāo)準(zhǔn)DE算法，證明了該算法的可行性和實(shí)用價(jià)值。

2 算法的理論分析

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

粒子群算法是一種生物優(yōu)化算法，它根據(jù)自己和同伴的經(jīng)驗(yàn)在搜索空間中找到全局最優(yōu)解。假設(shè)區(qū)域中只有一塊食物(即優(yōu)化問題中的最優(yōu)解)，鳥群的任務(wù)就是找到這個(gè)食物。鳥群在整個(gè)搜索過程中可以相互傳遞信息，讓彼此知道各自的位置，來判斷自己是否離食物更近，最終整個(gè)鳥群都能聚集到食物周圍，問題收斂。

(1)

式中1≤

j

≤

D

，1≤

i

≤

NP

；

D

為變量的總維數(shù)；

ω

為慣性權(quán)重，起到平衡全局和局部搜索能力的作用；

c

，

c

分別為認(rèn)知系數(shù)，使粒子具有繼承自身優(yōu)點(diǎn)并向種群中其它優(yōu)秀個(gè)體學(xué)習(xí)的能力；

r

，

r

為[0，1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，用來保持群體的多樣性。相對人工整定控制參數(shù)而言，粒子群算法能加快尋優(yōu)速度，但發(fā)現(xiàn)針對四旋翼無人機(jī)這類復(fù)雜的控制器參數(shù)確定時(shí)，容易陷入局部最優(yōu)。

2.2 差分進(jìn)化算法

2

.

2

.

1 差分進(jìn)化算法基本原理

差分進(jìn)化算法是在1995年，首先由Storn和Price提出的，它最初被用于求解切比雪夫多項(xiàng)式的問題。DE算法原理跟遺傳算法十分相似，都屬于進(jìn)化算法的范圍，包含變異、交叉、選擇三個(gè)操作，但DE算法的這三個(gè)過程與遺傳算法有很大的不同。DE算法的變異是使用差分策略，利用父代種群中個(gè)體之間的差異來產(chǎn)生變異個(gè)體。交叉操作是從原來的目標(biāo)個(gè)體和變異個(gè)體中用概率選擇的方法構(gòu)成新的候選個(gè)體。選擇操作是采用“貪婪原則”，讓目標(biāo)個(gè)體和候選個(gè)體進(jìn)行競爭，選擇適應(yīng)度函數(shù)較優(yōu)的個(gè)體，使搜索過程逐漸接近最優(yōu)解?；綝E算法包括以下環(huán)節(jié)：

1)種群初始化

(2)

2)變異操作

DE算法的個(gè)體變異是通過父代群體中三個(gè)不同的個(gè)體，采用選定的進(jìn)化模式來生成。根據(jù)不同的變異方式，其進(jìn)化模式也多種多樣。但都可以統(tǒng)一使用

DE/x/y/z

的形式來描述。其中

x

代表被變異個(gè)體的選擇方式，如選擇最優(yōu)個(gè)體

best

或隨機(jī)產(chǎn)生的個(gè)體

rand

；

y

表示差分向量的個(gè)數(shù)；

z

表示交叉模式，包含二項(xiàng)交叉

bin

和指數(shù)交叉exp 。假設(shè)選用的變異策略是

DE/rand/

1

/bin

，那么變異個(gè)體可以表示為

(3)

k

，

k

，

k

是隨機(jī)生成的三個(gè)彼此互不相同的整數(shù)，

k

，

k

，

k

∈{1，2，…，

MP

}，所以種群數(shù)量必須要超過4個(gè)。

F

表示縮放因子，

F

∈[0，1]，它決定著差分個(gè)體的縮放量，是控制種群收斂性和多樣性的重要參數(shù)。

F

取值大意味著搜索步長較長，也就易于跳出局部最優(yōu)解，但在演化后期容易錯(cuò)過最優(yōu)解。反之如果

F

取值較小，則對種群造成的擾動(dòng)小，有助于加快算法的收斂速度，但不易跳出局部最優(yōu)解，陷入成局部收斂。在變異過程中，也可能產(chǎn)生超出搜索范圍[

L

，

U

]的個(gè)體，這時(shí)就要進(jìn)行算子修補(bǔ)。定義修補(bǔ)過程的操作為

(4)

3)交叉操作

(5)

式(5)中

CR

∈(0，1)為交叉因子，

CR

取值的大小，決定了個(gè)體在不同位點(diǎn)發(fā)生交叉的概率大小，決定著歷史信息與當(dāng)前種群信息的權(quán)重。

CR

取值越大，則選中變異個(gè)體的概率越大，種群多樣性就會(huì)增加，但收斂速度就會(huì)變慢。

CR

取值小，則種群多樣性小，有利于提高算法的收斂速度，但容易造成過早收斂。

4)選擇操作

(6)

2

.

2

.

2 定向搜索策略

(7)

(8)

3 四旋翼無人機(jī)動(dòng)力模型及PID控制

3.1 四旋翼無人機(jī)動(dòng)力模型

為了描述四旋翼無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)與位置變化，需要在地理坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系上建模，同時(shí)分析兩個(gè)坐標(biāo)之間的變換關(guān)系。四旋翼無人機(jī)運(yùn)動(dòng)示意圖如1所示。

在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)和位置的變化中，常用俯仰角、橫滾角

φ

、航向角

ψ

來表示確定向量的轉(zhuǎn)動(dòng)位置，無人機(jī)各軸的角度變化用歐拉角表示，需要依次繞三個(gè)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)才能求出復(fù)合后的旋轉(zhuǎn)矩陣。用歐拉角來表示無人機(jī)從載體坐標(biāo)系

b

旋轉(zhuǎn)到地理坐標(biāo)系

n

的旋轉(zhuǎn)矩陣如公式所示。

圖1 四旋翼無人機(jī)運(yùn)動(dòng)示意圖

(9)

式中

c

、

s

分別表示cos 和sin 函數(shù)。

建立四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，需要假定一些初始條件：

1)假設(shè)無人機(jī)為剛體，不考慮槳片的形變和彈性震動(dòng)。

2)假設(shè)無人機(jī)絕對對稱，機(jī)體質(zhì)量分布均勻，重心與機(jī)體坐標(biāo)原點(diǎn)重合。

3)忽略地面效應(yīng)造成的影響。

4)忽略地球自轉(zhuǎn)，地理坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合，重力加速度不變。

設(shè)無人機(jī)的地理坐標(biāo)為

ξ

=[

x

，

y

，

z

]，無人機(jī)的姿態(tài)角為

Θ

=[

φ

，

θ

，

ψ

]，角速度為

ω

=[

p

，

q

，

r

]。根據(jù)動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理，結(jié)合無人機(jī)所受外力和合外力矩，給出無人機(jī)的角運(yùn)動(dòng)方程

(10)

式中

U

，

U

，

U

分別代表橫滾、俯仰和偏航運(yùn)動(dòng)力矩，

I

(

i

=

x

，

y

，

z

)代表機(jī)體繞各軸旋轉(zhuǎn)的慣性張量，

J

為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

Ω

為機(jī)體轉(zhuǎn)速。再給出無人機(jī)的平移運(yùn)動(dòng)和垂直運(yùn)動(dòng)方程

(11)

式中

U

代表垂直運(yùn)動(dòng)力矩，

m

為飛行器重量，

g

為重力加速度，

U

(

i

=1，2，3，4)可以表示為

(12)

式中，

Ω

(

i

=1，2，3，4)代表四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，

F

(

i

=1，2，3，4)代表四個(gè)旋翼單獨(dú)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的升力，

b

為升力系數(shù)，

d

為阻力矩系數(shù)，

l

為無人機(jī)質(zhì)心到旋翼中心的長度。

3.2 四旋翼無人機(jī)的PID控制

控制部分采用PID控制器，常用的PID控制器如圖2所示，由比例單元P、積分單元I、微分單元D組成，實(shí)現(xiàn)對被控對象的控制與調(diào)節(jié)。

圖2 PID控制器模型

在圖2中，輸入信號為

r

(

t

)，輸出信號為

y

(

t

)，PID控制器輸入為

e

(

t

)=

r

(

t

)-

y

(

t

)，PID控制器輸出

u

(

t

)表達(dá)式為

(13)

式中，

K

、

K

、

K

是PID控制器的三個(gè)參數(shù)，分別為是比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。為了提高控制精度，對四旋翼每個(gè)姿態(tài)角采用內(nèi)外環(huán)串級PID控制，如圖3所示。相對常用的PID控制器，串級PID控制器更能夠準(zhǔn)確實(shí)時(shí)地控制四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)。在圖3中，外環(huán)為角度PID控制器(比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)分別設(shè)為

K

1、

K

1、

K

1)，輸入為期望角度與反饋實(shí)時(shí)角度的差值，輸出為期望角速度；內(nèi)環(huán)是角速度

PID

控制器，(比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)分別設(shè)為

K

2、

K

2、

K

2)，輸入為期望角速度與反饋實(shí)時(shí)角速度的差值，輸出至四旋翼動(dòng)力模型。根據(jù)四旋翼動(dòng)力模型表達(dá)式(12)，計(jì)算

U

、

U

、

U

、

U

，最終根據(jù)模型參數(shù)，計(jì)算并反饋實(shí)際角度與實(shí)際角速度。在四旋翼串級PID控制過程中，PID參數(shù)的整定及優(yōu)化是實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制的基礎(chǔ)。

圖3 四旋翼無人機(jī)串級PID控制

3.3 差分進(jìn)化算法整定PID參數(shù)過程

整定PID參數(shù)過程中，選定ITAE(Integral time absolute error，時(shí)間絕對偏差積分)為適應(yīng)度函數(shù)

f

，其表達(dá)式為：

(14)

在參數(shù)整定過程中，

f

的值越小越好，約束條件為系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間

t

、超調(diào)比例

σ

與調(diào)節(jié)誤差

err

。改進(jìn)差分進(jìn)化算法整定PID控制器參數(shù)步驟如圖4所示。

圖4 dDE優(yōu)化PID流程圖

7)判斷最大迭代次數(shù)是否達(dá)到，若達(dá)到，則停止；否則轉(zhuǎn)到第2)步。

利用差分進(jìn)化算法對PID控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的過程流程圖如圖4所示。優(yōu)化算法與四旋翼模型之間，通過優(yōu)化算法傳遞PID的控制參數(shù)，從四旋翼模型中獲得仿真數(shù)據(jù)，利用得到的數(shù)據(jù)，通過適應(yīng)度函數(shù)得到該組參數(shù)對應(yīng)的適應(yīng)度值，獲取適應(yīng)度最優(yōu)的參數(shù)。

4 仿真與結(jié)果分析

為了對本文所提出算法的控制精度及實(shí)時(shí)性進(jìn)行驗(yàn)證，本文采用圖5所示的四旋翼無人機(jī)為原型，實(shí)驗(yàn)以該機(jī)為模型，具體參數(shù)如表1所示。

圖5 四旋翼無人機(jī)

表1 四旋翼模型參數(shù)

運(yùn)用MATLAB和Simulink進(jìn)行仿真并分析仿真結(jié)果。以橫滾通道為例，設(shè)置PSO的粒子群規(guī)模為NP=20、維度參數(shù)D=6、位置區(qū)間為

X

=[0 0 0 0 0 0]到

X

=[100 5 5 100 5 5]，最大迭代次數(shù)50，速度區(qū)間

V

為位置區(qū)間的0

.

2倍，認(rèn)知系數(shù)

c

，

c

=2，慣性權(quán)重

ω

從0

.

9線性遞減至0

.

4。設(shè)置

DE

和

dDE

算法的種群大小

MP

=20、維度參數(shù)

N

=6、位置區(qū)間為

X

=[0 0 0 0 0 0]到

X

=[100 5 5 100 5 5]、和最大迭代次數(shù)max

G

=50，縮放因子

F

=0

.

5，交叉概率因子

CR

=0

.

9。

三種算法迭代50次后，得到的優(yōu)化PID參數(shù)值和各性能指標(biāo)如表所示。

表2 橫滾通道PID參數(shù)和各性能指標(biāo)

以橫滾角為例，將三種算法下得到的

PID

參數(shù)帶入四旋翼模型中，期望角度為30°時(shí)，角度變化曲線如圖6所示。

圖6 不同算法PID控制效果

三種算法下適應(yīng)度隨迭代次數(shù)變化曲線如圖7所示。

圖7 適應(yīng)度隨迭代次數(shù)變化曲線

dDE

算法參數(shù)優(yōu)化隨迭代次數(shù)變化如圖8所示。由于靜差相對較小，積分系數(shù)及變化量均很小，圖中只列出了比例系數(shù)及微分系數(shù)。

圖8 dDE算法中的參數(shù)變化曲線

由圖6可以看出，系統(tǒng)在階躍輸入下，

dDE

算法能夠以最快的速度達(dá)到期望值，并且達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間最短。從圖7中可以看到，

DE

算法在第15次迭代，

PSO

算法在第9次迭代左右就已經(jīng)收斂，不再變化。而結(jié)合圖8可以看到，

dDE

算法在第15代之后依然可以跳出局部最優(yōu)解，防止了過早收斂，得到了整體的最優(yōu)結(jié)果。

5 結(jié)論

本文將串級

PID

應(yīng)用于四旋翼控制系統(tǒng)中，并用

Simulink

對四旋翼飛行器進(jìn)行了建模仿真。針對四旋翼飛行器

PID

參數(shù)人工調(diào)試難度較大的問題，提出了

DE

算法對四旋翼

PID

參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并對標(biāo)準(zhǔn)

DE

算法進(jìn)行改進(jìn)，加入了定向搜索策略。通過與標(biāo)準(zhǔn)

PSO

算法和

DE

算法相比較，結(jié)果表明基于

dDE

算法的串級

PID

控制技術(shù)具有更快的收斂速度和更穩(wěn)定的性能。