羌湘琦， 侯成軍

(揚州大學數學科學學院， 225002，江蘇省揚州市)

0 引 言

算子代數與遍歷理論之間的聯(lián)系始于von Nuemann代數的群測度空間構造[1]. 至今為止，有關可數無限群在概率測度空間上的自由遍歷保測作用在“共軛”“軌道等價”和“W*-等價”等意義下的分類與群測度空間構造的有限因子理論的研究取得了豐富成果[2]. 平行于自由遍歷的保測作用，群在拓撲空間上的同胚作用與相應交叉積C*-代數理論的研究早期最著名的結果是由Giordano,Putnam和Skau[3]于1995年給出的，他們證明了Cantor集上的兩個極小同胚是強軌道等價的當且僅當對應的交叉積C*-代數是同構的. 1998年，此結果被Boyle和Tomiyama[4]推廣，證明了緊度量空間上兩個拓撲自由的同胚是flip共軛的當且僅當交叉積C*-代數之間存在保典則函數子代數的*-同構. 后來，Lin和Matui[5]定義了Cantor極小系統(tǒng)的弱逼近共軛，逼近K-共軛等，通過K-理論研究了這類系統(tǒng)的分類與相應的交叉積C*-代數之間的關系. 最近，Li[6]引入群同胚作用的連續(xù)軌道等價概念并借助于相應交叉積C*-代數的同構性質對該理論進行了刻畫. 此外，眾多學者也對Smale空間，雙邊Markov移位等同胚提出了漸近連續(xù)軌道等價，flow等價等概念，并用相關的Ruelle代數，Cuntz-Krieger代數和廣群C*-代數進行了刻畫，得到了豐富且重要的結論. 相關研究成果可參見文獻[7-9].

2010年Matsumoto[10]引入單邊拓撲Markov移位的連續(xù)軌道等價概念，并建立了此與Cuntz-Krieger代數之間的聯(lián)系. Carlsen[11]等人又利用廣群技巧將Matsumoto和Matui[8]對不可約單邊拓撲Markov移位的軌道等價的研究推廣到單邊有限型移位上. 注意到單邊移位是緊度量空間上的局部同胚. 受上述研究的啟發(fā)，本文借助于變換廣群性質和Ruelle算子理論研究半群作用的共軛性.

1 預備知識

本文中所涉及的半廣群、廣群及其C*-代數的相關定義參見文獻[12-15]. 對于半廣群Λ，用Λ(2)表示Λ的可乘元素對集. 給定半廣群Λ和Γ，映射Ψ：Λ→Γ被稱為半廣群同態(tài)，如果對(a,b)∈Λ(2)，有(Ψ(a)，Ψ(b))∈Γ(2)且Ψ(ab)=Ψ(a)Ψ(b). 進一步，如果Ψ是雙射且Ψ-1也是半廣群同態(tài)，則稱Ψ是半廣群同構. 注意到任意的半群都可以自然地看做是半廣群. 對于拓撲廣群G，我們用G(2)和G(0)分別表示G的可乘元素對集和單位空間. 令x∈G，分別稱d(x)=x-1x和r(x)=xx-1為x的domain和range. 如果d和r是局部同胚，則稱廣群G是étale的. 若集合{u∈G(0):d-1(u)∩r-1(u)={u}}是G(0)的稠子集，則稱G是拓撲一致(principle)的. 給定étale廣群G和H，稱映射Φ：G→H是同態(tài)，如果Φ是連續(xù)的且對(r,r′)∈G(2)時有(Φ(r)，Φ(r′))∈H(2)，Φ(rr′)=Φ(r)Φ(r′). 進一步，若Φ是同胚使得Φ和Φ-1是同態(tài)，則稱Φ是étale廣群同構. 從廣群G到群G的同態(tài)被稱為G上的(連續(xù))cocycle.

例1.1[11]令0是非負整數加法半群，A是有限集，A表示從0到A的映射全體.在A上賦予離散拓撲，A上賦予相關的乘積拓撲，則A是一個緊的極端不連通空間.A上的移位變換σ：A→A定義為σ(x)(i)=x(i+1)，?x∈A，i∈0. 令X是A的閉子集且在σ下不變，即σ(X)=X，此時X是A的緊子集且被稱為單邊移位空間. 用σX表示σ對X的限制，σX是局部同胚當且僅當X是有限型移位，此時對也是局部同胚，故當X是有限型單邊移位時可得半群作用(X，0，σX).

(x，m)(y，n)=(x，mn)，若y=θm(x).

另一個是變換廣群

G(X，P，θ)={(x，g，y)∈X×G×X:?m，n∈P，g=mn-1，θm(x)=θn(y)}，

其上的乘法和逆運算分別為

(x，g，y)(u，h，v)=(x，gh，v)，若y=u，(x，g，y)-1=(y，g-1，x)，

(2) 映射cθ:G(X，P，θ)→G定義為cθ(x，g，y)=g是(連續(xù))cocycle；

下面給出半群作用共軛的概念.

定義1.3設(X，P，θ)和(Y，S，ρ)是兩個半群作用. 如果存在同胚φ：X→Y，半群同構α：P→S，使得對?m∈P,φθm=ρα(m)φ，則稱(X，P，θ)和(Y，S，ρ)是(拓撲)共軛的，稱二元組(φ，α)是(X，P，θ)到(Y，S，ρ)的共軛，簡稱為共軛.

定義1.4 設(X，P，θ)是半群作用. 如果對m，n∈P且m≠n，集合{x∈X：θm(x)=θn(x)}的內部是空的，則稱(X，P，θ)是本質自由的.

定義1.5[11]設X和Y是兩個有限型單邊移位. 如果存在同胚φ：X→Y使得φ°σX=σY°φ，則稱σX和σY共軛.

定義1.6[6]設(X，G，α)和(Y，H，β)是兩個群作用，如果存在同胚φ：X→Y，群同構γ：G→H，使得對?g∈G,φαg=βγ(g)φ，則稱(X，G，α)和(Y，H，β)是共軛的.

引理1.7[16]半群作用(X，P，θ)是本質自由的當且僅當廣群G(X，P，θ)是拓撲一致的.

推論1.10設(X，P，θ)和(Y，S，ρ) 是兩個本質自由的半群同胚作用，P?G，S?H滿足本節(jié)第二段中假設，則以下陳述等價：

(1) étale廣群G(X，P，θ)同構于G(Y，S，ρ)；

2 主要結論

命題2.1 兩個有限型單邊移位σX和σY是共軛的當且僅當對應的半群作用(X，0，σX)和(Y，0，σY)是共軛的.

證明必要性. 設同胚φ：X→Y引起了σX和σY的共軛. 令α：0→0是恒等映射，則對?x∈X,m∈0,有

因此(X，0，σX)和(Y，0，σY)是共軛的.

充分性. 設(φ，α)是(X，0，σX)到(Y，0，σY)的共軛，則α是0上的恒等映射，并且因此有限型單邊移位σX和σY是共軛的. 證畢.

設(X,P,θ)是半群作用,C(X)表示X上連續(xù)函數全體，定義

命題2.3 設(X，P，θ)和(Y，S，ρ)是兩個半群作用，φ：X→Y是同胚，α：P→S是半群同構，定義Λ：C(X)→C(Y)，f|→f°φ-1,則Λ是*-同構，并且下列陳述等價:

(1) (φ，α)是共軛；

(3) ?m∈P，Λ°(θm)*=(ρα(m))*°Λ.

證明容易驗證Λ：f|→f°φ-1是C(X)到C(Y)上的*-同構，下證(1)?(2)?(3).

(1)?(2).對?f∈C(X)，y∈Y，有

(2)?(1). 對?f∈C(X)，y∈Y，有

因此，θm(φ-1(y))=φ-1(ρα(m)((y))，i.e.，對?x∈X，m∈P，φ(θm(x))=ρα(m)(φ(x)).

(3)?(1). 由于對?f∈C(X)，Λ((θm)*(f))=(ρα(m))*(Λ(f))，因此

(1)

Ψ(x，m)Ψ(θm(x)，n)=(φ(x)，α(m))(φ(θm(x))，α(n))=(φ(x)，α(mn))=Ψ(x，mn).

證明本證明參考文獻[6]有關連續(xù)軌道等價的證明. 事實上，如果令(φ，α)是(X，P，θ)到(Y，S，ρ)的共軛，映射(x，mn-1，y)∈G(X，P，θ)→(φ(x)，α(m)α(n)-1，φ(y))∈G(Y，S，ρ)實現了上述的étale廣群同構，再結合引理1.7，1.9即可.

證明必要性由定理2.5及其證明可得. 下證充分性.

φ(θm(x))=ρa(x，m，θm(x))(φ(x))，

(2)

φ-1(ρt(u))=θb(u，t，ρt(u))(φ-1(u)).

(3)

a(x，m，θm(x))=a(y，m，θm(y)).

(4)

同樣的，對?u，v∈Y，t∈S，有

b(u，t，ρt(u))=b(v，t，ρt(v)).

(5)

由式(2),式(3)可得對?x∈X，m∈P，θb(φ(x)，a(x，m，θm(x))，ρa(x，m，θm(x))(φ(x)))(x)=θm(x).再由式(4),式(5)可得對?x′∈X，θb(φ(x)，a(x，m，θm(x))，ρa(x，m，θm(x))(φ(x)))(x′)=θm(x′).(X，P，θ)的本質自由性表明

b(φ(x)，a(x，m，θm(x))，ρa(x，m，θm(x))(φ(x)))=m.

(6)

同樣的，對u∈Y，t∈S，有

a(φ-1(u)，b(u，t，ρt(u))，θb(u，t，ρt(u))(φ-1(u)))=t.

(7)

定義α：m∈P→a(x，m，θm(x))∈S，β：t∈S→b(u，t，ρt(u))∈P，則由式(4)～式(7)，α是從P到S上以β為逆的半群同構. 再由式(2),φ(θm(x))=ρα(m)(φ(x))，因此(X，P，θ)和(Y，S，ρ)共軛.

定理2.7設(X，P，θ)和(Y，S，ρ)是兩個同胚半群作用，P?G，S?H滿足第一節(jié)中假設，則下列陳述等價:

(1) (X，P，θ)和(Y，S，ρ)共軛;

證明(1)?(2) 設(φ，α)是(X，P，θ)到(Y，S，ρ)的共軛. 對?g∈G，存在m，n∈P使得g=mn-1. 定義β：G→H，g|→α(m)α(n)-1，若g=ab-1=mn-1,a，b，m，n∈P. 取p，q∈P使得ab-1=mn-1=p-1q，則pa=qb，pm=qn，并且α(p)α(a)=α(q)α(b)，α(p)α(m)=α(q)α(n)，因此α(a)α(b)-1=α(p)-1α(q)=α(m)α(n)-1，從而β是良定義的. 由α是雙射容易驗證β也是雙射.

下證同態(tài)性. 給定g，h∈G，令g=ab-1，h=cd-1，其中a，b，c，d∈P. 取m，n∈P使得b-1c=mn-1，則α(b)-1α(c)=α(m)α(n)-1.因此

β(gh)=β(ab-1cd-1)=β(am(dn)-1)=α(am)α(dn)-1=α(a)α(m)α(n)-1α(d)-1=

α(a)α(b)-1α(c)α(d)-1=β(g)β(h)，

從而β：G→H是群同構. 進一步，對?m∈P，β(m)=α(m)α(e)-1=α(m)，所以β(P)=S.對x∈X，g=ab-1∈G，其中a，b∈P，由注解2.2，